Galois Groups and Fundamental Groups pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Cambridge University Press

作者:Tamás Szamuely

出品人:

页数:280

译者:

出版时间:2009-8-31

价格:USD 74.99

装帧:Hardcover

isbn号码:9780521888509

丛书系列:Cambridge Studies in Advanced Mathematics

图书标签:

数学
Galois theory
Group theory
Fundamental groups
Algebra
Abstract algebra
Field theory
Topology
Mathematics
Algebraic topology
Number theory

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具体描述

Ever since the concepts of Galois groups in algebra and fundamental groups in topology emerged during the nineteenth century, mathematicians have known of the strong analogies between the two concepts. This book presents the connection starting at an elementary level, showing how the judicious use of algebraic geometry gives access to the powerful interplay between algebra and topology that underpins much modern research in geometry and number theory. Assuming as little technical background as possible, the book starts with basic algebraic and topological concepts, but already presented from the modern viewpoint advocated by Grothendieck. This enables a systematic yet accessible development of the theories of fundamental groups of algebraic curves, fundamental groups of schemes, and Tannakian fundamental groups. The connection between fundamental groups and linear differential equations is also developed at increasing levels of generality. Key applications and recent results, for example on the inverse Galois problem, are given throughout.

专题深入研究：代数拓扑与几何结构导论：连接抽象与直观的桥梁本书致力于探索代数拓扑学领域中两个核心且相互关联的结构：代数基本群和同调群，以及它们在理解复杂几何空间（流形与纤维丛）方面所发挥的关键作用。我们避开对伽罗瓦理论的直接讨论，而是将焦点完全集中于拓扑空间固有的结构特性，即空间在连续形变下的不变量。全书的结构设计旨在为读者提供一个坚实的基础，理解这些代数工具是如何从直观的几何问题中自然而然地涌现出来，并最终发展成为一套强大的分类和识别工具。我们将大量使用范畴论的语言作为组织概念的框架，强调函子（Functor）在不同数学结构之间架起桥梁的能力。第一部分：拓扑空间的连续形变与基本不变量本部分奠定了全书的拓扑学基础，重点关注空间的连通性以及环路结构。第一章：拓扑空间的拓扑结构回顾与基础概念本章首先回顾了度量空间、拓扑空间的基本定义，并着重介绍了紧致性、连通性和路径连通性的概念。我们强调了开集的结构如何定义了空间的内在性质。在此基础上，我们引入了“形变收缩”（Deformation Retraction）和“同伦”（Homotopy）的概念。同伦是本研究的核心工具，它定义了拓扑等价的一种精细关系——同伦等价。我们证明了连续映射在同伦关系下保持不变的性质。第二章：路径与基本群的构造这是代数拓扑分析的起点。我们精确定义了路径、路径乘法（连接与逆运算），以及如何建立一个基于这些路径的群结构——基本群 ($pi_1(X, x_0)$)。我们将严格证明这个结构确实构成了一个群，关键在于证明乘法的结合律（通过路径的同伦来保证）。重点探讨了基本群对基点选择的依赖性。我们随后证明了，如果空间 $X$ 是路径连通的，那么 $pi_1(X, x_0)$ 与 $pi_1(X, x_1)$ 在群同构的意义下是等价的。这为我们后续将基本群作为空间本身（而非依赖于基点）的拓扑不变量奠定了基础。第三章：覆盖空间理论与基本群的计算本章深入探讨了覆盖映射的概念，这是计算基本群的有力工具。我们首先定义了局部路径连通的豪斯多夫空间 $X$ 的覆盖空间 $E$ 及其投影映射 $p: E o X$。核心在于提升引理（Path Lifting Property）和覆盖空间的基本群作用。我们利用提升引理证明了，给定一个基于 $x_0$ 的环路 $gamma$，在其上存在唯一的提升 $ ilde{gamma}$，其起点在 $p^{-1}(x_0)$ 的某个点上。通过分析环路的提升终点，我们建立了基本群 $pi_1(X, x_0)$ 与覆盖空间 $E$ 上的纤维 $p^{-1}(x_0)$ 之间的关系。随后，我们详细分析了单连通空间（即基本群是平凡群的）的性质。通过此理论框架，我们导出了圆周 $S^1$ 的基本群是整数群 $mathbb{Z}$ 的经典证明，并探讨了对流形如环面 $T^2$ 和实射影平面 $mathbb{RP}^2$ 的基本群计算。第二部分：同调群的引入与构造尽管基本群提供了丰富的结构信息，但它通常是非交换的，难以处理和计算。本部分引入了同调群这一更具“可计算性”的代数不变量。第四章：链复形与边界算子同调理论从离散的几何对象（单纯形）开始构建。本章定义了单纯形（点、线段、三角形、四面体等）及其形式和（Formal Sums）构成的链群 $C_n(K)$，其中 $K$ 是一个单纯复形。关键在于边界算子 $partial_n: C_n o C_{n-1}$。我们严格证明了 $partial_{n-1} circ partial_n = 0$（边界的边界是零），这使得 $({C_n}, {partial_n})$ 构成了一个链复形。第五章：同调群、循环群与边界群基于链复形，我们定义了两个至关重要的子群：循环群 $Z_n = ker(partial_n)$（代表没有边界的“洞”）和边界群 $B_n = ext{Im}(partial_{n+1})$（代表边界的像）。同调群 $H_n(K)$ 被定义为商群 $Z_n / B_n$。我们论证了 $H_0(K)$ 与空间的路径连通分量数量有关，而高阶同调群 $H_n(K)$ ( $n ge 1$) 则捕捉了空间中更高维度的“洞”。我们展示了著名的梅耶-维托里斯序列（Mayer-Vietoris Sequence）作为计算同调群的强大工具，特别是对于处理由两个较小复合结构并而成的空间。第六章：同调的函子性与相对同调我们证明了同调群在连续映射下具有函子性。即一个连续映射 $f: X o Y$ 会诱导出同调群之间的同态 $f_: H_n(X) o H_n(Y)$，并且这种诱导保持了复合的性质。随后，我们引入了相对同调群 $H_n(X, A)$，其中 $A$ 是 $X$ 的一个子空间。这提供了分析“空间 $X$ 减去子空间 $A$”的拓扑结构的方法。相对同调群的引入使得我们能够更细致地分析边界上的结构。第三部分：基本群与同调群的关联（Hurewicz 理论基础）本部分探讨如何将前两部分建立的非交换群结构（基本群）与交换群结构（同调群）联系起来。第七章：Hurewicz 映射与单连通性的深化我们定义了Hurewicz 映射 $h: pi_1(X, x_0) o H_1(X)$，它是从环路群到一阶同调群的同态。我们详细研究了 Hurewicz 定理（在简单连通性满足的条件下）。该定理断言，如果一个空间 $X$ 是 $(n-1)$-连通的（即 $pi_k(X) = 0$ 对所有 $k < n$ 成立），并且 $n ge 2$，那么 $H_k(X) = 0$ 对所有 $k < n$ 成立，并且 $H_n(X)$ 与 $pi_n(X)$ 同构。这揭示了基本群的“亏格”如何反映在一阶同调群中，以及高阶群如何首次在同调群中显现。第八章：纤维丛与陈类理论的初探虽然不深入讨论庞加莱对偶或上同调，但本章简要探讨了纤维丛（Fiber Bundles）的概念，特别是主纤维丛。我们展示了如何利用基本群来识别纤维丛的特征类（Characteristic Classes）的某些简单形式。例如，我们利用 $mathbb{R}^2$ 上的圆周 $S^1$ 丛，展示了基本群如何与丛的结构群相关联。这种联系为后续更复杂的几何结构（如向量丛）的代数不变量奠定了基础，为读者提供了从基础代数拓扑走向微分拓扑和代数几何的清晰路径。结论：代数工具的普适性全书通过对路径、环路和链的系统分析，展示了代数群结构在编码空间几何形状方面的能力。我们侧重于不变量的提取和计算，使读者能够利用这些工具来区分拓扑上不同的空间，而不必依赖于具体的坐标表示。本书提供的框架是理解现代几何学和拓扑学中更高级理论的必要基础。

作者简介

目录信息

读后感

评分☆☆☆☆☆

用户评价

评分☆☆☆☆☆

这本书的书名，让我联想到了数学中那些奠基性的、同时又充满挑战性的领域。伽罗瓦群，自然会让人想到抽象代数的核心，关于方程根的对称性，以及群论在解决数学难题中的强大应用。而基本群，则是代数拓扑的基石，它以一种几何直观的方式，通过路径的“绕行”来刻画空间的内在结构。这两个概念的结合，预示着一本能够深入探索数学的深层联系的书籍。我设想，这本书的开篇会以一种引人入胜的方式，先分别介绍伽罗瓦群和基本群各自的起源和基本思想。在伽罗瓦群的部分，我希望它能从古老的代数方程的可解性问题出发，逐步引导读者理解域扩张、置换群以及伽罗瓦群的定义。我期待看到具体的例子，比如如何用伽罗瓦理论证明五次及以上方程没有通用的求根公式，以及它在构造正规多边形等问题中的应用。对于基本群，我则希望它能以一种清晰且富有启发性的方式，解释如何通过路径、同伦和基本群来研究拓扑空间。我期待看到它如何处理一些经典的拓扑空间，例如球面、环面、以及一些更复杂的流形。我希望它能够详细阐述基本群在区分拓扑空间方面的作用，以及它如何连接代数结构和几何直观。最让我好奇的，是这两者是如何联系在一起的。是否意味着某些代数问题可以通过拓扑学的视角来解决，反之亦然？这本书是否会展现出，在某些代数几何的场景下，伽罗瓦群的性质与空间的拓扑性质之间存在着某种深刻的对应关系？我渴望看到书中能够提供一些具体的研究案例，说明这种跨越不同数学领域的联系是如何实现的，以及它如何为解决更复杂的问题提供新的工具和见解。总而言之，这本书的书名本身就承诺了一段引人入胜的数学旅程。我期待它不仅能教会我关于伽罗瓦群和基本群的知识，更能启发我对数学不同分支之间深刻联系的思考，展现出数学思维的广度和深度。

评分☆☆☆☆☆

这本书的书名——《伽罗瓦群与基本群》——单是读出来，就立刻勾起了我对抽象代数和代数拓扑学领域那些深刻而优美的联系的好奇心。我一直对数学中不同分支之间看似遥远的桥梁感到着迷，而“伽罗瓦群”和“基本群”这两个概念，在各自的领域都代表着极其重要的结构，它们的名字并列在一起，预示着一段可能令人振奋的探索之旅。我设想这本书会深入剖析这两个概念的定义、性质以及它们在解决各种数学问题中的作用。对于伽罗瓦群，我期待它能清晰地阐述如何通过研究多项式的根的置换群来理解方程的可解性，以及这如何引申到域扩张的理论。这本书是否会从最基础的群论概念讲起，然后逐步构建出伽罗瓦理论的框架？我希望它能提供丰富的例子，从简单的二次、三次方程，到更复杂的构造，让读者能够直观地理解抽象的理论。此外，我对于它如何解释“不可约多项式”与“伽罗瓦群的性质”之间的对应关系也充满期待。而关于基本群，我则希望它能引领我进入代数拓扑学的奇妙世界。我希望这本书能解释如何通过“路径”和“同伦”来定义基本群，以及它如何捕捉空间的“洞”或者“连通性”等拓扑性质。对于不同空间的拓扑分类，以及基本群在其中扮演的角色，我希望能够得到深入的理解。特别是，我很好奇这本书会如何展示基本群在区分一些看似相似但拓扑性质迥异的空间（例如环面和球面）时的力量。最令我兴奋的是，这两大概念的结合。在我看来，这暗示着一种超越各自独立领域的更深层次的理解。我想象这本书会揭示，在某些情况下，代数结构（伽罗瓦群）能够以意想不到的方式编码拓扑结构（基本群），反之亦然。这种跨领域的联系，往往是数学中最具创造性和启发性的部分。我期待书中能有具体的例子，展示如何利用伽罗瓦群的理论来分析代数几何中的问题，而这些问题又可以通过代数拓扑的工具来解决，或者反之。总而言之，这本书的书名本身就传递了一种强大的数学信息：不同看似独立的数学领域，其实可能隐藏着深刻而深刻的联系。我期待它能够成为我深入理解代数和拓扑领域之间精妙关系的指南，为我打开一扇新的数学视野，让我领略到数学的统一性和和谐之美。这本书听起来就像是一次智力上的冒险，一次对抽象概念的深入挖掘，一次对数学深刻内在联系的探索。

评分☆☆☆☆☆

《伽罗瓦群与基本群》——这个书名在数学领域是极具份量的，它直接指向了抽象代数和代数拓扑学这两个核心且相互影响的数学分支。我对此书的期望，是它能为我打开一扇窗，让我能够透视这两个概念的精髓，并进一步理解它们之间可能存在的深刻而奇妙的关联。在伽罗瓦群方面，我期待这本书能够清晰地阐述其历史渊源，从群论在解决多项式方程根的对称性问题中的角色开始。我希望它能详细解释如何通过域扩张的概念来定义伽罗瓦群，以及群的结构如何反映出域扩张的性质。书中是否会深入探讨那些著名的定理，比如关于方程可解性的判据，以及如何利用伽罗瓦群来研究代数数的性质？我很期待能够看到一些经典的例子，例如如何利用伽罗瓦理论来证明尺规作图的局限性。至于基本群，我的设想是它将带领我进入代数拓扑学的奇妙世界。我希望书中能够生动地解释路径、同伦以及基本群的构造过程。从最简单的空间开始，比如直线、圆、球面，逐步过渡到更复杂的流形。我期望能够看到基本群如何作为一种强大的工具，来区分具有不同拓扑性质的空间，例如它们是否可以连续形变到彼此。而最令我兴奋的，莫过于这两个概念的“合体”。我坚信，在数学的某个深层领域，伽罗瓦群和基本群之间必然存在着某种引人入胜的联系。这本书是否会揭示，例如在某些代数几何的对象中，其自同构群（与伽罗瓦群相关）的性质，是否与该对象的拓扑空间的基本群有着某种直接的对应关系？我渴望在书中找到具体的例子，来说明这种跨领域的桥梁是如何搭建的，以及这种联系如何为我们解决更抽象、更困难的数学问题提供新的思路和方法。总而言之，仅仅是这个书名，就足以激发我对数学的无限遐想。我期待这本书不仅能提供严谨的理论推导，更能以一种富有洞察力的方式，展现数学不同分支之间精妙的共鸣，引领我进入一个更广阔、更深刻的数学视野。

评分☆☆☆☆☆

书名《伽罗瓦群与基本群》本身就散发着一种数学的魅力，它将两个在各自领域都极为重要且抽象的概念并列，暗示着一场关于数学结构深层联系的探索。我预感这本书会是一次对抽象思维的挑战，一次对数学美学的体验。在伽罗瓦群的部分，我希望它能从代数方程的可解性这一古老而引人入胜的问题入手，逐步建立起伽罗瓦理论的宏大框架。我期待书中能够清晰地阐释域扩张、正规扩张、以及置换群的概念，并最终引出伽罗瓦群的定义。我希望能够看到详细的例子，比如如何利用伽罗瓦群来分析二次、三次、四次方程的根的性质，以及为何五次及以上方程的求根公式难以找到。此外，我对它如何解释“本原群”以及“不可约多项式”与伽罗瓦群的对应关系也充满兴趣。谈到基本群，我则希望这本书能为我打开代数拓扑学的大门。我期待它能够以一种直观且富有逻辑的方式，解释如何通过路径、同伦以及它们之间的组合来定义基本群，以及这个群如何刻画空间的“洞”和“连通性”。从简单的拓扑空间，如圆、球面、环面，到更复杂的流形，我希望能够清晰地理解它们各自的基本群，以及它们如何作为拓扑不变量来区分不同的空间。而真正让我感到兴奋的是，这两大概念的交汇点。我设想，这本书可能会揭示，在某些特定的数学构造中，例如代数簇或覆盖空间，其代数性质（可以通过伽罗瓦群来描述）和拓扑性质（可以通过基本群来描述）之间存在着某种深刻的对应。我渴望看到书中能够提供一些具体的案例，展示如何运用伽罗瓦群的工具来分析拓扑空间的结构，或者如何利用基本群的洞察来理解代数对象的对称性。总的来说，这本书名本身就承载着数学中那种追求统一和深刻理解的精神。我期待它能够成为一次令人振奋的学习经历，不仅让我掌握扎实的理论知识，更能启发我对数学不同分支之间隐藏的、看似遥远却又紧密相连的内在联系产生更深刻的认识。

评分☆☆☆☆☆

《伽罗瓦群与基本群》——仅仅是这个书名，就已经在我脑海中勾勒出了一幅壮丽的数学图景，描绘着抽象代数和代数拓扑学领域那些最核心、最迷人的概念。我将这本书视为一次深入探索数学深层结构与联系的绝佳机会。在伽罗瓦群方面，我希望这本书能够从代数方程的可解性问题出发，带领读者一步步理解域扩张、置换群的对称性，最终构建起完整的伽罗瓦理论体系。我期待能够看到对诸如“域扩张的次数”、“正规扩张”等概念的清晰阐释，以及它们与伽罗瓦群的群结构之间的紧密联系。书中是否会提供一些经典且富有启发性的例子，例如如何用伽罗瓦理论来证明尺规作图的某些限制，或者如何分析高次方程的根的置换规律？我对此深感好奇。而对于基本群，我则期望它能开启我通往代数拓扑学世界的大门。我希望书中能以一种直观而严谨的方式，解释如何通过路径、同伦以及它们构成的群来捕捉空间的拓扑属性。从简单的圆、球面，到更复杂的环面、射影平面，我希望能理解它们各自的基本群，并认识到基本群作为一种拓扑不变量，在区分不同空间时的重要作用。最令我感到兴奋的，莫过于这两个看似独立的概念是如何联系在一起的。我预感，这本书会揭示出，在数学的某个交叉领域，代数结构（伽罗瓦群）和拓扑结构（基本群）之间存在着某种深刻的、出人意料的对应关系。例如，在研究代数簇或纤维丛时，它们是否可以通过各自的伽罗瓦群和基本群来相互理解？我渴望在书中找到具体的例子，来展示这种跨领域的桥梁是如何被搭建起来的，以及这种联系如何为我们解决更抽象、更复杂的问题提供新的视角和工具。总之，这本书名本身就传递了一种对数学深层统一性的追求。我期待它能够成为我学习和理解数学中抽象概念及其内在联系的宝贵资源，激发我对数学更广阔视野的探索。

评分☆☆☆☆☆