A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Cambridge University Press

作者:Arieh Iserles

出品人:

页数:477

译者:

出版时间:2008-12-29

价格:USD 69.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780521734905

丛书系列:Cambridge Texts in Applied Mathematics

图书标签:

微分方程数值解
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具体描述

Numerical analysis presents different faces to the world. For mathematicians it is a bona fide mathematical theory with an applicable flavour. For scientists and engineers it is a practical, applied subject, part of the standard repertoire of modelling techniques. For computer scientists it is a theory on the interplay of computer architecture and algorithms for real-number calculations. The tension between these standpoints is the driving force of this book, which presents a rigorous account of the fundamentals of numerical analysis of both ordinary and partial differential equations. The exposition maintains a balance between theoretical, algorithmic and applied aspects. This new edition has been extensively updated, and includes new chapters on emerging subject areas: geometric numerical integration, spectral methods and conjugate gradients. Other topics covered include multistep and Runge-Kutta methods; finite difference and finite elements techniques for the Poisson equation; and a variety of algorithms to solve large, sparse algebraic systems.

探索数值分析的奇妙世界：一本面向初学者的微分方程解法指南微分方程，作为描述自然界和工程领域中各种动态过程的基本语言，其重要性不言而喻。从物理学中描述粒子运动的牛顿定律，到生物学中模拟种群增长的微分方程模型，再到金融学中定价复杂衍生品的数学工具，它们无处不在。然而，许多实际问题中的微分方程无法通过解析方法获得精确解。这时，数值分析便成为了我们强大的盟友，它提供了一系列强大的技术，使我们能够近似求解这些复杂的方程，从而深入理解和预测系统的行为。本书，一本引人入胜的《数值分析入门：微分方程解法》，正是为渴望掌握这些数值技术，探索微分方程奥秘的初学者而精心设计的。我们并非提供一份枯燥乏味的数学理论堆砌，而是一次激动人心的数值计算之旅，带领你一步步揭开微分方程数值解法的神秘面纱。本书致力于以清晰、直观且易于理解的方式，为你构建扎实的理论基础，并指导你熟练运用各种数值方法，最终自信地应对实际问题。为何选择数值方法？在深入学习具体的数值方法之前，理解其必要性和优势至关重要。解析解，即通过代数运算直接得到的精确表达式，固然优雅，但现实世界中的许多数学模型却显得异常复杂，超出了解析求解的范畴。例如，一个具有非线性项、复杂边界条件或高维度的微分方程组，往往只能通过数值逼近的方式来求解。数值方法正是为解决这些挑战而生。它们通过将连续的问题离散化，转化为一系列代数方程，然后利用计算机强大的计算能力来求解这些代数方程，从而获得微分方程解的近似值。这种近似并非随意为之，而是建立在严谨的数学理论基础之上。本书将详细阐述数值方法的精度、稳定性和收敛性等核心概念，帮助你理解为何这些方法能够“近似”而又“可靠”。你将了解到，通过选择合适的数值方法和离散化步长，我们可以将误差控制在可接受的范围内，从而获得具有实际意义的计算结果。本书将带你领略哪些精彩内容？本书的结构设计旨在循序渐进，确保读者能够逐步掌握各个知识点。我们将从最基础的概念开始，逐步引入更复杂的方法，并辅以大量的实例和练习，帮助你巩固所学。第一部分：理论基石与初步探索微分方程概述与解析解的局限性：我们将简要回顾常微分方程（ODE）和偏微分方程（PDE）的基本概念，并深入探讨为什么在许多实际应用中，解析解常常是遥不可及的。这将为你理解数值方法的出现和发展奠定基础。数值解法的基本思想：在这一部分，我们将引入数值解法的核心思想——离散化。你将了解到如何将微分方程及其定义域转化为一系列代数方程，以及为何这种转化是可能和有效的。欧拉方法：最简单的起点：我们将从最基础也是最直观的数值方法——欧拉方法开始。通过简单的推导和直观的几何解释，你将理解其基本原理。同时，我们也会讨论欧拉方法的局限性，例如其精度较低，并为引入更高级的方法铺平道路。误差分析：理解近似的代价：任何数值方法都伴随着误差。本书将详细介绍局部截断误差和全局截断误差的概念，以及它们如何影响计算结果的精度。你将学习到如何量化和分析这些误差，并理解如何通过改进方法来减小误差。收敛性与稳定性：保证方法的可靠性：仅仅计算出近似值是不够的，我们还需要确保这些近似值随着离散步长的减小而趋近于真实解（收敛性），并且数值计算过程不会因为微小的扰动而发散（稳定性）。我们将深入探讨这两个关键概念，并介绍检验方法。第二部分：高级数值方法：提升精度与效率改进的欧拉方法：在欧拉方法的基础上，我们将引入一些改进的策略，例如改进欧拉方法（也称为预测-校正法）。这些方法在保持相对简单的结构的同时，能够显著提高计算精度。龙格-库塔（Runge-Kutta）方法：经典之选：龙格-库塔方法是数值求解常微分方程中最著名且应用最广泛的一类方法。我们将详细介绍二阶、三阶乃至四阶龙格-库塔方法的推导过程和实现细节。你将领略到这些方法的强大之处，以及它们如何在精度和计算量之间取得出色的平衡。多步法：回顾历史，展望未来：除了单步法，多步法也是求解微分方程的重要技术。我们将介绍显式和隐式多步法，例如亚当斯-巴什福斯（Adams-Bashforth）和亚当斯-穆尔顿（Adams-Moulton）方法。你将理解为何多步法能够利用过去的计算信息来提高效率和精度。刚性方程的挑战与应对：某些微分方程组的解在很小的区域内变化非常快，而其他区域变化缓慢，这类方程被称为“刚性方程”。求解刚性方程对数值方法提出了更高的要求。本书将介绍处理刚性方程的特殊数值方法，例如隐式欧拉法和BDF（Backward Differentiation Formulas）方法，以及它们在数值稳定性方面的优势。第三部分：偏微分方程的数值解法偏微分方程概述与离散化：偏微分方程（PDE）描述的现象更加复杂，例如热传导、流体动力学和波动传播。我们将介绍求解PDE的基本思路，包括网格划分和离散化。有限差分法（Finite Difference Method, FDM）：有限差分法是求解PDE最基本也是最常用的方法之一。我们将详细讲解如何利用泰勒展开将PDE转化为代数方程组，并介绍向前差分、向后差分和中心差分等核心概念。求解热传导方程：以经典的热传导方程为例，我们将演示如何运用有限差分法求解。你将学习到如何处理不同的边界条件（例如Dirichlet边界条件和Neumann边界条件），以及如何分析不同差分格式（例如显式、隐式和Crank-Nicolson格式）的稳定性与收敛性。求解波动方程：波动方程是描述波传播现象的基本PDE。我们将探讨如何使用有限差分法来模拟和求解波动方程，并理解数值方法的离散化选择对波的传播特性模拟产生的影响。有限元法（Finite Element Method, FEM）简介：虽然有限元法在某些方面比有限差分法更具灵活性，尤其是在处理复杂几何形状和非均匀介质时，本书仍会对其进行初步介绍。我们将简要阐述其基本思想，例如将求解域划分为小单元，并在每个单元上使用插值函数近似解。第四部分：计算工具与实践应用编程实现：从理论到实践：数值分析离不开实际的编程实现。本书将引导你学习如何使用常见的编程语言（例如Python，配以NumPy和SciPy库）来实现各种数值方法。我们将提供清晰的代码示例，帮助你将理论知识转化为可执行的程序。可视化与结果分析：计算得到的数值结果需要直观地展示和深入地分析。我们将介绍如何利用可视化工具（例如Matplotlib）来绘制解的曲线、生成等值线图或三维曲面图，从而更好地理解方程的行为。实际案例研究：为了让理论知识落地，本书将包含多个实际案例研究，涵盖科学计算和工程领域的典型问题。例如，模拟行星轨道运动、预测天气模式、分析电路行为等。这些案例将帮助你看到数值分析在解决现实世界问题中的强大力量。本书的特色与优势循序渐进的学习路径：从最简单的概念出发，逐步深入，确保初学者能够轻松理解和掌握。理论与实践相结合：详细的理论推导与丰富的编程示例相结合，让你既理解“为什么”，也掌握“怎么做”。直观的解释与丰富的插图：借助几何解释和图示，化抽象为具体，帮助你建立直观的理解。面向初学者的语言：避免使用过于深奥的专业术语，用清晰易懂的语言阐述复杂的概念。强调核心概念：深入讲解误差、收敛性、稳定性等关键概念，培养严谨的科学思维。丰富的练习题：每章都配有精心设计的练习题，帮助你巩固所学，检测理解程度。谁适合阅读本书？本书适合所有对微分方程的数值求解感兴趣的读者，包括但不限于：大学本科生：学习数学、物理、工程、计算机科学等专业的学生，需要掌握微分方程数值方法的课程。研究生：在研究工作中需要运用数值方法解决问题的学生。科研人员与工程师：需要利用数值模拟来解决实际问题的专业人士。对科学计算充满好奇的爱好者：想要深入了解计算机如何“解决”数学问题的读者。踏上这场数值分析的奇妙旅程，本书将是你最可靠的向导。让我们一起，用数值的力量，征服微分方程的挑战，揭示隐藏在复杂模型背后的精彩世界！