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出版者:

作者:Christiansen, Jennifer

出品人:

页数:32

译者:

出版时间:2009-1

价格:$ 30.06

装帧:

isbn号码:9780778744702

丛书系列:

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《掌握图形的艺术：菱形、扇形与锥体的几何之旅》 本书旨在带领读者深入探索几何世界中那些形态独特、应用广泛的图形——菱形、扇形以及它们在三维空间中的延伸——锥体。我们将从基础的二维几何概念出发，层层递进，揭示这些图形的内在规律、计算方法以及在现实世界中的巧妙应用，最终帮助读者构建起对三维空间形态的直观理解。 第一章：二维世界的基石——菱形的魅力 在我们的旅程伊始，我们将首先聚焦于二维平面上的菱形。它是一种特殊的平行四边形，其四条边长度相等。然而，菱形不仅仅是“斜着的正方形”，它的几何特性远比这丰富。 定义与基本性质： 我们将严谨地定义菱形，并逐一阐述其关键性质：对边平行且相等（作为平行四边形的继承），四边相等，对角线互相垂直平分，且对角线平分对角。这些性质将是我们后续深入分析的基础。 菱形的分类与特殊情况： 菱形是否与正方形有关？是的，正方形是一种特殊的菱形。我们将探讨菱形在何种条件下可以转化为正方形，并区分它们各自的独特之处。 面积的计算： 菱形的面积计算是掌握其性质的重要一环。除了可以视为底乘以高（其中底是任意一边，高是该边到其对边的垂直距离），我们还将重点介绍利用对角线计算面积的方法：对角线乘积的一半。这个公式简洁而高效，在许多几何问题中都至关重要。 周长的计算： 由于四边相等，菱形的周长计算相对简单，即边长的四倍。 菱形的分割与组合： 菱形可以被其对角线分割成四个全等的直角三角形。我们将利用这一特性，从三角形的性质反推菱形的性质，加深理解。同时，我们也探讨如何通过组合菱形来构建更复杂的图形。 现实世界中的菱形： 从建筑中的菱形窗格、瓷砖铺设，到一些运动项目中的球场标记，再到自然界中某些矿物的晶体形态，菱形以其独特的稳定性和视觉效果，无处不在。我们会列举生动的实例，让抽象的几何概念变得触手可及。 第二章：延展的弧线——扇形的探索 接下来，我们的目光将转向圆的一部分——扇形。扇形是连接圆心与圆上任意两条半径所围成的区域。它与圆的密切关系，赋予了它独特的几何语言。 定义与构成要素： 扇形由两条半径和一段圆弧组成。理解半径、圆心角和圆弧长是掌握扇形概念的关键。 圆心角与弧度的概念： 我们将详细介绍圆心角（扇形两半径之间的夹角）的概念，并引入弧度制作为度量角大小的另一种常用方式。弧度制在后续的微积分和许多物理公式中扮演着重要角色。 弧长的计算： 扇形的弧长与其所在圆的周长以及圆心角的大小成正比。我们将推导出计算弧长的公式：圆的周长乘以圆心角（以度为单位）与360度的比值，或者当使用弧度制时，直接是半径乘以圆心角。 扇形面积的计算： 扇形的面积同样与圆的面积以及圆心角成正比。我们将推导出计算扇形面积的公式：圆的面积乘以圆心角（以度为单位）与360度的比值，或者使用弧度制时，是半径的平方乘以圆心角的一半。 扇形的周长： 扇形的周长由两条半径加上一段弧长组成。 扇形在日常生活中的应用： 想象一下披萨、蛋糕的切块，或者转动的风扇叶片，甚至是路边的交通指示牌。扇形的应用随处可见，它代表着分割、旋转和局部区域。我们将探讨扇形在测绘、工程设计以及艺术创作中的作用。 第三章：三维的延伸——锥体的世界 在掌握了菱形和扇形的基础后，我们将把视角提升到三维空间，探索这些二维图形如何构建出立体形态。本章的核心将是锥体，特别是圆锥。 锥体的基本概念： 锥体是一种底面是多边形（或圆）且有一个顶点，所有侧面都是三角形（或三角形区域）的几何体。我们将区分不同的锥体，重点关注圆锥。 圆锥的构成： 圆锥由一个圆形底面和一个顶点组成，顶点与底面圆周上所有点相连形成侧面。构成圆锥的关键要素包括底面半径、顶点到圆心的垂直距离（高），以及连接顶点与底面圆周上任意一点的直线段（母线）。 圆锥的展开图： 将圆锥的侧面展开，我们会发现它恰好是一个扇形。这正是扇形与锥体之间神奇的联系。这个展开图是理解圆锥表面积计算的关键。 圆锥侧面积的计算： 利用圆锥的展开图（扇形），我们可以推导出侧面积的计算公式。侧面积等于展开的扇形的面积，即 $pi imes ext{底面半径} imes ext{母线长}$。 圆锥底面积的计算： 圆锥的底面是一个圆形，其面积计算公式为 $pi imes ext{底面半径}^2$。 圆锥的表面积： 圆锥的表面积是侧面积与底面积之和。 圆锥体积的计算： 圆锥的体积计算公式是 $frac{1}{3} imes ext{底面积} imes ext{高}$。这个 $frac{1}{3}$ 的系数，与同底同高的圆柱体体积相比，是一个非常重要的特征，我们将通过类比和直观解释来理解其由来。 与圆柱体的对比： 将圆锥的体积与其“伙伴”——圆柱体进行对比，能更深刻地理解体积公式中的系数差异，并加深对三维空间中体积概念的理解。 现实生活中的圆锥： 从交通锥、冰淇淋蛋筒、火山的形状，到灯塔的顶部、一些建筑物的尖顶，圆锥的形态简洁而稳定，使其在工程、设计和自然界中有着广泛的应用。我们将分析这些实例，理解圆锥为何如此适合某些特定功能。 第四章：融合与升华——综合应用与进阶思考 在对菱形、扇形和圆锥有了深入的认识后，本章将致力于将这些知识融会贯通，并通过一些综合性的问题来深化理解，拓展思维。 菱形与扇形的内在联系： 虽然一个是平面图形，一个是圆的一部分，但在某些特殊的几何构造中，它们可以相互转化或结合。例如，某些由菱形分割而成的图形，其内部的特定区域可能与扇形相关。 扇形与圆锥的转化： 我们将再次强调，扇形是圆锥侧面的展开图。理解这一点，对于计算圆锥的表面积和理解其几何构造至关重要。 多角度看问题： 针对一些经典几何问题，我们将尝试用不同的方法解决，比如利用相似三角形、勾股定理、甚至微积分的初步思想（如将圆锥切割成无数个微小圆盘来求体积），引导读者建立多角度分析问题的能力。 生活中的数学： 我们将进一步探讨更复杂的现实场景，分析其中隐藏的几何原理。例如，如何根据扇形的比例设计一个能容纳特定物品的圆锥形容器，或者如何利用菱形的特性进行高效的材料切割和排布。 几何直觉的培养： 通过大量的图形分析和实例讲解，本书旨在帮助读者培养敏锐的几何直觉，能够“看到”图形的性质，而不是仅仅依靠公式计算。 探索未知： 对于那些对数学充满好奇的读者，本章还会提供一些思考题和进阶方向，鼓励他们继续探索更广阔的几何世界，例如其他类型的锥体（如棱锥）、曲面几何以及更复杂的立体图形。 本书力求用清晰易懂的语言，配合精美的插图和生动的案例，将抽象的几何概念转化为可感知、可理解的知识。我们相信，通过本书的学习，读者不仅能够掌握菱形、扇形和锥体的基本知识，更能激发对数学的兴趣，学会用几何的视角去观察和理解我们周围的世界。

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