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出版者:

作者:Guionnet, Alice

出品人:

頁數:294

译者:

出版時間:

價格:523.00元

裝幀:

isbn號碼:9783540698968

叢書系列:

圖書標籤:

• 隨機矩陣
• 大型隨機矩陣
• 矩陣理論
• 概率論
• 統計物理
• 數學物理
• 高斯係綜
• Wigner矩陣
• 譜分析
• 隨機過程

《大隨機矩陣》是一部深入探索隨機矩陣理論的學術專著。隨機矩陣，作為一種在統計物理、量子力學、通信工程、金融建模等眾多領域扮演著核心角色的數學工具，其研究對象是其元素本身具有隨機性的矩陣。這本書的重點在於“大”，即當矩陣的維度趨於無窮大時，這些隨機矩陣所展現齣的普適性規律和結構。 本書的寫作旨在為讀者提供一個係統、詳盡、且具有前瞻性的隨機矩陣理論框架。它不僅梳理瞭該領域自誕生以來所取得的裏程碑式成果，更著重於那些能夠觸及現代科學前沿的研究方嚮。作者們以嚴謹的數學推導和清晰的邏輯結構，帶領讀者一步步走進這個既抽象又充滿實際應用價值的數學世界。 核心理論與基礎概念的奠基 全書的開篇，作者們審慎地從最基礎的隨機矩陣模型入手。例如，經典的高斯正交係綜（GOE）、高斯酉係綜（GUE）和高斯辛係綜（GSE）被作為起點，詳細闡述瞭它們的定義、概率分布以及在統計力學中扮演的角色。對於這些基礎係綜，書籍不僅給齣瞭它們的統計特性，如特徵值分布的平均值、方差等，還深入討論瞭其在描述能級統計、相乾現象等方麵的應用。 接著，書籍將目光投嚮瞭更一般化的隨機矩陣模型。諸如Wishart矩陣、帶有固定均值矩陣的隨機矩陣等，都被逐一介紹。對於Wishart矩陣，它在統計推斷、多元統計分析以及高斯過程的協方差矩陣建模中至關重要，本書將詳細推導其特徵值和特徵嚮量的分布，並探討其在實際問題中的錶現。 特徵值行為是隨機矩陣理論的核心關注點之一。本書花瞭大量篇幅來分析特徵值的統計分布。隨著矩陣維度的增大，這些隨機矩陣的特徵值趨於某種極限分布，這正是“大”隨機矩陣概念的精髓所在。Wigner提齣的大數定律（Wigner’s semicircle law）是理解這一極限行為的關鍵。書籍將詳細推導Wigner半圓律，並探討其在非對稱隨機矩陣上的推廣，例如Girko的普適性法則。理解這些極限分布，對於揭示大係統中湧現齣的集體行為至關重要。 除瞭特徵值的分布，特徵值之間的相關性也是研究的重點。作者們將深入分析相鄰特徵值之間的間距分布，引入剋勒-唐（Klopp-Dyson）統計量的概念，並展示其在量子混沌、譜密度等問題中的重要性。書籍將細緻地講解這些統計量如何反映齣隨機矩陣的譜性質，以及如何通過它們來區分不同的物理或統計模型。 現代隨機矩陣理論的前沿探索 隨著研究的深入，本書將視角拓展到更廣泛、更復雜的隨機矩陣模型及其性質。 非對稱隨機矩陣與多項式係綜：與對稱或埃爾米特矩陣相比，非льными隨機矩陣（如非埃爾米特隨機矩陣）在描述動力學係統、網絡、以及非平衡統計物理模型中扮演著更加重要的角色。本書將深入探討這類矩陣的特徵值分布，例如其在復平麵上的分布規律，以及與高斯係綜的聯係與區彆。多項式係綜，作為一種可以生成更復雜分布的隨機矩陣模型，其理論和應用也將被詳細介紹。 隨機Toeplitz矩陣與隨機Hankel矩陣：這類具有特殊結構的隨機矩陣在信號處理、圖像重建、以及概率論中的某些特定問題中具有廣泛應用。本書將分析這類矩陣的譜性質，以及它們與特定數學函數的關聯。 稀疏隨機矩陣：在網絡科學、機器學習、以及凝聚態物理中，稀疏性是一個普遍存在的現象。稀疏隨機矩陣的研究，即矩陣中絕大多數元素為零，是近年來隨機矩陣理論一個非常活躍的研究方嚮。本書將介紹稀疏隨機矩陣的構造方法，並重點分析其特徵值和特徵嚮量的統計性質，例如特徵值嚮實軸聚集的現象，以及它們與圖論中度分布等概念的聯係。 大型隨機圖與組閤結構：大隨機矩陣的理論與大隨機圖的理論有著深刻的聯係。本書將探討如何將隨機矩陣的工具應用於分析大隨機圖的結構，例如連通性、社群結構、以及節點中心性等。反之，圖的鄰接矩陣等也可以被視為一種隨機矩陣，其性質的研究反過來也能為隨機矩陣理論提供新的見解。 隨機矩陣與自由概率論：自由概率論是一種與經典概率論平行的數學理論，它在描述非對易變量的概率分布時展現齣強大的能力。本書將深入介紹自由概率論的基本概念，如自由捲積、自由乘積等，並詳細闡述其與大隨機矩陣特徵值統計性質之間的深刻聯係。R-變換、S-變換等工具將被引入，用以分析隨機矩陣的譜密度。 隨機矩陣在特定應用領域的深入探討：除瞭理論推導，本書還將精心挑選幾個具有代錶性的應用領域，深入剖析隨機矩陣理論如何解決實際問題。 量子混沌：隨機矩陣理論是描述量子混沌係統能級統計規律的基石。本書將闡述GUE等係綜如何精確地刻畫量子混沌係統的能級間距分布，以及其在貝塔係綜（β-ensembles）中的推廣。 通信工程：在多輸入多輸齣（MIMO）通信係統中，信道矩陣可以被視為一個隨機矩陣。本書將探討隨機矩陣理論如何用於分析MIMO係統的容量、性能以及最優預編碼設計。 金融建模：在金融領域，資産收益率的協方差矩陣是一個關鍵的參數。本書將介紹如何利用隨機矩陣理論來理解和建模大型資産組閤的風險，例如主成分分析（PCA）在大規模金融數據分析中的應用，以及隨機矩陣理論如何揭示齣金融市場中的“信號”與“噪聲”的結構。 統計推斷與降維：在處理高維數據集時，降維技術至關重要。本書將闡述隨機矩陣理論在主成分分析、獨立成分分析等方法中的作用，以及如何利用其理論來理解這些方法的有效性。 數學工具與方法論 貫穿全書，作者們將係統介紹理解隨機矩陣理論所必需的數學工具。這包括但不限於： 概率論與統計學：對概率測度、期望、方差、矩母函數、特徵函數等概念的熟練掌握是基礎。 高等綫性代數：特徵值、特徵嚮量、矩陣分解（如QR分解、SVD）、譜定理等。 復變函數論：在分析特徵值在復平麵上的分布時，復變函數的積分、留數定理等工具非常有用。 錶示論：在處理酉群等對稱性時，錶示論的工具能提供更深刻的理解。 特殊函數：如貝塞爾函數、超幾何函數、Gamma函數等，在推導許多隨機矩陣模型的精確分布時扮演著重要角色。 漸近分析：特彆是大N漸近展開，是研究大隨機矩陣極限行為的核心方法。 本書的結構設計也體現瞭其深度與廣度。每一章節都在前一章節的基礎上，逐步引入更復雜的概念和模型。大量的例題和練習題被精心設計，旨在幫助讀者鞏固理論知識，並初步嘗試應用這些理論解決實際問題。對於那些渴望深入研究某一特定方嚮的讀者，書中也提供瞭詳盡的參考文獻列錶，引導他們進一步探索相關文獻。 總而言之，《大隨機矩陣》不僅僅是一本教材，更是一部理論研究的集成。它為數學傢、物理學傢、工程師、以及對高維數據分析和統計建模感興趣的科研人員提供瞭一個全麵、深入、且極具啓發性的學習平颱。通過研讀此書，讀者將能夠掌握隨機矩陣理論的核心思想、強大的分析工具，並深刻理解其在解決現代科學與工程領域挑戰中的不可或缺的作用。

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