Partial Differential Equations & Boundary Value Problems with Maple, Second Edition pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Articolo, George A.

出品人:

页数:744

译者:

出版时间:2009-5

价格:514.00元

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isbn号码:9780123747327

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• 偏微分方程
• 边界值问题
• Maple
• 数学
• 数值分析
• 高等数学
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• 微分方程
• Maple软件

偏微分方程与边界值问题：理论、方法与应用 本书旨在为读者提供一个全面而深入的偏微分方程（PDE）及其边界值问题（BVP）的入门与进阶指南。内容涵盖了从基础理论框架的构建到高级分析与数值方法的详细阐述，特别注重理论的严谨性与实际应用的结合。全书结构清晰，逻辑连贯，力求使读者不仅掌握求解技术，更能理解PDE背后的数学原理与物理意义。 第一部分：基础理论与经典方程 本部分聚焦于偏微分方程的分类、基本性质以及最经典的几类方程——常微分方程（ODE）在特定条件下的演化、热传导方程、波动方程和拉普拉斯方程的数学结构。 第一章：偏微分方程基础 本章首先介绍了PDE的定义、阶数、线性与非线性、齐次与非齐次性等基本概念。随后，重点讨论了二阶线性偏微分方程的分类，即椭圆型、抛物线型和双曲型方程的判别标准（基于特征方程的判别式），并解释了不同类型方程在物理现象中扮演的角色。我们引入了物理守恒律的概念，阐述了PDE如何从微观尺度的守恒定律导出宏观描述。 第二章：一维定常问题的处理：拉普拉斯方程 拉普拉斯方程 ($ abla^2 u = 0$) 在稳态热传导、静电势分布和不可压缩流体中占据核心地位。本章详细研究了其在不同几何区域（如矩形、圆形、柱形和球形区域）上的边界值问题。重点内容包括： 分离变量法 (Separation of Variables)： 这是求解齐次线性PDE的核心解析技术。我们详细演示了如何将偏微分方程分解为一组常微分方程，并通过傅里叶级数（Fourier Series）将解构造为无限和的形式。 傅里叶级数与傅里叶积分： 对周期函数的展开、奇偶延拓、收敛性定理（狄利克雷条件）进行了深入探讨，为应用分离变量法奠定坚实的分析基础。 齐次与非齐次问题： 引入泊松方程 ($ abla^2 u = f$)，讨论了如何通过叠加原理和Green函数方法来处理非齐次项的影响。 第三章：演化问题的处理：热传导方程 抛物线型方程，特别是热传导方程 ($frac{partial u}{partial t} = k abla^2 u$)，描述了物质扩散和热量传递随时间的变化过程。 初边值问题 (Initial Boundary Value Problem, IBVP)： 重点分析了半无限长杆和有限长杆上的温度分布问题。 稳态解与瞬态解： 区分系统的长期平衡状态与随时间衰减的过渡过程。 无限域问题： 引入热核（Fundamental Solution of the Heat Equation），即热传导方程的特解，并利用卷积定理来构建无限域上 Cauchy 问题的解。 第四章：波动问题的处理：波动方程 双曲型方程，如波动方程 ($frac{partial^2 u}{partial t^2} = c^2 abla^2 u$)，描述了波的传播现象。 达朗贝尔（d’Alembert）公式： 针对无限长弦的初边值问题，推导并详述了著名的达朗贝尔公式，展示了波的解析解如何依赖于初始位移和初始速度。 有限弦问题： 在有限区间内，应用分离变量法求解，并探讨了驻波（Standing Waves）的特征频率和振型。 能量守恒与解的适定性： 讨论了波动方程的能量泛函，并初步探讨了局部解的存在性与唯一性。 第二部分：更高级的解析技术与Green函数 本部分超越了基本的分离变量法，引入了更强大的工具，用于处理复杂边界条件和非齐次性问题。 第五章：Green函数方法 Green函数是线性偏微分方程边值问题中最核心的解析工具，它代表了系统对一个点源的响应。 Green函数的构建： 详细阐述了如何利用拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程的Green函数作为基本解。 非齐次方程的求解： 演示了如何通过将非齐次项与Green函数进行积分（卷积）来构造精确解，尤其适用于具有特定几何形状边界的问题。 Green函数在波动方程中的应用： 引入了惠更斯原理（Huygens’ Principle）在三维空间的解释，并探讨了Green函数在时空中的传播特性。 第六章：傅里叶变换与拉普拉斯变换 积分变换是处理无限域或半无限域问题（尤其是涉及时间导数的演化方程）的利器。 拉普拉斯变换在PDE中的应用： 如何利用拉普拉斯变换将时间导数转化为代数运算，从而简化抛物线型和双曲型方程的求解过程，特别是对于初始条件。 傅里叶变换在PDE中的应用： 如何将空间导数转化为乘法运算，适用于描述无限空间中场的传播问题。重点分析了傅里叶变换如何与热传导方程和波动方程结合，实现从微分方程到常微分方程（在变换域内）的降维求解。 第三部分：数值逼近方法概述 尽管解析解在特定情况下非常优美，但对于复杂几何形状或高度非线性的方程，数值方法是唯一的出路。本部分对主要的数值技术进行概览与初步介绍。 第七章：有限差分法（Finite Difference Method, FDM）基础 有限差分法通过将导数替换为差商，将微分方程离散化为代数方程组。 泰勒级数展开： 详细推导了前向差分、后向差分和中心差分的误差项与阶数。 离散化方案： 针对一维和二维的拉普拉斯方程、热传导方程和波动方程，构建显式（Explicit）和隐式（Implicit）的差分格式。 稳定性、收敛性与相容性： 引入了Von Neumann稳定性分析，解释了CFL条件（Courant-Friedrichs-Lewy condition）对于时间步长选择的重要性，确保数值解的可靠性。 第八章：变分法与有限元方法简介 有限元方法（FEM）是处理复杂边界和不规则几何区域的强大工具。 弱形式与变分原理： 介绍如何将原 PDE（强形式）转化为积分形式（弱形式），这使得解可以在更广阔的空间内被定义，并允许使用分片多项式作为近似基函数。 Galerkin 方法： 阐述了如何在试函数空间中寻找近似解，并转化为求解一个大型稀疏矩阵的线性代数问题。本书将侧重于对这些概念的物理意义和数学框架的理解，而非冗长的矩阵求解细节。 本书的重点在于提供一个坚实的数学基础，使得读者能够理解解析技术如何精确地描述物理世界的规律，并为进入更前沿的数值模拟领域做好准备。内容强调理解每种方法的适用范围、局限性以及其背后蕴含的物理假设。

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坦白说，在翻阅《Partial Differential Equations & Boundary Value Problems with Maple, Second Edition》之前，我对“数值解法”这个概念的理解，充其量停留在一些基础的差分方法上，而且常常感觉这些方法在实际应用中存在很多局限性。然而，这本书的内容，特别是涉及到Maple在数值求解方面的应用，彻底颠覆了我的认知。作者巧妙地将复杂的数值算法，例如有限差分法、有限元法等，通过Maple的强大功能得以具象化。我不再只是阅读算法的步骤，而是能够亲眼看到算法是如何一步步逼近真实解的，甚至可以调整网格密度、迭代次数等参数，直观地感受它们对解的精度和收敛速度产生的影响。这种“所见即所得”的学习体验，让我对数值方法的理解不再是空洞的理论，而是变成了可以操作、可以验证的实际工具。我记得有一次，我尝试用书中的例子来解决一个我工作中遇到的实际问题，虽然原书的例子并不完全一致，但通过理解其背后的Maple代码和数值思路，我竟然成功地找到了一个可行的近似解。那一刻的成就感，是任何一本纯理论书籍都无法给予的。这本书让我意识到，数值方法并非万能，但掌握了恰当的工具和方法，许多曾经看似棘手的数学难题，都可以被有效地解决。它教会我如何以一种更务实、更高效的方式去面对和解决问题，为我打开了通往工程应用的大门。

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这本书的书名是《Partial Differential Equations & Boundary Value Problems with Maple, Second Edition》，但我想讨论的是它如何在我个人对科学计算的理解上留下了一道深深的印记，甚至可以说，它重塑了我看待许多数学问题的视角。在我深入学习这本书之前，我总是觉得偏微分方程（PDE）和边界值问题（BVP）是理论性极强，但实操起来却异常晦涩的领域。书本上的公式推导如同天书，求解过程更是充满了让人望而却步的抽象步骤。然而，这本书的出现，就像在迷雾中点燃了一盏明灯，它不仅仅是传递知识，更像是在引导我如何去“思考”PDE和BVP。通过Maple这个强大的工具，原本死板的数学概念变得生动起来。我记得第一次尝试用Maple来可视化一个简单的波动方程解时，那种惊喜是难以言喻的。看到屏幕上跳跃的曲线，我才真正体会到数学模型背后所蕴含的物理意义。这种互动式的学习方式，极大地激发了我学习的兴趣，也让我摆脱了过去那种“背公式、套定理”的低效模式。我开始主动去探索不同参数下的解的变化，去理解不同边界条件对系统行为的影响。这种体验，让我从一个被动的学习者，逐渐转变为一个主动的探索者，对数学的理解也上升到了一个全新的维度。这本书不只是一本教材，更像是一位经验丰富的向导，引领我在浩瀚的科学计算海洋中，找到了属于自己的航向。

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我一直对那些能够将抽象数学概念与实际应用无缝对接的书籍情有独钟，而《Partial Differential Equations & Boundary Value Problems with Maple, Second Edition》正是这样一本让我受益匪浅的书。它不仅仅是罗列枯燥的定理和公式，更重要的是，它通过Maple这个强大的计算软件，将那些理论性的内容“落地”了。我能清晰地看到，书中每一个偏微分方程的求解过程，是如何在Maple的帮助下被一步步实现和可视化的。例如，在处理热传导问题时，我不再仅仅是理解傅里叶级数和分离变量法的推导，而是能够通过Maple的代码，观察不同时间下温度分布的动态演变，感受热量是如何从高温区域扩散到低温区域的。这种直观的演示，让我对数学模型背后的物理过程有了更深刻的理解，也让我对数学在解决实际科学问题中的作用有了更清晰的认识。我曾经花费大量时间去理解那些复杂的数学证明，但往往收效甚微。这本书的出现，让我明白，有时候，用一种更直接、更计算化的方式去探索数学，反而能更有效地建立起对概念的理解。它像是一位耐心的导师，循循善诱，用生动的例子和实用的工具，引领我走进了偏微分方程和边界值问题的世界，让我不再畏惧它们，而是能够以一种积极的态度去拥抱和运用它们。

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读完《Partial Differential Equations & Boundary Value Problems with Maple, Second Edition》之后，我对“学习”这件事的看法都有所转变。以前，我总是认为数学的学习就是要死记硬背公式、理解定理的推导过程，但这本书彻底改变了我的这种观念。它让我明白，在现代科学研究中，计算和可视化工具扮演着多么重要的角色。通过Maple，我能够将书本上那些抽象的偏微分方程和边界值问题，转化为一系列可以执行的代码，然后观察结果。这种“动手做”的学习方式，让我对每一个概念的理解都更加透彻。比如，当书本讲解拉普拉斯方程的解法时，我可以直接在Maple中输入相应的代码，然后观察不同边界条件下，溶液的形状和分布。我还可以尝试改变边界条件，看看溶液会发生怎样的变化。这种即时反馈的学习模式，让我能够迅速发现自己理解上的误区，并及时加以纠正。更重要的是，这种体验让我觉得学习数学不再是一件枯燥乏味的事情，而是一场充满探索乐趣的旅程。我开始主动地去思考，如何利用Maple来解决我遇到的其他数学问题，如何用它来验证我的想法。这本书不仅仅是教我如何求解PDE和BVP，它更是教会了我一种全新的、更高效、更具创造力的学习和解决问题的方法。

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在接触《Partial Differential Equations & Boundary Value Problems with Maple, Second Edition》之前，我总是觉得求解偏微分方程是一件非常“高冷”的事情，它似乎只存在于理论研究和纯粹的数学推导中。然而，这本书的出现，极大地拉近了我与这个领域的距离。它通过集成Maple软件，将原本遥不可及的数学概念，变得触手可及，甚至可以说是“玩”起来了。我记得书中有一个章节，讲解的是如何用Maple来求解一个二维的热传导问题。我跟着书中的代码一步步操作，当看到Maple绘制出的温度分布图时，那种震撼是难以言表的。我能直观地看到温度是如何随着时间推移而变化的，也能清晰地理解不同区域的热量流动情况。这比单纯地阅读文字描述，要来得更加深刻和生动。这本书让我明白，数学不仅仅是纸上的公式，更是描述现实世界运行规律的强大工具。它教会我如何利用软件来辅助思考，如何将抽象的数学模型转化为可操作的计算过程，从而更有效地解决实际问题。通过这本书，我不再满足于仅仅理解理论，而是开始渴望去实际操作，去用Maple来验证我的想法，去探索更多可能性。它在我心中种下了一颗种子，让我对科学计算和应用数学产生了浓厚的兴趣。

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