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出版者:Mathematical Association of America

作者:Beckenbach, Edwin F.

出品人:

页数:139

译者:

出版时间:1975

价格:0.00 元

装帧:

isbn号码:9780883856031

丛书系列:

图书标签:

• 科普
• 数学
• 不等式
• 数学分析
• 高中数学
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• 数学建模
• 教育

好的，这是一本关于经典数学分析领域的图书的详细简介，完全不涉及您提到的《Introduction to Inequalities》一书的内容。 --- 《微积分的深度探索：函数、极限与连续性》 图书简介 本书《微积分的深度探索：函数、极限与连续性》旨在为读者提供一个全面而严谨的微积分理论基础，特别侧重于分析学中的核心概念——函数、极限、连续性以及它们的相互作用。本书不同于侧重于快速应用解题技巧的入门教材，它致力于揭示微积分背后的深刻数学结构和逻辑推理，是献给那些渴望真正理解微积分“为什么”的求知者的严谨学术之作。 全书共分为六个主要部分，层层递进，从最基本的集合论和实数系统出发，逐步构建起整个微积分的分析大厦。 第一部分：实数系统与预备知识 本部分首先回顾了高等数学学习所必需的集合论基础，随后深入探讨了实数系统的公理化结构。我们不仅仅满足于复习 $mathbb{R}$ 的基本运算，而是着重分析了完备性公理的重要性及其在数学分析中的基石地位。我们详细讨论了上确界（Supremum）和下确界（Infimum）的概念，并用它们来严格定义了有界数列的收敛性，为后续极限理论的建立铺平了道路。阿基米德性质和密度性质的严格证明，确保了读者对实数轴几何直观背后的严密逻辑有清晰的认识。 第二部分：序列（数列）的极限与收敛性 这是微积分理论的第一个核心堡垒。本部分严格定义了数列的极限 ($epsilon-N$ 语言)，并系统地证明了极限的唯一性、保序性以及四则运算下的极限法则。我们详细分析了柯西收敛准则 (Cauchy Criterion)，并论证了有界单调序列必然收敛（单调收敛定理）。书中特别辟出章节讨论了子列极限的概念，深入探讨了Bolzano-Weierstrass定理，该定理是分析学中处理无限集合收敛性的强大工具，它揭示了实数线上有界序列的内在结构。 第三部分：函数的极限与连续性 本部分将分析的焦点从离散的数列转移到连续的函数。我们用 $epsilon-delta$ 语言对函数的极限给出了严谨的定义，并将其与数列极限联系起来，阐述了函数极限与序列聚点（Sequential Criterion for Limits）之间的关系。 随后，本书深入探讨了函数的连续性。我们不仅讨论了点态连续，还细致考察了一致连续性 (Uniform Continuity)。通过对比局部连续性与全局一致连续性的差异，我们强调了区间性质（如闭区间或紧致集）在保证函数良好性质（如最大值最小值定理、介值定理）时的关键作用。对开区间和闭区间的开复盖的深刻理解，是掌握这些定理的必要前提。 第四部分：微积分的核心——微分学 本部分聚焦于瞬时变化率的概念——导数。我们从极限的定义出发，严格推导出导数的几何意义和物理意义。书中详尽展示了微分的代数运算法则，并对链式法则进行了深入的、基于极限的证明。 高阶导数的引入，使得我们能够分析函数的曲率和极值行为。我们对费马引理、罗尔定理、均值定理（Mean Value Theorem）进行了详尽的几何直观和分析证明，特别是均值定理在分析函数行为和泰勒级数发展中的桥梁作用。最后，我们讨论了微分在隐函数和参数方程中的应用。 第五部分：积分学的严谨构建 积分学是分析学中与微分学并驾齐驱的另一大支柱。本书采用黎曼积分（Riemann Sums）的视角来构建积分理论，确保其分析基础的稳固性。 我们详细定义了黎曼可积性，并分析了哪些函数是黎曼可积的（例如，连续函数和单调函数）。收敛的黎曼和的极限被定义为定积分。本部分的核心在于证明微积分基本定理 (Fundamental Theorem of Calculus)，它精妙地连接了微分和积分这两个看似独立的运算。我们不仅证明了其两个部分，还深入探讨了该定理在解决实际问题中的普适性。 第六部分：序列和函数的收敛性 这是本书的升华部分，它将前几章的结论扩展到函数族。我们引入了函数序列和函数列的概念，并区分了逐点收敛 (Pointwise Convergence) 和一致收敛 (Uniform Convergence)。 本书花费大量篇幅来阐述一致收敛的优越性，证明了：若函数序列一致收敛于一个函数，那么极限函数的连续性、可积性以及极限运算与积分运算的交换性，都将得到保留。我们通过对比一致收敛和逐点收敛在保留导数运算时的失败案例，清晰地展示了为何分析学需要“一致性”这一更强的收敛概念。本书以对幂级数（作为函数序列的特例）收敛域的分析作为结束，为读者进入更高级的分析阶段（如傅立叶分析或复分析）打下了坚实的基础。 目标读者： 本书适合数学、物理、工程及经济学专业的高年级本科生、研究生，以及所有希望从根本上理解并掌握现代分析学严谨论证方法的自学者。阅读本书需要具备扎实的代数基础和初步的集合论知识。本书的难度适中偏高，要求读者投入时间进行深入的思考和演算。

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这本书的出版，对于那些渴望在数学领域深耕的读者来说，无疑是一场及时的甘霖。我个人在接触了这本书的初版后，便对它留下了深刻的印象，尤其是它对不等式这一核心概念的阐述，深入浅出，逻辑严密。它并非那种堆砌艰深术语的学术著作，而是更像一位经验丰富的导师，循循善诱地引导我们穿越复杂数学世界的迷雾。书中对经典不等式，如均值不等式、柯西-施瓦茨不等式等的介绍，不仅仅停留在公式的罗列，更着重于其背后的几何意义和代数推导过程。每一次的阅读，都能带来新的领悟，仿佛拨开了一层又一层的迷雾，看到数学结构之美。特别是书中关于不等式在优化问题中应用的章节，为我解决了许多实际工程问题中的难题，那种豁然开朗的感觉，是其他教材难以给予的。这本书的排版清晰，例题的选择兼具代表性和挑战性，确保了读者在掌握基础之余，也能得到足够的思维锻炼。对于任何有志于提高自身数学分析能力的学习者而言，这本书都是一本不可或缺的工具书和案头伴侣。

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我是在准备一次高水平数学竞赛时接触到这本书的，坦白讲，它给我的帮助是颠覆性的。很多我原本认为需要多年积累才能领悟的技巧，通过书中对少数几个核心不等式的深入剖析，得到了极快的掌握。这本书的价值不在于它教了多少“公式”，而在于它传授了如何“思考”不等式问题。它有一个专门的章节讨论了“构造法”在不等式证明中的应用，详细列举了如何通过巧妙的变量替换或辅助函数构造来简化复杂的表达式。这种对解题策略的提炼和总结，是教科书中最宝贵的部分，也是最难得的。我发现自己不仅仅是在解书上的题，而是学会了一种看待数学问题的通用范式。作者的文字虽然简洁，但信息密度极高，几乎没有一句废话，这要求读者必须全神贯注。对于已经有一定基础，希望突破瓶颈的进阶学习者来说，这本书提供了一个绝佳的平台，让你从“知道不等式”跃升到“精通不等式”。

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作为一名长期在数学教育领域工作的人士，我一直在寻找一本既能满足本科生基础教学需求，又具备足够深度供研究生参考的教材。这本书恰好填补了这个空白。它的严谨性毋庸置疑，所有的论证都基于无可指摘的逻辑基础，这对于培养学生的科学素养至关重要。但它最让我欣赏的地方在于其“开放性”。作者在讲解完经典不等式后，总是会留下一些“未解之谜”或者“推广方向”，鼓励读者自己去探索。比如，在讨论一个著名不等式的证明时，作者会指出目前存在的几种主要证明思路的优缺点，并留下一个更简洁的版本作为挑战。这种教学手法，极大地激发了读者的自主研究精神，而不是被动接受既有结论。这本书无疑是近十年来不等式领域教材中的一股清流，它不仅传授知识，更重要的是，它塑造了解决问题的思维模型。如果你期待一本能真正提升你数学洞察力的书，那么这本绝对值得拥有。

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这本书的装帧设计和内容排版给我留下了非常好的第一印象。纸张的质感厚实，印刷清晰，即便是长时间阅读，眼睛也不会感到疲劳，这在长时间的数学学习中至关重要。更重要的是，书中对不同难度题目的标记非常清晰，我作为一个需要平衡工作和学习时间的读者，可以很有效地规划我的学习强度。它并没有强迫你一步到位，而是设计了一套渐进式的学习路径。从基础的不等式性质，到中级的不等式链式推导，再到高级的函数极值问题。我特别喜欢它在每一章末尾设置的“历史视野”小栏目，简要介绍了某个重要不等式的发展历程及其在科学史上的地位。这让冰冷的数学符号充满了人文关怀和历史厚重感，极大地激发了我对数学历史的兴趣。它证明了，好的数学书绝不只是冷硬的知识载体，它也可以是一段引人入胜的知识旅程。

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说实话，刚拿到这本《Introduction to Inequalities》的时候，我抱着一种略微怀疑的态度。市面上关于不等式的书籍汗牛充栋，大多数要么过于理论化，让人望而却步，要么就是题海战术，缺乏体系。然而，这本书成功地找到了一个绝佳的平衡点。它的叙述风格非常具有个人色彩，带着一种老派数学家的严谨和对初学者友好的关怀。我尤其欣赏作者在引入新概念时所采用的“类比推理”方法，这极大地降低了抽象概念的理解门槛。例如，在解释三角不等式时，作者没有急于给出代数形式，而是通过向量加法的几何图景来铺陈，使得读者在视觉上就能建立起直观的理解。随后的证明环节，则水到渠成，干净利落。这本书的章节组织结构也十分巧妙，它不是按照不等式的类型来划分，而是根据解决问题的思维路径来组织，这使得学习过程更像是一场侦探游戏，每一步的推进都充满了发现的乐趣。如果你厌倦了枯燥的公式推导，这本书绝对能让你重新爱上数学的逻辑之美。

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