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出版者:Cambridge University Press

作者:Chen, W. W. L. (EDT)/ Gowers, W. T. (EDT)/ Halberstam, H. (EDT)/ Schmidt, W. M. (EDT)/ Vaughan, R. C

出品人:

页数:510

译者:

出版时间:2009-3-16

价格:USD 138.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780521515382

丛书系列:

图书标签:

数论
解析数论
数学
高等数学
数论研究
Dirichlet级数
筛法
L函数
素数分布
代数数论

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具体描述

Klaus Roth's pioneering research in the field of number theory has led to important and substantial breakthroughs in many areas, including sieve theory, diophantine approximation, and irregularities of distribution. His work on the Thue-Siegel-Roth Theorem earned him a Fields Medal in 1958 - the first British mathematician to receive the honour. Analytic Number Theory: Essays in Honour of Klaus Roth comprises 32 essays from close colleagues and leading experts in those fields in which he has worked, and provides a great insight into the historical development of the subject matter and the importance of Roth's contributions to number theory and beyond. His influence is also discussed in relation to more recent mathematical advances. Extensive lists of references make this a valuable source for research mathematicians in many areas, an introductory overview of the subject for beginning research students, and a fitting long-awaited tribute to a great mathematician.

《解析数论：深入探索数的奥秘》本书旨在为读者提供一个全面而深刻的解析数论领域的导引。解析数论，作为纯数学的一个分支，巧妙地将微积分、复分析以及概率论等工具，应用于研究整数的性质。它并非仅仅是代数数论的补充，而是一套独立且强大的方法论，能够揭示出素数分布、整数方程解的数量等一系列深刻而迷人的数论难题。本书的写作宗旨，是期望在不依赖读者预先拥有深厚数论背景的前提下，逐步引导其掌握解析数论的核心概念、关键技术与重要成果，并激发其进一步探索的兴趣。全书内容围绕着解析数论的几个核心主题展开。首先，我们将在第一部分“基础工具与初步探索”中，为读者构建起必要的数学基础。这里将回顾并梳理微积分、无穷级数、复变函数论中的一些基础概念，并着重介绍解析数论中常用的分析工具，如泰勒展开、留数定理以及一些重要的积分和求和技巧。在此基础上，我们将引入黎曼 Zeta 函数——这个解析数论的“圣杯”。通过对其性质的细致分析，例如欧拉乘积公式的构造，我们将初步窥见它与素数之间那令人着迷的联系。我们也将探讨Dirichlet级数的性质，为后续引入Dirichlet卷积和更一般的L函数奠定基础。这一部分的目标是让读者熟悉解析工具的威力，并对数论问题的数据分析方法产生初步的认识。在第二部分“素数分布的宏伟蓝图”中，我们将深入探讨解析数论最核心、也最具挑战性的领域之一：素数分布。我们将从最基础的问题出发，例如素数的计数函数 $pi(x)$ 的渐进行为。读者将了解到，正是通过精妙的分析技术，我们才能对 $pi(x)$ 的行为做出量化的描述。我们将引入素数定理，并详尽地展示其证明思路，其中会涉及到对黎曼 Zeta 函数零点的分析。对零点分布的理解，直接关联到素数定理的误差项，也是理解素数分布精细结构的钥匙。我们将探讨Chebyshev函数，它们提供了一种更易于处理的工具，来研究素数分布的渐近性。随后，我们将介绍Dirichlet定理，即算术级数中的素数问题，并展示如何利用Dirichlet L函数来证明该定理。我们将深入分析Dirichlet L函数的性质，特别是其“无零点”性质在证明算术级数中素数无穷性中的关键作用。这一部分将带领读者领略解析数论如何揭示出看似杂乱无章的素数集合背后隐藏的规律。第三部分“解析方法在数论问题中的应用”将展示解析数论的普适性与强大生命力。我们将探讨高斯和（Gauss sums）的性质及其在数论中的应用，例如在二次互反律的证明中。我们将深入研究指数和（exponential sums），并介绍Vinogradov等人的方法，展示如何利用它们来估计某些数论函数的求和。这将直接应用于对某些加性问题的研究，例如Goldbach猜想的某些弱版本。我们还将介绍筛法，这是另一种解析数论中的强大工具，能够用于估计集合中元素的数量，特别是具有特定性质的整数的数量。我们将从最简单的Eratosthenes筛法开始，逐步介绍Sieve of Eratosthenes的改进，并介绍一些现代筛法，例如Brun筛法和Selberg筛法，并讨论它们在处理一些经典的数论问题中的贡献，比如素数对问题。这一部分将充分展示解析数论工具如何被灵活地应用于解决各种具体的数论难题，并揭示其在数论研究中的核心地位。第四部分“黎曼 Zeta 函数与复分析的深度交融”将再次聚焦于黎曼 Zeta 函数，但这一次我们将从更深的复分析角度来审视它。我们将详细研究黎曼 Zeta 函数的解析性质，包括其在复平面上的解析延拓，以及函数方程的推导。我们将深入探讨黎曼 Zeta 函数零点的分布，特别是黎曼猜想的陈述及其对数论研究的深远影响。虽然本书不以解决黎曼猜想为目标，但我们将尽可能清晰地阐述其重要性，以及围绕它的各种研究成果和思路，例如Hardy关于Zeta函数零点落在临界线上的结果。我们将介绍一些复分析中的先进技术，例如Mellin变换，并展示它们如何被用来研究数论函数。本书还将对与黎曼 Zeta 函数相关的其他重要函数，例如Dirichlet L函数和L-函数家族进行更系统的介绍，并简要提及它们的性质和在数论、代数几何等领域的联系。这一部分旨在提升读者对解析数论核心工具的理解深度，并暗示其与更广泛的数学领域的联系。在每一章的结尾，我们都将提供一些精心设计的习题，这些习题旨在巩固读者对所学概念的理解，并鼓励读者进行独立思考和探索。习题的难度将有所不同，从基本概念的检验到更具挑战性的研究型问题，力求满足不同层次读者的需求。此外，我们还将提供详细的答案和提示，以便读者能够有效地检验自己的学习成果。本书在写作风格上，力求清晰、严谨且富有逻辑性。我们避免使用过于晦涩的语言，而是通过逐步引入新概念、详细解释证明步骤，并提供直观的解释来帮助读者理解。在证明过程中，我们注重逻辑的连贯性和推理的完整性，并会适时指出关键的技巧和洞察。同时，我们也强调历史的发展脉络，在介绍重要定理和概念时，会简要提及相关的研究历史和背景，帮助读者理解这些思想是如何逐渐形成的。总而言之，《解析数论：深入探索数的奥秘》是一本旨在为读者提供一个系统、深入且富有启发性的解析数论学习体验的书籍。我们相信，通过本书的学习，读者不仅能够掌握解析数论的核心方法和重要成果，更能培养起用分析工具解决数论问题的能力，并对数学的深度与广度产生更深刻的认识。我们期待本书能够成为您在解析数论领域探索之旅中的可靠向导。