竞赛数学解题入手10法 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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专题解析：深度探索数论与代数的高级技巧 书籍名称： 专题解析：深度探索数论与代数的高级技巧 作者： 张伟，李明 出版社： 创新教育出版社 出版时间： 2023年10月 --- 导言：面向未来的数学思维构建 在当今的数学竞赛领域，单纯掌握基础知识已不足以应对日益复杂和精妙的考题。成功的关键在于对核心数学分支——特别是数论和代数——的深层理解以及对高级解题工具的灵活运用。本书《专题解析：深度探索数论与代数的高级技巧》正是为有志于在更高层次的数学竞赛（如 IMO、APMO、区域性选拔赛等）中取得突破的优秀学生和教师而设计的一部深度研修教材。 本书摒弃了对基础概念的重复讲解，而是将焦点完全集中于那些在顶级竞赛中反复出现、但往往难以掌握的核心高级技术和思想框架。我们力求通过对一系列精心挑选的、具有代表性的难题的剖析，引导读者建立起严谨、灵活且富有创造性的数学思维体系。 全书结构严谨，内容深度足以挑战具有扎实初级和中级背景的学习者，旨在将读者的解题能力从“会做”提升到“能创新解”。 --- 第一部分：现代数论的精细化工具箱 本部分深入剖析了数论在竞赛中的应用前沿，尤其侧重于那些需要精妙构造和非标准构造性证明的题目。 第一章：狄利克雷卷积与算术函数的深入应用 本章超越了基本的莫比乌斯反演，着重于狄利克雷级数在解决组合计数和函数方程问题中的应用。 1.1 周期性与可加性函数的性质拓展： 讨论了完全乘性函数和积性函数在不同域上的推广，特别是针对某些非标准定义下函数的性质推导。 1.2 莫比乌斯函数的广义应用： 详细探讨了在非正整数域或特定群论结构下莫比乌斯函数概念的延伸，以及如何利用其正交性原理简化复杂的求和问题。 1.3 狄利克雷卷积在排列组合中的映射： 通过建立排列或图结构与算术函数之间的精确映射关系，展示如何利用卷积的性质（如交换律、结合律）快速推导出组合恒等式，避免冗长的归纳过程。 第二章：二次剩余与高次剩余的构造性证明 本章致力于解决那些依赖于模运算的高级技巧，特别是涉及域扩张和二次型的问题。 2.1 二次互反律的几何诠释与推广： 不仅回顾了二次互反律的推导，更引入了高斯和（Gauss Sums）的概念，并探讨了其在判定特定方程解的存在性中的作用。 2.2 勒让德符号的连续性分析： 结合 p-adic 数论的初步思想，分析了勒让德符号在模 p 变化时的“稳定性”与“跳跃点”，用于解决涉及大素数模的同余问题。 2.3 高次剩余的判定与求解： 针对三次及四次剩余的判定，引入了特征标（Characters）的概念，并展示了如何利用有限域上的结构来构造性地找到解，尤其是在模数不为素数时。 第三章：丢番图方程的现代方法论 本章集中于那些超越费马大定理初级证明范围的丢番图方程求解策略。 3.1 椭圆曲线方程的局部与整体分析： 介绍米尔纳尔公式（Mordell's Equation）的初级应用，以及如何通过分析方程在 $mathbb{Z}_p$ 上的解集来推断 $mathbb{Z}$ 上的解的存在性（Hasse 原理的直观应用）。 3.2 特征向量分解法求解线性递归关系： 针对高阶线性丢番图方程，阐述如何将其转化为矩阵形式，并利用矩阵的特征值分析其增长率和周期性，从而确定有限解集。 3.3 理想数的应用： 在特定形式（如 $x^2 + dy^2 = n$）的方程中，引入代数数论中的“理想数”概念，演示如何在环 $mathbb{Z}[sqrt{d}]$ 中利用范数进行因子分解，加速求解过程。 --- 第二部分：代数结构与函数方程的深层交互 本部分聚焦于将代数结构（群、环、域）的抽象概念转化为解决几何和函数问题的具体工具。 第四章：群论在计数与对称性中的应用 本章强调了伯恩赛德引理（Burnside's Lemma）的极限使用场景，并引入了更高级的群作用理论。 4.1 Polya 计数定理的推广： 详细讲解了 Polya 计数定理在处理具有复杂对称结构的计数问题时的操作流程，特别是针对非标准置换群（如仿射群）的作用。 4.2 逆变换与同构映射的构造： 对于具有明显对称性的函数方程或不等式，演示如何通过构造一个自反的群操作，并通过寻找不动点来确定方程的解集。 4.3 有限域上的线性代数： 探讨在 $ ext{GF}(p^k)$ 上进行向量运算如何高效解决涉及模方阵的组合问题，例如求特定矩阵的行列式或逆矩阵。 第五章：函数方程的高级解耦策略 本章处理的是那些难以直接代入特殊值或通过简单变形就能解决的复杂函数方程。 5.1 Cauchy 方程的拓扑解法基础： 探讨了在非连续、非单调假设下，Cauchy 泛函方程的病态解（Pathological Solutions），并展示如何利用这些病态解的性质来反证某些约束条件下的唯一解。 5.2 差分算子与迭代分析： 引入有限差分算子 $Delta f(x) = f(x+1) - f(x)$，将其应用于离散变量的函数方程，通过迭代分析解的性质，如线性增长、指数增长或周期性。 5.3 算子平移与生成函数的联系： 阐述了如何利用算子 $E$（平移算子）与指数生成函数之间的深层联系，将涉及离散函数方程的问题转化为求解线性常系数微分方程的问题。 第六章：多项式、有理函数与实数域的边界分析 本章关注代数方法在实分析问题中的应用，特别是利用多项式的不等式性质。 6.1 柯西-施瓦茨不等式的代数几何解释： 不仅是公式的应用，更深入探讨了该不等式在内积空间中的几何意义，以及如何利用其“等号成立条件”来指导构造最优解。 6.2 最小多项式与有理函数逼近： 对于涉及极值或极限的题目，讲解如何利用目标函数对应的最小多项式来界定其可能的值域，尤其是在处理有理分式函数时。 6.3 判定式与复平面分析： 介绍如何通过分析多项式在复平面上的根的分布（如 Routh-Hurwitz 判据的初级应用），来判定特定代数表达式在实数域上是否恒正或恒负，从而解决涉及大数比较的不等式。 --- 结语：思维的迁移与升华 本书的价值不在于提供一套“公式集”，而在于展示一套解题哲学：即如何将抽象的数学理论转化为具体的、可操作的解题步骤。掌握这些高级技巧，意味着学习者能够从容应对那些设计者刻意隐藏了标准解法的难题。我们期望读者在读完本书后，能够融会贯通，形成独特的、适应任何陌生挑战的数学洞察力。

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我花了大概一个周末的时间粗略翻阅了全书，最大的感受就是它在“思维转换”上的引导力，这一点远超我预期的效果。很多竞赛数学的书籍，往往是直接甩给你一堆高深的定理和眼花缭乱的技巧，看完之后感觉自己好像学会了几个“招式”，但真到实战中，遇到新题型就立刻露馅了。然而，这本书的讲解方式更侧重于“破题的视角”，它不是告诉你“遇到A就用B方法”，而是深入剖析了“为什么出题人会选择这种结构来设置陷阱”。比如书中对某个几何难题的分析，它没有直接跳到向量或坐标系，而是先用非常朴素的几何直觉去尝试，然后一步步引导读者意识到传统方法在这里的局限性，最终水到渠成地引出更高级的工具。这种“拨开迷雾见本质”的叙事节奏，非常适合那些已经有一定基础，但总是在临门一脚时感觉“差那么一点点灵感”的进阶学习者。它真正培养的是一种对数学结构的美感和洞察力，而不是死记硬背的公式集。

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从学习者的角度来看，这本书的附加价值体现在它所提供的“训练体系”上，而不仅仅是知识点的堆砌。书末附带的那些自我评估模块设计得相当巧妙，它们不是简单的“考一考你记住了多少公式”，而是设置了一系列“情景模拟”式的挑战。例如，它会要求你基于之前学到的某几种解题思想，去设计一个全新的、结构相似但参数不同的题目，并给出自己的参考解法。这种“从输入到输出”的闭环训练，极大地促进了知识的内化和创造性应用。此外，书本中穿插了一些关于“数学家心路历程”的小插曲，虽然不是直接的解题技巧，但却极大地鼓舞了士气，让人意识到数学研究也是一个充满反复和坚持的过程。总而言之，这本书不仅仅是一本工具书，更像是一位经验丰富、循循善诱的导师，它给予读者的，是长久面对复杂问题时所需要的自信和策略，而非一时的解题技巧。

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这本书的装帧设计真是没得说，封面那种深邃的蓝色，配上鎏金的字体，立刻就给人一种专业而又引人入胜的感觉。我拿到手里掂了掂，感觉分量适中，拿在手上很有质感，不像有些教材那么轻飘飘的，让人觉得内容不够扎实。内页的纸张选择了那种略带米黄色的哑光纸，长时间阅读眼睛也不会太累，这对于我们这些需要长时间盯着题目看的“老学究”来说，简直是福音。排版上，作者的用心程度可见一斑，公式、定理的字体大小和行间距都处理得恰到好处，既保证了清晰度，又避免了信息过于拥挤带来的压迫感。尤其是那些证明过程的图示，色彩的运用非常巧妙，能让人一眼就抓住核心的逻辑线索，而不是被一堆黑白的文字绕晕。我特别留意了一下目录结构，章节之间的逻辑过渡非常自然，仿佛是精心编排的一场数学之旅，从基础概念的夯实，到复杂技巧的引入，每一步都走得稳健而有条理，让人充满了继续探索下去的欲望。这种对细节的极致追求，让阅读体验本身就成了一种享受，而不是单纯的知识汲取过程。

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这本书的语言风格可以说是独树一帜，充满了老派数学家特有的那种严谨又不失幽默感的笔调。你能在某些地方感受到作者对数学的热爱近乎于一种近乎偏执的追求，比如他对某个经典悖论的调侃，让人会心一笑。它的叙述不像现代流行的那种“口语化”教学，反而有一种老式教科书的庄重感，但又不失亲和力。当你阅读到那些复杂的证明时，作者仿佛就坐在你的对面，轻声细语地为你拆解每一步推理的必要性，而不是用生硬的数学符号将你淹没。我特别欣赏作者在引入新概念时使用的那些类比和比喻，它们往往选取得非常贴切，能瞬间打破抽象概念与现实世界的隔阂。这种娓娓道来的方式，极大地降低了阅读的挫败感。对于那些习惯了快餐式学习的读者来说，可能需要稍微慢下来才能品出其中的韵味，但一旦沉浸进去，你会发现这种深度的交流是无可替代的。

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这本书对于不同难度的题目的筛选和编排，体现了编辑团队极高的专业水准。我注意到，书中并非所有题目都是那些在国际奥赛上被反复提及的“天花板”级别难题，而是大量穿插了那些“看起来简单却暗藏杀机”的中等难度题目。这种策略非常高明，因为在实际的竞赛中，大部分分数都是从解决这些中等难度题目中获得的，而不是靠那几道耗费数小时的超级难题。更重要的是，作者对这些中等难度题目的讲解，往往会展示出不止一种解法，并且会详细分析每种解法的优劣——比如哪种更快捷、哪种更具普适性、哪种更能展现数学的美感。这种多角度的剖析，极大地拓宽了我们的解题视野，让我们明白，一个数学问题往往不是只有“标准答案”那一条路可走，学会权衡利弊才是真正的竞赛智慧。这让这本书的实用价值直线飙升。

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