Beginning Algebra pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Tobey, John/ Slater, Jeffrey

出品人:

页数:736

译者:

出版时间:2008-11

价格:$ 194.36

装帧:

isbn号码:9780321573759

丛书系列:

图书标签:

• 代数
• 初等代数
• 数学
• 入门
• 基础教育
• 学习
• 教材
• 高等学校
• 自学
• 练习

好的，以下是一份针对《Beginning Algebra》之外的、内容详尽的图书简介。 --- 探索无尽的知识疆域：数字、逻辑与实践的交织 《抽象代数导论：群、环与域的结构解析》 作者： 艾伦·斯特林 (Allan Stirling) 出版社： 普罗米修斯学术出版社 (Prometheus Academic Press) 图书概述 《抽象代数导论：群、环与域的结构解析》是一部深度聚焦于现代代数核心概念的专著。本书旨在引导读者从传统的初等代数框架中抽离出来，进入一个更加结构化、更具理论深度的数学世界。本书并非对基础算术或初等方程的复习，而是立足于集合论的基础之上，系统性地构建起群论、环论和域论的完整理论体系。 我们相信，理解抽象代数不仅是对数学美学的欣赏，更是现代密码学、编码理论、代数几何乃至理论物理学的坚实基石。本书的叙述风格力求严谨而不失启发性，通过大量的构造性例子和关键的定理证明，帮助读者建立起对代数结构内在逻辑的深刻洞察。 第一部分：群论的基石与拓展（Foundations of Group Theory） 本部分是全书的理论核心，详细阐述了群这一最基本的代数结构。 第一章：群的公理与基本性质 本章从集合论中的二元运算出发，严格定义了群的四大公理：封闭性、结合律、单位元存在性与逆元存在性。我们将深入探讨子群的定义、陪集（Cosets）的概念，以及拉格朗日定理（Lagrange’s Theorem）的精妙之处——它揭示了有限群的阶数与其子群阶数之间的决定性关系。此外，对左陪集与右陪集的比较，为后续的正规子群奠定了基础。 第二章：同态、同构与群的结构 本章的核心是理解不同群之间的“结构性关系”。我们详细定义了群同态（Homomorphism）和群同构（Isomorphism），并利用同构定理（Isomorphism Theorems），特别是第一同构定理，来揭示商群（Quotient Groups）的本质。商群的构造是代数思想的关键飞跃，它允许我们将复杂的群分解为更易于管理的结构。本章还涵盖了循环群、二面体群（Dihedral Groups）和对称群（Symmetric Groups）的深入分析。 第三章：群作用与西洛定理（Sylow Theorems） 本章将理论推向应用。我们引入“群作用”的概念，探讨群作用如何揭示群本身的内部对称性。重点在于西洛定理——这组定理是研究有限群结构的最强大工具。我们将详细剖析一西洛定理、二西洛定理和三西洛定理的证明及其在分类小型非阿贝尔群中的应用。这些定理的证明过程充满了精巧的计数和构造技巧，对于培养读者的数学直觉至关重要。 第二部分：环论的深化（Exploration of Rings） 在掌握了群论的抽象思维后，我们转向具有两种运算的代数结构——环（Rings）。 第四章：环的定义、子环与理想 本章从加法交换群和乘法幺半群的概念出发，定义了环的结构，并区分了交换环与非交换环、单位环与非单位环。核心内容是“理想”（Ideals）的引入。理想是环中的“加法正规子群”，它在环论中的作用类似于正规子群在群论中的作用。我们详细阐述了主理想（Principal Ideals）的概念，并首次引入了商环（Quotient Rings）的构造。 第五章：整环、域与分式域的构造 本章专注于具有重要性质的特殊环。首先，我们定义了整环（Integral Domains），重点关注零因子（Zero Divisors）的排除。随后，我们深入探讨域（Fields）——其每一个非零元素都有乘法逆元的环。费解（Field）是代数方程求解的自然环境。本章的亮点在于“分式域的构造”（Construction of the Field of Quotients），这展示了如何从整环自然地扩展到包含所有有理数的结构，一个深刻的代数构造过程。 第六章：同态、同构与多项式环 本章将群论中的同构思想迁移到环结构上，定义了环同态与环同构。多项式环（Polynomial Rings）是本章的重点，它们在代数和代数几何中扮演核心角色。我们将研究在不同环上构造的多项式环的性质，并利用环的同构定理来理解这些结构的内在联系。 第三部分：域论与伽罗瓦理论的黎明（Field Theory and the Dawn of Galois） 本书的最后部分将代数理论推向其历史上最辉煌的成就之一——域扩张与伽罗瓦理论的初步接触。 第七章：域的扩张（Field Extensions） 域扩张是研究方程根域的关键工具。我们定义了域扩张 $[E:F]$ 的次数，并引入了“代数数”与“超越数”的概念。本章的理论核心是“中介域”（Intermediate Fields），并阐释了如何利用多项式的不变性来分析域的扩张。我们将探讨不可约多项式（Irreducible Polynomials）在构造有限域中的作用。 第八章：有限域与构造性应用 有限域（Finite Fields），又称伽罗瓦域，是数论和编码理论（如 BCH 码、Reed-Solomon 码）的基石。本章将证明所有具有 $p^n$ 个元素的有限域的存在性与唯一性，并详细构造 GF($p^n$)。这些构造过程展示了抽象代数在信息科学中的直接应用。 第九章：伽罗瓦群的初步概念 虽然本书并未深入伽罗瓦理论的全貌，但本章为读者搭建了通往更高阶数学的桥梁。我们定义了分裂域（Splitting Fields）和正规扩张（Normal Extensions）。最终，我们将探讨伽罗瓦群的概念——域扩张的自同构群——并简要说明伽罗瓦理论如何将域的代数问题转化为群论问题，从而解释了五次及以上代数方程为何没有通用的根式解。 目标读者与本书特色 本书专为具备微积分基础，并希望深入理解数学结构本质的本科高年级学生、研究生及自学者设计。 本书特色包括： 1. 严格的证明体系： 所有关键定理均提供完整、可追溯的证明。 2. 启发性实例： 每引入一个新概念，都配有来自具体数字系统（如整数 $mathbb{Z}$、有理数 $mathbb{Q}$、实数 $mathbb{R}$）的实例进行支撑。 3. 概念的层次感： 结构性地从群到环再到域，体现了数学理论的自然演进和统一性。 4. 章节末尾的挑战性习题： 旨在测试读者对理论的掌握程度，并引导他们进行更深层次的探索。 通过研读《抽象代数导论》，读者将掌握一套强大的数学工具，能够以全新的视角审视数学乃至科学的底层逻辑。

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