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出版者:

作者:Balakrishnan, N./ Lai, C. D.

出品人:

页数:724

译者:

出版时间:2009-6

价格:$ 134.47

装帧:

isbn号码:9780387096131

丛书系列:

图书标签:

• bivariate distributions
• continuous distributions
• probability
• statistics
• mathematics
• stochastic processes
• copula
• multivariate analysis
• Bayesian statistics
• risk management

统计学研究的严谨基石：多变量分析与随机过程的深度探索 本书旨在为统计学、概率论、应用数学以及相关工程领域的研究者、高级学生和专业人士提供一个严谨、全面且深入的理论框架，用以理解和掌握超越单变量分析范畴的复杂随机现象。本书的核心焦点在于高维数据的结构、随机过程的动态演化以及复杂模型下的推断方法，完全聚焦于多变量统计模型、随机过程理论、时间序列分析以及高维概率空间中的极限理论，而不涉及任何关于“双变量连续分布”的特定内容。 全书内容划分为五个主要部分，层层递进，构建起一套完整的分析体系： --- 第一部分：多维概率空间与随机向量的几何基础 本部分是理解后续复杂模型的前提，着重于将概率论从一维空间扩展至$n$维欧几里得空间（$mathbb{R}^n$）。 第一章：$n$维测度论基础回顾与提升 本章首先快速回顾勒贝格测度和测度空间的基础概念，随后迅速过渡到$n$维空间中的Borel $sigma$-代数。重点探讨高维空间中的收敛概念（依概率收敛、依分布收敛、几乎必然收敛）及其在$n$维框架下的精确定义和相互关系。我们详细讨论了高维积分（如Fubini定理在高维下的应用）以及雅可比行列式在随机变量变换中的核心作用。 第二章：随机向量的联合分布与矩 本章系统地研究随机向量 $mathbf{X} = (X_1, X_2, dots, X_n)^T$ 的联合概率密度函数（PDF）和累积分布函数（CDF）。我们深入分析了协方差矩阵 $mathbf{Sigma}$ 的性质，包括其半正定性、特征值分解，以及如何利用协方差矩阵来刻画随机向量的线性依赖程度。矩阵迹（Trace）和行列式（Determinant）在描述随机向量的总体离散度和信息量方面的作用被详尽阐述。 第三章：正态向量模型的高级特性 正态（高斯）分布作为多维分析的基石，在本章被给予充分的关注。我们不仅仅停留在标准的多维正态分布公式上，而是深入探讨了其特征函数（Characteristic Function）的性质，特别是其唯一性证明。重点分析了正态向量的边缘分布、条件分布的精确形式，以及如何通过线性变换（如Cholesky分解）来构造任意协方差矩阵的正态随机向量。此外，本章还涉及了高斯随机向量集的独立性与正交性之间的微妙关系。 --- 第二部分：多变量统计推断的理论框架 在建立了多维概率基础后，本部分转向基于样本数据对未知参数进行估计和假设检验的方法论。 第四章：多维参数估计理论 本章聚焦于矩估计（Method of Moments, MoM）和极大似然估计（Maximum Likelihood Estimation, MLE）在$n$维参数空间中的推广。我们详细讨论了MLE在多变量模型下的渐近性质，包括渐近正态性、一致性以及渐近有效性。参数估计中的Cramér-Rao下界在高维空间中的推广形式，以及如何利用Fisher信息矩阵来衡量估计的精度，是本章的理论核心。 第五章：多变量假设检验的结构 本章系统地介绍了多变量假设检验的构造方法，特别是那些不依赖于特定分布族（分布自由检验）或依赖于正态性假设的检验。我们深入分析了广义似然比检验（Generalized Likelihood Ratio Test, GLRT）在高维情况下的渐近卡方分布性质。检验如Hotelling的$T^2$检验（单样本和双样本）、皮尔逊的卡方检验在高维数据中的适用边界，都被进行了严谨的数学推导和讨论。 第六章：维度缩减与特征提取 在高维数据分析中，如何有效捕捉数据的主要变异模式是关键。本章专门讨论主成分分析（Principal Component Analysis, PCA）的统计学基础，将其置于协方差矩阵的特征值分解的框架下。我们探讨了如何通过解释方差比例来确定有效秩，并讨论了基于随机矩阵理论（Random Matrix Theory, RMT）的最新进展，用以评估高维样本协方差矩阵的结构稳定性。 --- 第三部分：随机过程：时间序列与动态系统 本部分将视角从静态的随机向量扩展到随时间演变的随机现象，构建动态系统的分析工具。 第七章：平稳性与时间序列的分解 本章定义了弱平稳（Wide-Sense Stationarity, WSS）和强平稳性，并探讨了自协方差函数和谱密度函数之间的维纳-辛钦定理（Wiener-Khinchin Theorem）。我们详细分析了时间序列的分解方法，如经验模态分解（EMD）和经验正交函数（EOF）在长期趋势、周期性和随机噪声分离中的应用。 第八章：ARMA/ARIMA 模型的理论基础 本章构建了经典的线性时间序列模型：自回归（AR）、移动平均（MA）以及它们的组合（ARMA）。我们利用偏自相关函数（PACF）和自相关函数（ACF）来识别模型阶数，并深入探讨了模型的可逆性（Invertibility）和平稳性条件在$p$阶和$q$阶模型下的精确数学判据。接着，本书介绍了积分（I）的引入，构建了ARIMA模型的统计推断框架。 第九章：谱分析与频率域方法 本章从傅里叶分析的角度审视时间序列。我们探讨了如何利用快速傅里叶变换（FFT）估计时间序列的功率谱密度（Power Spectral Density, PSD）。频率域分析在识别隐藏周期性、过滤噪声以及理解系统动态响应方面的重要作用被详细阐述。 --- 第四部分：随机过程的深入模型 本部分进一步探讨更复杂、更具非线性和随机性的过程模型。 第十章：马尔可夫链与随机游走 本章聚焦于离散时间马尔可夫链（DTMC）的理论。我们定义了转移概率矩阵，并详细分析了状态空间分类（常返性、瞬时性、正常返性）。通过计算特征值和特征向量，本章展示了如何确定平稳分布和吸收时间。随机游走问题作为马尔可夫链的具体应用，被用于分析扩散和边界穿越问题。 第十一章：连续时间过程：泊松过程与布朗运动 连续时间分析的核心是泊松过程（计数过程）和维纳过程（布朗运动）。我们从增量独立性和平稳性的角度严格定义了泊松过程，并探讨了其与指数分布的关系。布朗运动的连续路径性质、二次变差的计算以及其作为极限过程的地位，构成了本章的理论高地。 第十二章：随机微分方程（SDEs）导论 本章为随机分析的顶点，引入了伊藤积分（Itô Integral）的概念，这是处理依赖于随机源的微分方程的必要工具。我们介绍了伊藤引理（Itô’s Lemma），并将其应用于求解简单的随机微分方程，如几何布朗运动模型。 --- 第五部分：高维极限理论与模型诊断 本部分回归到统计推断的严格性，关注大样本性质和模型的有效性检验。 第十三章：高维大数定律与中心极限定理的推广 本章深入探讨了在高维随机向量序列下的收敛定理。我们分析了Lyapunov中心极限定理在高维协方差矩阵下的应用，并讨论了在协方差矩阵非奇异性条件下，随机向量样本均值向量的渐近正态性。 第十四章：模型拟合优度和残差分析 对于多变量模型（如多重回归或结构方程模型），模型的拟合优度至关重要。本章介绍了高维回归模型（如VAR模型）的残差分析技术，包括多变量Durbin-Watson统计量、高维QQ图的构建，以及如何使用信息准则（AIC, BIC）在复杂度与拟合优度之间进行权衡。 第十五章：非参数高维估计的前沿视角 最后，本章简要介绍了在数据维度远大于样本量（$p gg N$）的场景下，传统参数模型失效时所采用的方法。讨论了稀疏性建模（如Lasso和Elastic Net）的统计理论基础，以及它们如何通过引入惩罚项来保证估计的可行性和稳定性。 --- 本书的写作风格保持了数学上的精确性和严谨性，每章末尾均包含一系列难度适中的练习题和具有挑战性的研究型思考题，旨在帮助读者巩固理论，并为进一步的专业研究奠定坚实的基础。

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