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出版者:

作者:McGraw-Hill

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2009-1

价格:$ 45.20

装帧:

isbn号码:9780078908460

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 小学数学
• 学习辅导
• 练习题
• 解题技巧
• 基础知识
• 趣味数学
• 应试准备
• 家庭学习
• 课后辅导

《数学的胜利：超越极限的思维艺术》 在这本引人入胜的数学探索之旅中，我们将超越数字的冰冷计算，深入挖掘其背后隐藏的逻辑美学、创造性思维以及解决问题的强大力量。本书并非一份枯燥的定理证明集，也不是一道道令人望而却步的难题清单，而是一次关于数学思维的深度体验，一次对人类智慧巅峰的致敬。我们将追溯数学概念的演化，展现它们如何在历史的长河中孕育、发展，并最终改变我们理解世界的方式。 第一章：概念的萌芽——从数感到抽象的飞跃 一切的起点，往往是最简单的计数。从史前人类在骨头上刻画痕迹，到古埃及人利用几何原理丈量尼罗河两岸的土地，数字和图形早已融入人类生存的根基。然而，数学的真正魅力在于它超越了具体的物质世界，实现了向抽象概念的飞跃。我们将探讨早期文明中，诸如毕达哥拉斯学派对数与和谐的迷恋，他们相信宇宙的本质可以用数字来解释，这种朴素的形而上学思想，为日后数学的抽象化奠定了基石。 我们会审视古希腊数学的辉煌。欧几里得的《几何原本》并非简单的规则汇编，而是一种严谨的演绎推理体系的典范。本书将解析其中蕴含的公理化思想，它如何从少数不证自明的公理出发，推导出浩瀚的几何知识，这不仅是数学的里程碑，更是人类理性思维的伟大胜利。我们将看到，数学不再仅仅是对自然现象的描摹，而是一种独立于感官的、纯粹的智力活动。 第二章：逻辑的殿堂——理性之剑的锋芒 一旦数学的抽象之门被开启，逻辑便成为其最强大的武器。本章将深入探究逻辑推理在数学发展中的核心地位。我们会回顾亚里士多德的形式逻辑，探讨其如何为数学证明提供严谨的框架。从命题、谓词到推理规则，我们将理解数学语言的精确性以及证明过程的不可动摇性。 然而，逻辑并非一成不变的教条。我们会看到，数学的发展也伴随着对逻辑局限性的认识和突破。诸如哥德尔不完备定理的出现，如同在逻辑的殿堂中投下了一道深邃的阴影，它揭示了任何形式化的公理系统都存在无法被证明或证伪的命题。这并非是对数学的否定，而是对人类认知边界的深刻反思，也催生了对数学基础更深层次的探索。 第三章：工具的革新—— Calculus 的革命浪潮 如果说逻辑是数学的骨架，那么微积分（Calculus）无疑是赋予其灵魂与生命力的血液。牛顿与莱布尼茨在十七世纪的独立发明，标志着数学进入了一个全新的时代。本书将生动地描绘微积分是如何解决传统数学无法企及的难题的：如何计算曲线下的面积，如何描述物体的瞬时速度，如何理解变化率。 我们将深入浅出地介绍微分与积分的基本概念，它们并非抽象的符号游戏，而是对动态世界进行精确描述的强大工具。从物理学的牛顿定律到经济学的模型分析，微积分的应用渗透到现代科学的方方面面，它让我们能够理解并预测从行星运动到股票价格的复杂动态。我们将强调，微积分的出现，是人类智力征服连续变化世界的一次伟大飞跃。 第四章：结构的奥秘——代数与群论的优雅 超越了对数量的直接研究，代数将我们带入了对更广泛的数学结构的探索。从古代求解一元二次方程的尝试，到伽罗瓦理论揭示的方程根的深刻奥秘，代数的发展是人类对对称性、不变性和变换理解的不断深化。本书将带领读者领略代数的美妙，它不仅仅是字母符号的组合，更是隐藏在现象背后普遍规律的抽象表达。 我们将特别聚焦于群论的引入。群论作为抽象代数的核心分支，研究的是满足特定性质的集合及其运算。这个看似抽象的概念，却在化学（分子对称性）、物理学（粒子对称性）乃至密码学中展现出惊人的应用价值。我们将揭示群论如何揭示数学对象之间的内在联系，以及它如何成为理解和分类复杂结构的有力工具。 第五章：空间的维度——几何的演进与拓扑的魅力 几何学，作为数学中最古老、最直观的分支之一，其发展从未止步。从欧几里得平面几何的严谨，到黎曼几何对非欧几里得空间的探索，我们看到了人类对空间理解的不断拓展。本书将带您领略几何学从二维到高维的演进，以及非欧几里得几何如何挑战我们根深蒂固的空间直觉，为相对论等现代物理学理论奠定基础。 在此基础上，我们将深入探讨拓扑学。拓扑学，被称为“软几何”，它研究的是在连续变形下保持不变的性质。一个咖啡杯和一个甜甜圈在拓扑学看来是相同的，因为它们都可以通过连续的形变相互转换。这种抽象而深刻的视角，让我们能够从根本上理解空间的内在结构，并在多个学科领域找到意想不到的应用，从物质科学到生物学，再到计算机科学。 第六章：概率的艺术——不确定性中的秩序 在充满了不确定性的世界里，概率论为我们提供了一种理解和量化随机性的方法。从古代骰子游戏的数学分析，到现代金融市场的风险评估，概率论已成为现代社会不可或缺的工具。本书将探讨概率论的起源，以及它如何从简单的统计现象发展成为一门严谨的数学学科。 我们将介绍概率的基本概念，如事件、样本空间、概率测度，以及随机变量和概率分布。这些工具使我们能够分析和预测具有随机性的现象，从抛硬币的走向到复杂系统的故障概率。我们将强调，概率论并非宿命论，而是通过量化不确定性，使我们能够做出更明智的决策，并在复杂的现实世界中找到秩序。 第七章：无限的疆域——集合论与数学的边界 人类对无限的探索，是数学发展中最具挑战性也最具魅力的主题之一。集合论，尤其是康托尔的开创性工作，彻底改变了我们对无限的理解。本书将带领读者进入无限的疆域，探索不同“大小”的无限。 我们将介绍集合论的基本概念，如集合、子集、交集和并集，以及康托尔提出的“基数”概念，用以区分不同大小的无限集合。这些概念的提出，虽然在当时引起了巨大的争议，但却为现代数学的许多分支奠定了基础，并引发了对数学基础和逻辑完备性的深刻哲学思考。我们将看到，对无限的探索，不断拓展着数学的边界，也挑战着我们对现实的认知。 第八章：计算的未来——算法、计算理论与人工智能 在信息时代，计算已经成为驱动社会发展的核心动力。算法，作为解决问题的步骤和指令，是计算的灵魂。本书将深入探讨算法的设计与分析，以及计算理论的深层含义。 我们将介绍图灵机这一抽象的计算模型，它为理解“可计算性”提供了理论基础。图灵的贡献不仅在于理论，更在于他对人工智能的早期构想，预示着机器智能的可能性。我们将审视计算复杂性理论，它研究解决问题所需的时间和空间资源，帮助我们理解哪些问题在理论上是可解的，哪些问题是实际上不可解的。 最后，我们将展望计算的未来，特别是人工智能的发展。人工智能的兴起，离不开数学的基石，包括机器学习、深度学习等，都依赖于复杂的数学模型和算法。我们将探讨数学在构建更强大、更智能的计算系统中所扮演的关键角色，以及计算的未来将如何继续重塑我们的世界。 《数学的胜利：超越极限的思维艺术》 是一次对人类智力光辉的颂歌，它展示了数学如何从简单的计数工具，演变为理解宇宙、改造世界的强大思维体系。本书旨在激发读者对数学的兴趣，培养严谨的逻辑思维，提升解决问题的能力，并最终认识到数学在构建我们所处世界中所扮演的不可或缺的角色。通过这场思想的盛宴，您将深刻体会到，数学的胜利，就是人类智慧的胜利，是理性与创造力交织出的永恒篇章。

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