Numerical Mathematics and Advanced Applications pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Steinbach, Olaf 编

出品人:

页数:826

译者:

出版时间:

价格:$ 157.07

装帧:

isbn号码:9783540697763

丛书系列:

图书标签:

• 数值数学
• 数值分析
• 科学计算
• 数学建模
• 算法
• 高等数学
• 应用数学
• 计算方法
• 工程数学
• 优化算法

《计算数学及其前沿进展》 内容概述： 本书旨在深入探讨计算数学的核心概念、基本理论、前沿方法及其在各学科领域的广泛应用。计算数学作为一门连接理论与实践的桥梁学科，其重要性在当今科学技术飞速发展的时代日益凸显。本书将从基础的数值分析方法入手，逐步引申到更复杂的算法设计与分析，并重点关注近年来在科学计算、工程模拟、数据科学等领域涌现出的创新性研究成果。 第一部分：数值分析基础 本部分将系统性地介绍数值分析的经典理论与算法，为读者构建坚实的数学基础。 误差分析与数值稳定性： 深入阐述数值计算中不可避免的误差来源，包括截断误差、舍入误差等，并探讨如何量化和控制这些误差。我们将学习数值稳定性分析的重要性，理解为何某些数值算法在实践中会产生不可接受的误差，以及如何设计或选择具有良好稳定性的算法。这部分将涉及病态问题、条件数等概念，并以求解线性方程组、插值等经典问题为例进行说明。 方程求根： 详细介绍求解非线性方程的多种数值方法，如二分法、牛顿法、割线法、不动点迭代法等。每种方法都将阐述其原理、收敛性分析、优缺点以及适用范围。我们将学习如何根据方程的性质和精度要求选择最有效的方法，并探讨全局收敛与局部收敛的差异。 插值与逼近： 探讨如何用简单的函数（如多项式、样条函数）来近似表示复杂的函数。内容涵盖多项式插值（如拉格朗日插值、牛顿插值）及其潜在的多项式震荡问题。接着，我们将深入研究样条插值，尤其是三次样条，它们在工程和计算机图形学中有着广泛的应用。此外，还会涉及最佳逼近理论，如最小二乘逼近，用于寻找最接近给定函数的函数。 数值积分与微分： 介绍计算定积分的各种数值方法，包括梯形法则、辛普森法则、高斯积分等。我们将分析这些方法的精度、收敛阶，并探讨如何处理高维积分和奇异积分。对于数值微分，本书将讲解差分格式的构建、精度分析以及稳定性问题，并以求解常微分方程（ODE）为例，介绍显式欧拉法、隐式欧拉法、改进欧拉法、龙格-库塔法等经典方法，并分析它们的稳定性与精度权衡。 线性代数数值方法： 线性方程组的求解是计算数学中最核心的问题之一。本部分将详细介绍直接法（如高斯消元法、LU分解、Cholesky分解）和迭代法（如雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法、逐次超松弛迭代法、共轭梯度法）。我们将深入分析这些方法的计算复杂性、内存需求以及在不同类型矩阵（如稀疏矩阵、对称正定矩阵）上的性能表现。此外，还将讨论特征值问题的数值计算，如幂法、反幂法、QR算法等。 第二部分：高级数值算法与理论 本部分将超越基础，深入探讨更先进的数值技术和理论，为解决更复杂的问题提供工具。 非线性方程组的求解： 扩展单变量方程求解的概念至多变量非线性方程组。介绍牛顿法及其变种（如拟牛顿法），并分析其收敛性。对于大规模非线性方程组，还将探讨基于迭代的方法。 偏微分方程（PDE）的数值解法： 偏微分方程在描述物理、工程、生物等众多领域的现象中扮演着至关重要的角色。本部分将聚焦于几种主要的数值离散化方法，包括有限差分法（FDM）、有限元法（FEM）和有限体积法（FVM）。我们将详细讲解各种方法的离散化思想、网格生成、边界条件处理，并分析它们的精度、稳定性和收敛性。重点案例将涵盖热传导方程、波动方程、Navier-Stokes方程等经典PDE。 快速算法与多尺度方法： 介绍能够显著降低计算复杂度的算法，如快速傅里叶变换（FFT）及其在卷积、积分等计算中的应用。还将探讨多尺度分析的思想，如小波分析，以及它们在信号处理、图像压缩和数值求解中的优势。 优化理论与算法： 优化问题普遍存在于科学研究和工程实践中。本书将涵盖无约束优化（如梯度下降法、牛顿法、共轭梯度法）和约束优化（如拉格朗日乘子法、罚函数法、序列二次规划法）的基本理论与算法。我们将讨论目标函数和约束条件的性质对算法选择的影响，以及局部最优与全局最优的概念。 不确定性量化与随机模拟： 在科学建模中，输入参数往往带有不确定性。本部分将介绍不确定性量化（UQ）的基本概念和方法，包括蒙特卡罗方法、拉丁超立方采样（LHS）以及基于代理模型的方法。还将探讨如何利用这些技术来评估模型输出的方差、置信区间，并进行敏感性分析。 第三部分：计算数学的前沿进展与交叉应用 本部分将聚焦于计算数学领域最新的发展趋势，并展示其在不同学科的深度融合与创新应用。 大规模科学计算与高性能计算： 随着科学问题规模的不断增大，对计算能力的要求也日益提高。本部分将探讨如何利用并行计算（如共享内存、分布式内存）、GPU计算以及先进的内存管理技术来加速复杂的数值模拟。我们将讨论面向大规模问题的算法设计原则，以及如何有效地利用现代高性能计算资源。 数据驱动的计算数学： 机器学习和人工智能的崛起正在深刻地改变计算数学的面貌。本部分将介绍如何将机器学习技术与传统的数值方法相结合，例如利用神经网络来逼近复杂的函数、预测模拟结果、或者加速求解过程。我们将探讨数据驱动的数值方法（DDNM）的研究进展，以及其在科学发现和工程设计中的潜力。 计算几何与拓扑： 计算几何关注几何对象在计算机中的表示、操作与分析。本书将涉及曲面重建、网格生成、形状匹配等问题。同时，还将介绍计算拓扑学的基本思想，如何利用拓扑不变量来分析和理解数据。 数值方法在特定领域的应用： 计算流体力学（CFD）： 介绍如何利用计算数学方法模拟流体流动，包括湍流模型、界面捕捉技术等。 计算结构力学： 探讨如何进行结构应力分析、动力学响应计算以及材料失效模拟。 计算物理： 展示数值方法在量子力学、凝聚态物理、天体物理等领域的应用，例如求解薛定谔方程、模拟宇宙演化。 生物信息学与计算生物学： 介绍如何利用计算方法分析基因序列、预测蛋白质结构、模拟生物分子动力学。 金融数学与风险管理： 讲解如何应用数值方法进行金融衍生品定价、投资组合优化以及风险评估。 计算机图形学与可视化： 探讨如何利用数值技术生成逼真的三维模型、进行物理模拟以及实现高效的数据可视化。 学习目标： 通过学习本书，读者将能够： 深刻理解数值计算的基本原理和误差分析的重要性。 熟练掌握各类经典的数值算法，并能够根据实际问题选择和应用。 了解现代计算数学的前沿研究方向和发展趋势。 掌握利用计算数学方法解决实际科学与工程问题的基本能力。 为进一步深入研究计算数学的特定分支奠定坚实的基础。 本书特色： 理论与实践并重： 既有严谨的数学理论推导，又辅以大量的算例和伪代码，便于读者理解和实现。 覆盖面广： 涵盖了计算数学的经典内容和许多前沿课题，适合不同背景的读者。 逻辑清晰： 内容组织循序渐进，从基础到高级，环环相扣。 应用导向： 强调计算数学在各领域的实际应用，激发读者的学习兴趣。 本书适合计算机科学、数学、物理、工程、经济学等相关专业的本科生、研究生，以及从事科学计算、数据分析、算法研发的科研人员和工程师阅读。

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