The Geometry of Infinite-Dimensional Groups pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Khesin, Boris/ Wendt, Robert

出品人:

页数:304

译者:

出版时间:

价格:1536.00 元

装帧:

isbn号码:9783540772620

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 群论
• 无限维
• 几何学
• 拓扑学
• 表示论
• 李群
• 泛函分析
• 代数
• 数学物理

《无限维群的几何学》 书籍简介 《无限维群的几何学》是一部深入探讨无限维群及其相关几何结构的数学专著。本书旨在为读者提供一个全面且严谨的视角，去理解那些由无限个自由度组成的数学对象所展现出的深刻几何特性。本书面向具有扎实测度论、泛函分析及拓扑学基础的读者，特别是对几何分析、微分几何、李群理论以及相关领域的研究人员和高年级研究生。 本书的核心在于揭示无限维群的几何内涵。与有限维群的经典几何研究不同，无限维群的存在和性质往往更加复杂且微妙。本书系统性地梳理了这些复杂性，并展示了如何运用现代数学工具来驾驭和理解它们。我们关注的不仅仅是这些群自身的代数结构，更重要的是它们在各种几何空间上所诱导或拥有的几何性质，例如流形的结构、测度的分布、以及群作用下的不变量等。 本书内容梗概： 1. 无限维群的定义与基本性质: 本书首先建立在对无限维群的严格定义之上。我们将回顾和扩展李群、巴拿赫流形以及可微半群等概念，以适应无限维空间的设定。重点将放在那些在几何学中扮演重要角色的无限维群，如映射类群（mapping class groups）、配置空间（configuration spaces）上的群、以及某些函数空间上的李群等。我们将讨论这些群的拓扑性质，如完备性、可分性、以及它们在不同拓扑下的表现。 2. 黎曼几何与度量: 在无限维空间中引入黎曼度量的概念是本书的一个重要方向。我们将探讨如何在无限维流形上定义黎曼度量，并研究这些度量下的测地线、曲率以及体积形式。这部分内容将触及无限维黎曼流形的一些基本理论，例如其与希尔伯特空间、巴拿赫空间之间的联系。我们还将研究无穷维度下的指数映射、黎曼指数定理的推广等。 3. 测度与概率分布: 在无限维空间中，测度的存在和性质对于理解群的作用至关重要。本书将深入研究各种类型的无限维测度，包括高斯测度、泊松测度等，以及它们在无限维群上的自然分布。我们将分析这些测度如何与群的几何结构相互作用，例如通过平移不变性、以及与度量张量的关系。概率论的工具将被广泛应用于研究群作用下的随机过程和统计性质。 4. 群作用与不变量: 许多几何问题的核心在于理解群如何作用于空间，以及在这些作用下保持不变的结构。本书将详细讨论无限维群在各种几何对象上的作用，例如在无限维流形、函数空间、以及度量空间上的作用。我们将研究这些作用所诱导出的等价关系、轨道空间，以及共轭类等概念。特别地，本书将关注那些与群作用相关的几何不变量，如示性类（characteristic classes）的无限维推广，以及在群作用下的不变测度。 5. 微分算子与分析: 本书将不可避免地涉及到在无限维流形上定义的微分算子。我们将研究拉普拉斯算子、迪拉姆算子等经典算子在无限维情形下的性质。这部分内容将与几何分析紧密结合，探讨诸如调和函数、谱理论以及柯西-黎曼方程等概念在无限维空间的推广。算子代数和谱几何的工具将被用于揭示群的几何结构。 6. 拓扑与同调: 无限维群的拓扑性质往往非常丰富，直接影响其几何行为。我们将探索无限维群的同伦论和同调论，例如奇异同伦群、奇异同调群的定义和计算。本书还将涉及无限维群的扩张、纤维丛以及相关的上同调理论。这些拓扑工具对于理解群的结构和性质，以及其在各种几何构造中的作用至关重要。 7. 特殊类别的无限维群: 为了更好地阐述理论，本书还将考察几个重要的无限维群的实例。这包括： 无限维李群: 例如，李群的无穷维推广，如无限维仿射群、李代数上的群等。我们将研究它们的李括号结构、指数映射以及在微分几何中的应用。 映射类群: 研究无限维映射类群在曲面、以及更一般拓扑空间上的几何性质，其与辫群、以及弦论中的某些结构有着深刻的联系。 无限维微分同胚群: 探讨无限维微分同胚群在流形理论中的作用，例如在保形场论（conformal field theory）和拓扑场论（topological field theory）中的角色。 配置空间上的群: 分析描述粒子在无限维空间中配置的群，以及它们在统计物理和量子场论中的应用。 本书特色： 《无限维群的几何学》以其严谨的数学表述、广泛的研究视角以及丰富的应用前景而著称。本书的写作力求清晰、准确，并为读者提供必要的背景知识。书中包含大量的例证和练习题，以帮助读者巩固和深化理解。本书的参考文献列表也十分详尽，为进一步深入研究提供了指引。 本书的读者将能够掌握分析和理解无限维群的几何特性的关键数学工具和方法。它将为他们在几何分析、李群理论、微分几何、拓扑学以及相关交叉学科领域的研究提供坚实的基础和创新的灵感。 致谢： 本书的完成离不开众多同仁的启发与支持。作者对在研究过程中给予指导和帮助的学者们致以诚挚的谢意。同时，也感谢所有为本书审阅和提供宝贵意见的匿名评审人。

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从一个潜在读者的角度出发，我非常好奇这本书的“语感”——它如何平衡“纯数学的抽象美”与“物理直觉的实用性”。许多关于群论和几何的著作，其灵感往往来源于广义相对论、量子场论或者弦理论中的对称性原理。如果这本书能够巧妙地在脚注或者附录中，提示这些概念在物理学中的应用背景，那将会极大地拓宽其受众面，并使那些抽象的数学结构变得鲜活起来。例如，探讨无限维空间上的哈密顿系统或测度论在概率场中的作用。当然，如果它完全是一部纯粹的、为同行服务的著作，那么其严谨性要求会更高，每一个符号的使用都必须是领域内公认的标准且精确无误。我更倾向于相信，任何涉及到“群”的著作，都天然带有组织和分类的使命感。这本书很可能提供了一套全新的分类体系，来组织那些前所未见的无限维对称结构，这对于拓扑学和代数几何的交叉领域来说，无疑是一次重大的理论贡献。

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这部作品的标题确实引人注目，它仿佛直接把我拉入了一个充满抽象美感的数学殿堂。我首先想说的是，如果仅仅从书名来判断，这本书的深度和广度必然是非同小可的。它触及了“几何”与“无限维群”这两个宏大概念的交汇点，这无疑是现代数学中最尖锐、最迷人的前沿领域之一。我期待看到作者如何精妙地构建起连接这两个领域的桥梁，也许是通过黎曼几何的视角来探讨这些无限维流形上的结构，或是借鉴泛函分析的工具来描述群的作用。通常处理这类主题的书籍，都会对读者的背景知识提出极高的要求，我猜想这本书的论述风格必然是严谨且高度抽象化的，每一个定义和定理的推导都可能是步步为营，容不得一丝马虎。对于那些沉浸在李群理论、纤维丛或者表示论中的研究者来说，这本书无疑提供了一个全新的、或许是更具拓扑洞察力的观察角度来审视他们熟悉的对象。我非常好奇书中是如何处理无穷维空间中的“光滑性”和“测度”这些基础问题的，这往往是高维几何中最棘手的部分。

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坦白说，光是想象这本书的排版和图表设计就已经让我心生敬畏。处理“无限维”的问题，光靠纯粹的符号推导是远远不够的，读者需要极强的空间想象力，而一本优秀的数学专著往往能通过精巧的图示来辅助理解那些无法被直观感知的结构。我揣测作者一定在如何可视化高维空间中的复杂概念上花费了大量的精力。例如，在探讨无限维李群的表示理论时，如何用有限维的例子来类比，或者如何引入某些极限过程来处理无限性，这些地方的阐释方式，将直接决定一位初入此领域的读者能否真正“抓住”问题的核心。如果书中的论证逻辑如同一条精确的数学证明链条，每一个环节都坚实可靠，那么它无疑是一部值得珍藏的工具书。但我也担心，在追求极致的严谨性的同时，是否会牺牲掉必要的“启发性”叙述，使得那些试图跨领域学习的读者在浩瀚的公式中迷失方向。这本书的价值，很可能在于它提供了一种看待几何问题的新范式，一种超越了我们日常三维直觉的思维框架。

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阅读这样的巨著，常常是一种漫长而孤独的旅程，考验的不仅是智力，更是毅力。我设想这本书的每一章都像一座精心设计的迷宫，里面充满了精妙的陷阱和绝妙的捷径。对于一个渴望深入理解无限维几何的学者而言，这本书的价值可能在于其内容的“不可替代性”。它或许填补了现有教材在某个特定细分领域（比如某些特定的群作用在某个特定的函数空间上）的空白。我想象着书中可能会出现对某些经典猜想的最新进展的深入剖析，或者对某些尚未完全解决的问题提出全新的、基于几何视角的解决思路。这类书籍的价值往往在时间中沉淀，几年后，它可能成为标准课程的一部分，或者成为推动下一代研究课题诞生的催化剂。因此，如果这本书能提供一种既扎实又具前瞻性的结构框架，那么它就不仅仅是一本书，而是一个重要的学术里程碑。

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对于任何一个严肃的数学学习者而言，一本关于“群”和“几何”交叉领域的著作，其价值往往体现在它对经典理论的重新审视与拓展上。我推测，这部书绝不仅仅是对现有知识的简单罗列，它必然包含了作者对该领域未来发展方向的深刻洞见。或许书中会涉及如巴拿赫-马苏尔空间上的几何结构，或者与可微流形理论在无限维度下的兼容性问题。这类书籍的阅读体验往往是双重的：一方面是追随作者的思路，享受解开复杂数学谜题的乐趣；另一方面则是不断地在脑海中重构概念，将新的数学语言内化为自己的思维工具。我特别关注作者如何处理对称性的概念，在无限维的世界里，对称群的结构会变得何等复杂和丰富，这本身就是一门深奥的学问。一本真正伟大的书，应该能在读者合上书本后，留下一串新的、亟待解决的疑问，而不是简单地给出所有答案。这本书的深度似乎预示着它将成为该领域未来十年的重要参考坐标。

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