Integral Quadratic Forms pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:

作者:Watson, George Leo

出品人:

页数:156

译者:

出版时间:2008-12

价格:$ 51.98

装帧:

isbn号码:9780521091817

丛书系列:

图书标签:

Integral forms
Quadratic forms
Number theory
Algebraic number theory
Lattices
Modular forms
Automorphic forms
Diophantine equations
Representation theory
Cusp forms

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具体描述

This tract gives a fairly elementary account of the theory of quadratic forms with integral coefficients and variables. It assumes a knowledge of the rudiments of matrix algebra and of elementary number theory, but scarcely any analysis. It is therefore intelligible to beginners and helps to prepare them for the study of the advanced work on quadratic forms over general rings. Dr Watson works step by step from wider (and easier) to narrower relations between forms, the final goal being the study of equivalence. The important problem of representation of integers is fully discussed in the course of the main development. There is an early chapter on reduction. Existing work on the theory of integral quadratic forms is obscure (partly for historical reasons). But the straightforward approach adopted by Dr Watson leads to a consideration of most of the main problems; there are proofs of many recent results, including some discovered by Dr Watson but hitherto unpublished.

《积分二次型》内容概要本书深入探讨了积分二次型这一数论与代数几何中的核心概念。全书围绕二次型在整数环上的取值展开，系统地介绍了相关的理论、方法与应用。我们将从二次型的基本定义出发，逐步深入到其性质、分类、表示以及在不同数学领域中的体现。第一部分：基础理论与基本性质首先，本书将详细阐述二次型的定义。我们将讨论由 $n$ 个变量组成的二次型 $Q(x_1, dots, x_n) = sum_{i,j=1}^n a_{ij} x_i x_j$ 的形式，其中系数 $a_{ij}$ 可以是整数、有理数，或者更一般地，属于某个环。特别地，我们将重点关注系数为整数的二次型，即整数二次型。随后，我们将介绍二次型的等价概念。两个二次型如果可以通过一个可逆线性替换（对于整数二次型，要求替换矩阵的行列式为 $pm 1$）联系起来，则称它们是等价的。我们将深入研究等价关系，并探讨如何将一个二次型化为标准形或约化形，这是分析二次型性质的关键步骤。对于二次齐次多项式，我们还会讨论其在模 $m$ 下的性质，例如模 $p$ 的二次剩余等。矩阵表示是研究二次型的重要工具。本书将详细介绍二次型与对称矩阵之间的对应关系，并利用矩阵的性质（如秩、行列式）来刻画二次型的特征。我们将讨论判别式（determinant）在二次型理论中的作用，尤其是在判断二次型的可逆性以及其在模 $p$ 下的行为方面。第二部分：整数二次型整数二次型是本书的重点。我们将深入探讨整数二次型的分类问题。对于一个整数二次型，其系数必须是整数，并且我们感兴趣的是它在整数变量取值时的性质。我们将介绍如何通过约化过程，将任意一个整数二次型化为一系列标准形式，例如对角形。我们将详细讨论二次型的表示问题。即，给定一个整数二次型 $Q(x_1, dots, x_n)$，我们想知道它能否表示给定的整数 $m$。这个问题与丢番图方程密切相关，我们将介绍求解此类问题的基本方法和理论。例如，我们将讨论二次型表示整数的充要条件，以及如何利用局部-整体原理（local-global principle）来解决表示问题。二次型的正定性与不定性是其重要的几何与分析性质。我们将详细解释正定二次型（当变量非零时，二次型取值恒为正）的定义，并讨论其在几何学中的应用，例如在研究二次曲面时。对于不定二次型，我们将探讨其在数论中的挑战与机遇。第三部分：平方和与更一般的二次型本书还将扩展到更一般的二次型概念。我们将讨论将一个整数表示为若干个平方和的问题，例如拉格朗日四平方定理（Lagrange's four-square theorem），该定理指出任何正整数都可以表示为四个整数的平方和。我们将追溯该定理的证明思路，并探讨将其推广到其他平方数的问题。我们还将涉及多项式二次型，即变量可以是多项式的二次型，以及其在代数几何中的联系。例如，二次型的零点集构成了代数簇，我们将介绍如何利用二次型的性质来研究这些簇的几何结构。第四部分：数论应用与进阶主题积分二次型在数论的多个分支中都有着深远的应用。本书将详细介绍这些应用，包括：丢番图方程的求解：许多丢番图方程可以转化为关于二次型的方程，例如佩尔方程（Pell's equation）的推广。我们将展示如何利用二次型理论来分析和求解这些方程。类群与表示论：整数二次型在模 $p$ 下的行为与数论中的类群（class group）概念紧密相连。我们将介绍相关的理论，以及如何利用二次型来研究数域的类域。二次域上的二次型：我们还会简要介绍在二次域（quadratic fields）上的二次型，以及它们与数论中的其他重要概念（如理想类）之间的联系。高维二次型与 Witt 理论：对于更高维度的二次型，本书将介绍 Witt 理论的核心思想，以及它在研究二次型在域上的等价性和分类中所扮演的角色。第五部分：计算方法与算法除了理论探索，本书还将包含一些实用的计算方法和算法。我们将介绍如何有效地进行二次型的约化，如何判断一个整数能否被给定的二次型表示，以及如何找到表示的整数解。这些算法在计算机代数系统中具有重要的应用价值。目标读者本书适合对数论、代数以及代数几何有一定基础的本科生、研究生以及研究人员。对于希望深入理解二次型理论及其在数学各个分支中应用的读者，本书将提供一个全面且严谨的导引。本书特点理论严谨：每一个概念的引入都经过严格的数学推导，确保逻辑的连贯性与准确性。内容全面：覆盖了从基础概念到前沿应用的广泛主题，力求为读者构建完整的知识体系。应用导向：强调理论在解决实际数学问题中的作用，通过丰富的例子和应用场景来阐释抽象概念。循序渐进：内容安排由浅入深，便于不同背景的读者逐步掌握。通过阅读本书，读者将能够深刻理解积分二次型的精妙之处，并掌握运用其理论解决数论及相关领域问题的强大工具。