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出版者:Springer New York

作者:W. A. Coppel

出品人:

页数:624

译者:

出版时间:2010-4-2

价格:GBP 58.99

装帧:Paperback

isbn号码:9780387894850

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 数论
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《代数拓扑导论》 内容提要 本书旨在为读者提供一个严谨且深入的代数拓扑学基础。代数拓扑学是一门将代数工具应用于拓扑空间研究的学科，它通过构造代数不变量（如基本群、同调群、上同调群）来区分不同的拓扑空间，并揭示空间的基本结构。全书共分为八章，从基础的拓扑学概念出发，逐步过渡到复杂的代数结构和它们在几何学中的应用。 第一章：拓扑空间基础 本章首先回顾了度量空间和序列的收敛性，为引入拓扑结构做准备。重点讨论了拓扑空间的基本定义，包括开集、闭集、邻域、闭包和内部等概念。随后，引入了连续函数、商拓扑、子空间拓扑和乘积拓扑。特别详细地讨论了紧致性（Compactness）和连通性（Connectedness）这两个核心拓扑性质，并证明了紧致性和连续映射之间的重要关系，以及路径连通性与基本群之间的联系。本章以一个关于Tychonoff定理的讨论作为结束，强调了这些基本概念在后续理论构建中的重要性。 第二章：基本群与覆盖空间 本章是本书的起点，专注于研究空间中的“洞”——基本群（Fundamental Group）。我们首先定义了路径、路径同伦，并建立了等价关系，从而构造出基本群 $pi_1(X, x_0)$。详细分析了 $mathbb{R}^n$ 和圆周 $S^1$ 的基本群，特别是计算了 $pi_1(S^1) cong mathbb{Z}$。随后，本章引入了覆盖空间（Covering Spaces）的概念，并给出了局部同构、覆盖映射的严格定义。重点讨论了提升（Lifting）性质，特别是路径和同伦的提升定理。最后，通过覆盖空间与基本群之间的对应关系，推导出了布劳威尔不动点定理在二维情况下的一个重要推论，并讨论了有限群作为基本群的可能性。 第三章：同伦群 在基本群的基础上，本章推广到更高阶的同伦群 $pi_n(X, x_0)$。我们定义了 $n$ 维球面的映射到空间 $X$ 的群结构，并证明了对于 $n ge 1$，这些群构成了一个阿贝尔群。核心内容包括验证 $pi_n(X)$ 的阿贝尔性，以及证明当 $n > dim(X)$ 时， $pi_n(X)$ 必为零群。随后，本章引入了Hurewicz同态 $h: pi_n(X) o H_n(X)$，为后续的同调理论做铺垫。对球面的同伦群进行了初步的探讨，但更深入的计算留待后续章节。 第四章：奇异同调 本章是代数拓扑的核心工具之一。我们放弃了依赖于特定构造（如单纯复形）的同调理论，转而采用更具普适性的奇异同调（Singular Homology）。详细定义了奇异单纯形、奇异链复形 $C_(X)$，并引入了边界算子 $partial$。随后，通过验证链复形的精确性，构造了奇异同群 $H_n(X)$。本章花费大量篇幅讨论了同调群的函子性质，特别是同伦不变性，证明了拓扑等价的空间具有同构的同调群。此外，还讨论了归约同调群（Reduced Homology）以及 Mayer-Vietoris 序列的建立和初步应用，例如计算球面的同调群 $H_n(S^k)$。 第五章：同调理论的应用与运算 本章将重点放在同调群的实际计算和理论运算上。首先，通过与前几章所得结果的对比，验证了奇异同调能够成功区分许多拓扑空间。随后，引入了张量积和导出函子，为介绍上同调理论做准备。详细讨论了艾伦伯格-斯汀罗德公理（Eilenberg-Steenrod Axioms）在同调理论中的作用，并解释了为何奇异同调是满足这些公理的同调理论的唯一（在自然同构意义上）选择。本章的亮点是关于流形（Manifolds）的讨论，包括定向性（Orientability）的概念，并引入了对偶性理论的先驱——球面上的上同调与同调的关联。 第六章：上同调理论 本章系统地介绍了上同调（Cohomology）的概念，作为对同调理论的对偶。我们定义了上链复形 $C^(X)$ 和上同调群 $H^n(X; G)$，其中 $G$ 是系数群。讨论了上同调群的函子性质，特别是如何从商映射诱导出群同态。重点讨论了上同调的交替乘积（Cup Product），这是一个在空间中定义乘法结构的关键工具，它使得 $H^(X)$ 成为一个分次（Graded）环结构。我们证明了上同调环与空间的乘积空间拓扑之间的关系，特别是 Künneth公式（Künneth Formula）的上同调版本，并用其计算了环面（Torus）的上同调环结构。 第七章：球面上的同调与庞加莱对偶 本章聚焦于球面上的拓扑结构，这是代数拓扑中最重要的例子之一。我们详细计算了球面 $S^n$ 的同调群和上同调群。随后，本章的重头戏是庞加莱对偶定理（Poincaré Duality）。该定理揭示了流形（特别是闭合、连通、可定向的 $n$ 维流形 $M$）的同调群与上同调群之间的深刻联系：即 $H_k(M) cong H^{n-k}(M; R)$。本章将给出该定理的详细表述和证明框架（使用上链复形和特定链的系数），并展示了如何利用对偶性极大地简化流形的拓扑不变量计算。 第八章：纤维丛与陈类 本章将代数拓扑工具应用于向量丛和纤维丛的研究。首先定义了向量丛、局部平凡性以及主丛的概念。随后，引入了上同调中的一个强大工具——纤维丛的上同调长正合序列。我们重点介绍了切丛（Tangent Bundle）和法丛（Normal Bundle）的拓扑性质。最后，本章的结论部分讨论了陈类（Chern Classes）的构造，它们是衡量向量丛几何特征的拓扑不变量。通过上同调理论，我们构造了第一陈类 $c_1$ 及其对偶性在曲率理论中的重要性，为读者理解微分几何与拓扑学的交叉领域奠定了基础。 本书适合具有扎实线性代数和基础拓扑学知识的研究生和高年级本科生。全书力求在概念的严谨性和计算的清晰性之间取得平衡。

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《Number Theory》这个名字，让我感觉它像是数学领域的一位老友，沉静而富有智慧。我一直对数学中的“美”有着独特的追求，而数论，恰恰是这种美的集中体现。它不像微积分那样需要复杂的运算，也不像拓扑学那样抽象到难以捉摸，数论更像是用最纯粹的语言，去描绘数字世界的内在秩序。我希望这本书能够深入浅出地讲解数论的基本概念，比如整除性、素数分解，以及它们之间微妙而深刻的联系。我尤其期待书中能够有一些关于“模运算”的内容，它的简洁和强大总是让我惊叹，在很多看似复杂的问题中，它都能提供一个清晰的视角。当然，如果书中能够介绍一些有趣的数论性质，比如完全数、亲和数，甚至是一些与古老文明相关的数论知识，那将是锦上添花。我希望这本书能够带领我领略数字世界的独特韵律，去发现那些隐藏在日常数字背后的规律和智慧，让我在阅读过程中，不仅增长了知识，更收获了一份对数学的独特感受，一种源于数字本身的美的震撼。

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当看到《Number Theory》这本书的名字时，我脑海中立刻浮现出那些古老而又迷人的数学概念。我对那些能够将抽象理论与实际应用巧妙结合的书籍尤其着迷，而数论，恰恰是这样一门学科。我希望这本书能够详细阐述诸如同余理论、剩余类等基本概念，并深入探讨它们在解决实际问题中的强大能力。我尤其期待书中能够包含一些关于丢番图方程的经典例子，并介绍求解这些方程的各种方法，这不仅能锻炼我的逻辑思维，更能让我领略数学的严谨与魅力。如果书中还能涉及到数论在现代密码学中的应用，比如RSA算法的数学原理，那将是极好的。我希望通过这本书，能够不仅理解数论的基本原理，更能看到它在现实世界中的重要价值，感受到数学的力量，并从中获得一份对数字世界更深层次的认知和理解，让阅读成为一次充满发现的旅程。

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这本书的名字叫《Number Theory》，光听名字就觉得是一本硬核的学术著作，可能里面充斥着各种抽象的符号和复杂的证明，对于我这种数学爱好者来说，这简直是天堂！我最喜欢的就是那种能够挑战智力极限的书籍，每一次深入理解一个证明，都像是在破解一个古老的谜题，那种成就感无与伦比。我特别期待书中能够出现一些关于丢番图方程、模运算、二次剩余这些经典数论分支的深度探讨，还有那些像费马大定理、哥德巴赫猜想这样令人着迷的未解之谜，哪怕书中只是给出了它们历史背景和研究现状，也足以让我兴奋不已。我希望这本书不仅仅是理论的堆砌，更能引领我走进数论的奇妙世界，去感受数字背后蕴含的优雅与和谐。想象一下，如果书中能够生动地描绘出素数的分布规律，或者展示出同余符号在密码学中的巧妙应用，那将是多么令人惊叹的体验！我甚至希望作者能够穿插一些数论在计算机科学、编码理论等领域的实际应用案例，这样既能满足我对理论的渴求，又能让我看到数学的实用价值，从而更加深入地理解数论的魅力所在。这本书，我仿佛已经看到了自己沉浸在其中，与数字的海洋搏斗，收获智慧的喜悦。

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《Number Theory》这个书名，在我看来，就像一扇通往数字宇宙的大门，邀请我去探索那些最基本、最纯粹的数学奥秘。我一直对数字本身有着近乎痴迷的兴趣，喜欢研究它们之间的关系，以及它们所遵循的规律。我希望这本书能够深入讲解数论中那些核心的概念，例如素数的性质，它们如同数字世界的基石，既神秘又充满活力。我期待书中能够详细介绍各种数论函数，比如欧拉函数、莫比乌斯函数，以及它们所揭示的数字结构的深层信息。如果书中还能涉及到一些关于丢番图方程的理论，特别是线性丢番图方程和二次丢番图方程的解法，那将是我非常期待的部分。我希望通过阅读这本书，能够更深刻地理解数字的内在逻辑，发现数字世界中那些意想不到的联系和规律，从而拓展我的数学视野，激发我对数字的无限遐想，并且在阅读中体会到一种纯粹的数学之美。

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一翻开《Number Theory》这本书，我立刻被一股扑面而来的严谨气息所吸引。这名字本身就散发着一种求真务实的学术味道，让人不自觉地想要去探寻数学的本质。我一直对那些能够激发思考、锻炼逻辑的书籍情有独钟，而数论无疑是其中的翘楚。这本书，我期待它能够带我深入理解那些构成数论基石的定理和公理，比如算术基本定理，它以一种近乎哲学的高度揭示了整数的构成方式。我希望书中能够详细阐述各种证明技巧，让我学习如何严谨地构建数学论证，如何一步步地走向真理。当然，我也渴望在书中看到一些历史上著名的数论问题，了解它们是如何被提出，以及数学家们为解决它们付出了怎样的努力，这本身就是一部精彩的智力史。或许，书中还能触及到数论在现代密码学中的核心作用，这会让我更加深刻地认识到，这些看似纯粹的数学概念，是如何支撑起我们现代信息社会的运作。我希望通过这本书，能够不仅仅是获得知识，更能培养一种严谨的数学思维，一种不畏艰难、勇于探索的精神。

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