Solving the Pell Equation pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Jacobson, Michael J., Jr./ Williams, Hugh C.

出品人:

页数:516

译者:

出版时间:2008-12

价格:$ 90.34

装帧:

isbn号码:9780387849225

丛书系列:

图书标签:

• PELL
• 数论
• 丢番图方程
• 佩尔方程
• 二次不定方程
• 数论算法
• 数学史
• 连续分数
• 平方根
• 代数数论
• 数论基础

拨开迷雾，寻觅真解：一场关于不定方程的数学探索之旅 在数学的浩瀚星空中，数论以其独特的魅力吸引着无数智慧的目光。它如同一个古老而神秘的宝藏，蕴藏着无数令人惊叹的规律与奥秘。在这片沃土中，一类特殊的方程——不定方程，更是以其简朴的外表和深邃的内涵，成为了数论研究的重要对象。它们的形式往往异常简洁，仅包含整数变量和四则运算，然而，其解的性质却千变万化，引人入胜。今天，我们将踏上一段关于一个经典不定方程的探索之旅，它曾困扰数学家数个世纪，最终在智慧的光芒下，展现出其迷人的全貌。 我们所要探讨的，便是那被称为“佩尔方程”（Pell's Equation）的经典形式：$x^2 - Dy^2 = 1$，其中 $D$ 是一个正整数，且不是一个完全平方数。这个看似简单的方程，却承载着丰富的数学思想和精巧的解题技巧。它不仅仅是一个抽象的代数问题，更与几何、代数数论等多个数学分支有着千丝万缕的联系，是理解许多进阶数论概念的基石。 方程的起源与历史脉络 “佩尔方程”的名字来源于17世纪的英国数学家约翰·佩尔（John Pell）。然而，追溯其历史渊源，我们会发现这个方程的影子早已出现在更古老的文明之中。古希腊数学家丢番图（Diophantus）在其著作《算术》中便曾涉及类似的问题。到了印度，婆罗摩笈多（Brahmagupta）在7世纪就给出了求解 $x^2 - Dy^2 = 1$ 的一些方法，甚至还发现了一些其非平凡解的构造性质。17世纪，法国数学家费马（Fermat）对这个方程产生了浓厚的兴趣，并与英国数学家沃利斯（Wallis）以及佩尔等人进行了通信讨论。尽管佩尔本人并未给出完整的求解理论，但沃利斯在整理费马的通信时，误将这个方程归于佩尔名下，从而使得“佩尔方程”这一称谓流传至今。 方程的迷人之处：无穷解的存在 佩尔方程最令人着迷的特性之一，便是其无穷解的存在性。对于任何一个非完全平方数的正整数 $D$，方程 $x^2 - Dy^2 = 1$ 总是存在无穷多组整数解 $(x, y)$。这意味着，一旦我们找到了方程的一组“最小正整数解”（即 $x > 1, y > 0$ 的最小解），我们便可以通过一个相对简单的公式，源源不断地生成出所有的其他正整数解。这种“以少生多”的数学魔力，正是佩尔方程的独特魅力所在。 求解之道：连分数方法的精妙应用 那么，如何找到方程的最小正整数解呢？这正是佩尔方程理论的核心挑战之一。幸运的是，数学家们发现，将系数 $D$ 的平方根 $sqrt{D}$ 展开成连分数（continued fraction），是求解佩尔方程最有效、最优雅的方法。 连分数是一种表示实数的方式，将一个数表示成一系列整数的嵌套分数。对于无理数 $sqrt{D}$，其连分数展开具有周期性，这种周期性恰恰蕴含着求解佩尔方程的关键信息。通过计算 $sqrt{D}$ 的连分数展开，我们可以得到一系列称为“渐近分数”（convergents）的有理数。这些渐近分数 $p_k/q_k$ 是对 $sqrt{D}$ 的最佳逼近，而其中某些渐近分数的分子和分母，就是佩尔方程的解。 具体而言，我们可以通过计算 $sqrt{D}$ 的连分数展开，逐步生成其渐近分数序列 $p_0/q_0, p_1/q_1, p_2/q_2, dots$。经过一系列计算和验证，我们可以证明，当连分数展开达到某个特定的周期时，其对应的渐近分数 $p_k/q_k$ 的分子 $p_k$ 和分母 $q_k$ 恰好满足 $p_k^2 - D q_k^2 = 1$。这就是方程的最小正整数解！ 连分数展开的技巧与细致 计算 $sqrt{D}$ 的连分数展开，需要掌握一套系统的方法。大致过程如下： 1. 初始化： 令 $alpha_0 = sqrt{D}$。 2. 提取整数部分： 令 $a_0 = lfloor alpha_0 floor$。 3. 计算余项： 令 $alpha_1 = frac{1}{alpha_0 - a_0}$。 4. 循环迭代： 对于 $k ge 1$，令 $a_k = lfloor alpha_k floor$，然后令 $alpha_{k+1} = frac{1}{alpha_k - a_k}$。 5. 周期性判断： 如此迭代下去，直到 $alpha_k$ 的形式重复出现。由于 $sqrt{D}$ 的特殊性质，其连分数展开一定会进入一个循环。 在得到连分数展开的系数序列 $a_0, a_1, a_2, dots$ 后，我们便可以通过递推关系来计算渐近分数 $p_k/q_k$： $p_{-1} = 1, q_{-1} = 0$ $p_0 = a_0, q_0 = 1$ $p_k = a_k p_{k-1} + p_{k-2}, q_k = a_k q_{k-1} + q_{k-2}$ （对于 $k ge 1$） 然后，我们只需要检查 $p_k^2 - D q_k^2$ 的值。当第一次出现 $p_k^2 - D q_k^2 = 1$ 时， $(p_k, q_k)$ 就是方程的最小正整数解。 解的生成与结构的深刻洞察 一旦找到了最小正整数解 $(x_1, y_1)$，我们就可以利用其生成所有的正整数解。具体来说，若 $(x_1, y_1)$ 是佩尔方程 $x^2 - Dy^2 = 1$ 的最小正整数解，则方程的所有正整数解 $(x_n, y_n)$ 都可以由以下关系生成： $x_n + y_n sqrt{D} = (x_1 + y_1 sqrt{D})^n$，其中 $n$ 是任意正整数。 这意味着，我们可以通过简单的乘法运算，不断地“平方”和“相乘”最小解，来获得新的解。例如： $(x_2, y_2)$ 满足 $x_2 + y_2 sqrt{D} = (x_1 + y_1 sqrt{D})^2 = x_1^2 + 2x_1y_1sqrt{D} + Dy_1^2 = (x_1^2 + Dy_1^2) + (2x_1y_1)sqrt{D}$。 因此，$x_2 = x_1^2 + Dy_1^2$，$y_2 = 2x_1y_1$。 $(x_3, y_3)$ 满足 $x_3 + y_3 sqrt{D} = (x_1 + y_1 sqrt{D})^3$，等等。 这种生成所有解的方式，充分展现了佩尔方程解结构的优雅与规律性。 佩尔方程的应用与延展 佩尔方程并不仅仅是一个理论上的数学难题，它在许多数学领域都有着重要的应用。 数论的基石： 它是学习代数数论，特别是二次域（quadratic fields）理论的绝佳切入点。对佩尔方程的理解，有助于我们深入理解整环、理想、单位群等抽象概念。 逼近理论： 佩尔方程的解提供了对 $sqrt{D}$ 的最佳有理数逼近，在数论中的逼近理论扮演着重要角色。 算法设计： 求解佩尔方程的算法，如基于连分数的方法，也对计算数论和密码学具有一定的启发意义。 几何与代数联系： 佩尔方程可以被看作是一个双曲线 $x^2 - Dy^2 = 1$ 上的整数点问题，展现了数论与代数几何的联系。 探索的意义与收获 通过对佩尔方程的深入研究，我们不仅能掌握一套解决特定类型不定方程的强大工具，更能体会到数学的逻辑之美、结构之精巧以及数论研究的深刻内涵。连分数方法的引入，将看似棘手的整数问题，巧妙地转化为了一个关于实数逼近和周期性的问题，展现了数学思维的穿透力。 这段探索之旅，不仅仅是学习一套公式和算法，更是对数学思维方式的一次洗礼。它教会我们如何从问题的表象深入其本质，如何利用工具去揭示隐藏的规律，以及如何欣赏数学结构所蕴含的优雅与和谐。 这本图书，将带领您一步步走进佩尔方程的世界，从它的历史渊源、基本性质，到求解的核心方法——连分数展开，再到解的生成机制和广泛应用。我们将用严谨的数学语言，辅以清晰的逻辑推导和丰富的例证，为您展现这个经典不定方程的迷人风采。无论您是数学爱好者，还是正在深入学习数论的学生，相信这段求解佩尔方程的旅程，都将为您带来深刻的启发和丰厚的收获。

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