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出版者:Springer

作者:Weintraub, Steven H.

出品人:

页数:228

译者:

出版时间:2008-11

价格:$ 67.74

装帧:

isbn号码:9780387875743

丛书系列:

图书标签:

• Galois Theory
• Field Theory
• Abstract Algebra
• Polynomials
• Group Theory
• Algebraic Extensions
• Finite Fields
• Solvability
• Radicals
• Classical Galois Theory

《抽象代数导引：群论与域的初步探索》 这是一部面向广大学习者，旨在提供清晰、系统且富有启发性的抽象代数基础的著作。本书的核心在于引导读者深入理解数学中最基本、最强大的结构之一——群（group）的性质，并在此基础上，为进一步探索域（field）的概念奠定坚实的基础。我们相信，通过对这些基本概念的深入剖析，读者将能够掌握解决更复杂数学问题的关键工具，并领略到数学严谨性与创造性的魅力。 本书的叙述风格力求深入浅出，既保证了数学的严谨性，又避免了不必要的艰深晦涩。我们摒弃了堆砌定义和定理的机械式讲解，而是注重概念之间的内在联系，通过大量的例子、直观的解释和循序渐进的练习，帮助读者建立起对抽象概念的直观理解。每一个定义、每一个定理的提出，都力求有其发生的背景和解决的问题，让读者在学习过程中不仅知其然，更知其所以然。 第一部分：群的奇妙世界 我们将从群这一核心概念出发，展开一段精彩的探索之旅。 何以为群？——定义的基石与意义： 我们将首先审慎地定义什么是群。这不仅仅是列出“封闭性”、“结合律”、“单位元”和“逆元”这四个性质，更重要的是，我们将深入探讨这些性质为何重要，它们共同构成了怎样的代数结构，以及这个结构为何能在数学的众多分支中扮演如此核心的角色。我们会通过对称群、整数加法群等具体的例子，让读者感受到定义背后蕴含的力量和普适性。 元素的舞蹈——子群与陪集： 在理解了群的基本定义后，我们将开始观察群内部的结构。子群（subgroup）的概念将如同在宏大的群体中发现一个个紧密的小团体，我们研究它们的性质，以及它们如何影响整个群的结构。而陪集（coset）的引入，则将带领我们从不同的“视角”审视群，理解群的“划分”方式，为后续引入正规子群和商群奠定直观基础。 群的划分艺术——正规子群与商群： 正规子群（normal subgroup）是群论中一个至关重要的概念。它赋予了群一种特殊的“对称性”，使得我们可以通过“压缩”或“折叠”一个群来构建新的、更简单的群，这就是商群（quotient group）。我们将会详细阐述正规子群的定义，并通过丰富的例子，如整数模n的加法群，来展示商群的构造过程及其重要意义。商群的存在，意味着即使面对复杂的群，我们也能将其分解为更易于理解的部分，这是一种强大的化繁为简的数学思想。 同态与同构——结构之间的桥梁： 数学的美妙之处在于不同结构之间的联系。同态（homomorphism）和同构（isomorphism）是揭示这种联系的两个关键概念。同态描绘了不同群之间在保持运算结构上的“相似性”，而同构则进一步强调了这种相似性是“完美的”，即两个同构的群在代数意义上是不可区分的。我们将通过具体的映射例子，帮助读者理解同态和同构的本质，以及它们在识别和分类群结构上的巨大作用。 循环群与有限生成群——结构的简单与复杂： 我们将特别关注循环群（cyclic group），这是最简单但却极其重要的群。通过理解循环群的性质，我们可以窥见一般群的许多特性。在此基础上，我们还将探讨有限生成群（finitely generated group）的概念，它将引导我们理解如何用有限的生成元来描述一个群，这对于理论研究和实际应用都具有重要的意义。 对称的语言——置换群： 对称性是自然界和数学中最普遍、最深刻的现象之一。置换群（permutation group）为我们提供了一种精确描述和研究对称性的语言。我们将详细介绍置换的概念，学习如何表示和操作置换，并重点探讨对称群 $S_n$ 的结构，揭示其丰富的性质和与矩阵运算的联系。 第二部分：迈向域的殿堂 在牢固掌握了群论的基础后，本书将自然地过渡到域（field）的概念。域是另一种 fundamental 的代数结构，它在数域（如实数域、复数域）以及更抽象的代数方程求解中扮演着核心角色。 运算的扩展——环的初步认识： 在定义域之前，我们需要先理解环（ring）的概念。环在群的基础上，增加了另一个二元运算，并且这两个运算之间存在着 distributive law（分配律）。我们将通过整数环、多项式环等例子，理解环的构成，以及它如何为定义域做好铺垫。 既能加又能乘——域的定义与性质： 域是同时具备加法群和乘法群（除去零元）结构的代数系统，并且这两个运算之间满足分配律。我们将严格定义域，并深入探讨域的性质，例如域中的零因子不存在（integral domain），以及域中的可逆元。我们将通过有理数域 $mathbb{Q}$、实数域 $mathbb{R}$、复数域 $mathbb{C}$ 以及有限域（如 $mathbb{Z}_p$，p为素数）等例子，展现域的丰富性和多样性。 域的扩张——更广阔的天地： 域的扩张（field extension）是域论的核心内容，也是连接代数与数论、几何的重要桥梁。我们将介绍子域、扩张域等基本概念，并开始探索如何通过添加根的方式来构造更大的域。这将为理解多项式的根是否存在于某个域中，以及方程的可解性问题提供理论基础。 学习本书的收获 完成本书的学习，您将： 1. 掌握抽象代数的核心语言： 能够清晰地理解并运用群、子群、陪集、正规子群、商群、同态、同构、环、域等基本概念。 2. 培养严谨的数学思维： 通过大量的证明和例子，训练逻辑推理能力，学会如何构建和理解数学证明。 3. 建立数学结构的直观感受： 借助丰富的实例和图示，将抽象的概念转化为具体的理解，培养对数学结构内在规律的敏感度。 4. 为深入学习打下坚实基础： 本书所涵盖的知识是进一步学习抽象代数、数论、代数几何、编码理论、密码学等领域不可或缺的基石。 5. 领略数学的优雅与力量： 感受代数结构如何简洁而有力地描述和解决各种数学问题，体会数学的普适性和深刻性。 《抽象代数导引：群论与域的初步探索》不仅是一本教科书，更是一扇通往广阔数学世界的窗口。我们鼓励读者在阅读过程中积极思考，主动动手，将书中的概念和方法应用于解决具体的数学问题。愿本书能成为您在数学探索道路上的良师益友。

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