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出版者:

作者:Stillman, Michael E. (EDT)/ Takayama, Nobuki (EDT)/ Verschelde, Jan (EDT)

出品人:

頁數:188

译者:

出版時間:2008-4

價格:$ 157.07

裝幀:

isbn號碼:9780387781327

叢書系列:

圖書標籤:

Algebraic Geometry
Computational Algebra
Software
Mathematics
Computer Science
Algorithms
Programming
Symbolic Computation
Singular
Macaulay2

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具體描述

Algorithms in algebraic geometry go hand in hand with software packages that implement them. Together they have established the modern field of computational algebraic geometry which has come to play a major role in both theoretical advances and applications. Over the past fifteen years, several excellent general purpose packages for computations in algebraic geometry have been developed, such as, CoCoA, Singular and Macaulay 2. While these packages evolve continuously, incorporating new mathematical advances, they both motivate and demand the creation of new mathematics and smarter algorithms. This volume reflects the workshop "Software for Algebraic Geometry" held in the week from 23 to 27 October 2006, as the second workshop in the thematic year on Applications of Algebraic Geometry at the IMA. The papers in this volume describe the software packages Bertini, PHClab, Gfan, DEMiCs, SYNAPS, TrIm, Gambit, ApaTools, and the application of Risa/Asir to a conjecture on multiple zeta values. They offer the reader a broad view of current trends in computational algebraic geometry through software development and applications.

《代數幾何的軟件工具箱》本書並非一本關於代數幾何理論的著作，而是專注於為研究者和實踐者提供一係列強大而靈活的軟件工具，以應對代數幾何領域的復雜計算和可視化挑戰。我們旨在填補理論探索與實際應用之間的鴻溝，讓讀者能夠更有效地利用計算工具來深入理解和解決代數幾何問題。核心目標：賦能計算：提供對各種代數幾何核心概念的計算實現，包括但不限於多項式環、理想、模、簇、概形等。讀者將學會如何利用軟件進行多項式的GCD、結果式、多項式方程組的求解、Gröbner基的計算、以及特徵值和特徵嚮量的求解等基本操作。可視化輔助：介紹如何利用軟件生成代數簇的可視化圖像，幫助直觀理解幾何對象的形狀、結構和性質。我們將探討如何繪製麯綫、麯麵，以及如何可視化更抽象的幾何對象，如射影空間中的簇。理論實踐橋梁：展示如何將抽象的代數幾何定理轉化為可執行的計算步驟，從而驗證理論猜想、探索新的性質，或解決實際問題。本書強調的是“如何做”，而非“為什麼”。工具介紹與比較：介紹當前代數幾何領域常用的幾種主流計算軟件係統，如Macaulay2、Singular、CoCoA、SageMath等，並對它們在不同任務上的優勢和劣勢進行分析比較，幫助讀者選擇最適閤自己需求的工具。案例研究：通過一係列精心挑選的實例，演示如何將所介紹的軟件工具應用於解決具體的代數幾何問題，涵蓋從基礎的數論應用到更復雜的幾何構造。本書內容梗概：第一部分：基礎計算工具 1. 多項式環與理想：多項式的錶示與基本運算：加法、減法、乘法、除法。理想的生成與錶示。多項式的最大公約數 (GCD) 計算。結果式 (Resultant) 的計算及其應用，例如判斷多項式是否有公共根。多項式方程組的求解：介紹基於Gröbner基的方法，包括變量序的選擇對計算效率的影響。 2. Gröbner基： Gröbner基的概念、構造算法（如Buchberger算法）。 Gröbner基在多項式方程組求解、理想成員判斷、模變換等問題中的應用。不同序下的Gröbner基計算。 3. 模理論基礎：模的錶示與基本運算。模的子模、商模。模的自由基 (Free resolution) 的計算與意義。第二部分：代數簇與幾何計算 1. 代數簇的定義與計算：零點集 (Zero locus) 的概念。從理想到簇：計算機如何錶示和處理代數簇。簇的基點 (Base locus) 的識彆。簇的維數 (Dimension) 和次冪 (Degree) 的計算。 2. 幾何對象的錶示與操作：麯綫的錶示：隱式方程、參數方程。麯麵的錶示。點、直綫、平麵等基本幾何對象的錶示與計算。交集計算：計算兩個代數簇的交集，並分析其結構。 3. 射影幾何的計算：齊次坐標與射影空間。射影簇的錶示與計算。射影變換及其在軟件中的實現。第三部分：可視化技術與應用 1. 二維圖形繪製：繪製多項式麯綫：單變量函數圖、隱式二維麯綫。可視化多項式方程組的解集。利用軟件生成二維代數簇的圖像。 2. 三維圖形繪製：繪製隱式三維麯麵。參數化三維麯麵的繪製。可視化三維代數簇。多視角渲染與交互式探索。 3. 高級可視化技術：點雲數據的處理與可視化。幾何拓撲的初步可視化。第四部分：主流軟件係統介紹與實踐 1. Macaulay2：基本語法和數據結構。 Gröbner基計算、同調代數計算。示例：麯綫和麯麵的自由基計算，模的性質分析。 2. Singular：特點與優勢：尤其在Gröbner基計算和多項式係統求解方麵的效率。編程語言與特性。示例：求解復雜的代數方程組，代數簇的性質分析。 3. CoCoA (Computations in Commutative Algebra): 強調其在計算交換代數方麵的易用性和高效性。基本功能與應用場景。示例：理想的性質研究，環的計算。 4. SageMath：作為一個整閤性的數學軟件係統，它匯集瞭眾多其他數學軟件的功能。在代數幾何模塊的介紹。示例：跨工具的計算任務，利用SageMath進行代數幾何探索。 5. 軟件選擇與比較：根據問題類型、計算復雜度、用戶友好度等因素，提供選擇建議。不同軟件在某些特定問題上的性能比較。第五部分：案例研究與高級主題 1. 數論中的代數幾何：利用軟件研究丟番圖方程。橢圓麯綫的計算。 2. 代數幾何在其他領域的應用：編碼理論中的應用。密碼學中的應用。計算機輔助設計 (CAD) 中的幾何計算。 3. 高級幾何構造：簇的相交乘積 (Intersection product)。切空間 (Tangent space) 和法空間 (Normal space) 的計算。簇的奇異點 (Singularities) 的識彆與分析。目標讀者：本書麵嚮對代數幾何及其計算方法感興趣的學生、研究人員、數學傢和計算機科學傢。無論您是初學者，希望通過軟件工具來理解抽象概念，還是有經驗的研究者，希望利用高效的計算工具來解決復雜問題，本書都將為您提供寶貴的資源。本書特色：實踐導嚮：專注於“如何使用”軟件解決問題，而非冗長的理論推導。代碼示例豐富：提供大量可以直接運行的代碼片段，方便讀者學習和實踐。工具覆蓋全麵：介紹當前主流的、在代數幾何領域廣泛使用的軟件工具。案例驅動：通過具體實例展示軟件工具的應用能力，激發讀者的研究興趣。深入淺齣：循序漸進地介紹計算方法，使不同背景的讀者都能有所收獲。通過學習本書，讀者將能夠熟練運用各種軟件工具，自信地在代數幾何的計算和可視化領域進行探索，從而加速理論研究的進程，並發現新的數學見解。

作者簡介

目錄資訊

讀後感

評分☆☆☆☆☆

用戶評價

评分☆☆☆☆☆

這本《Software for Algebraic Geometry》的封麵設計，第一眼看上去就帶著一種嚴謹又略顯古樸的氣息，仿佛一腳踏入瞭純數學的殿堂。我原本對這個領域瞭解不深，但被它的標題所吸引。翻開書頁，首先映入眼簾的是大量精細的符號和公式，排版布局極為緊湊，幾乎沒有多餘的留白，這讓我這個非專業人士感到一絲敬畏。書中似乎詳細闡述瞭如何將抽象的代數幾何概念轉化為可計算的算法，這本身就是一項艱巨的任務。我注意到其中關於 Gröbner 基的討論部分占據瞭相當大的篇幅，作者似乎對如何優化這些計算效率有著獨到的見解。雖然我無法完全理解那些高級的定理證明，但從那些詳盡的步驟推導中，能感受到作者深厚的數學功底和對細節的執著。特彆是那些關於幾何對象在計算機中如何被精確錶示和操作的章節，讀起來頗有種在拆解精密機械的感覺，每一個環節都要求極高的準確性。這本書無疑是為那些已經掌握瞭紮實代數背景，並希望深入瞭解計算工具的人準備的“武功秘籍”，它更像是一部工具書，而非入門嚮導，對於想要將理論付諸實踐的讀者來說，它提供瞭堅實的理論基礎和嚴謹的邏輯支撐。

评分☆☆☆☆☆

閱讀這本著作，給我的最大感受是“嚴謹到令人窒息的數學美感”。作者對邏輯鏈條的構建幾乎到瞭吹毛求疵的地步，任何一個結論的得齣，都建立在一係列不容置疑的預備知識之上。書中關於計算幾何拓撲復雜度的分析部分，以一種近乎詩意的精確性，量化瞭不同算法的計算成本，將那些原本模糊的性能概念轉化為瞭清晰的函數關係。我注意到，盡管主題是“軟件”，但篇幅中真正用來描述特定産品特性的內容非常少，更多的是對底層數學結構在計算環境下的映射關係的探討。這使得這本書的生命周期似乎可以很長，因為隻要底層的代數幾何原理不變，書中的核心思想就不會過時，而軟件本身可能會不斷更新換代。它像是一本關於“如何思考計算問題”的哲學指南，而非單純的操作手冊。讀完之後，我感到自己看待計算挑戰的方式發生瞭一種微妙的轉變，更加注重底層結構和效率的平衡，收獲遠超對具體軟件技能的掌握。

评分☆☆☆☆☆

初次接觸這本書時，我被其內容的前瞻性所震撼。它並非停留在講解基礎的幾何計算，而是將目光投嚮瞭更前沿的領域，比如在拓撲數據分析（TDA）中應用代數工具的章節，讓我眼前一亮。作者並未僅僅羅列齣軟件的功能，而是深入剖析瞭背後的數學原理，解釋瞭為什麼某些特定的計算方法在這種應用場景下錶現齣更優的性能。這種理論與實踐的緊密結閤，使得這本書不僅僅是關於“如何使用”某個軟件，更是關於“為什麼這樣使用”的深度探討。書中的圖錶和示例代碼（盡管沒有直接展示代碼，但對其邏輯結構有清晰的描述）都經過瞭精心設計，旨在最大化信息密度。尤其是在討論模空間構造的章節，作者展現齣一種近乎建築師般精確的思維，將復雜的結構分解成可管理的計算步驟。對於那些試圖在理論研究中遇到計算障礙的研究生來說，這本書簡直就像是一位經驗豐富、但要求極高的導師，它不會直接給齣答案，而是引導你走過通往答案的每一步邏輯推導，讓人在解決問題的過程中體驗到真正的學術樂趣和挑戰。

评分☆☆☆☆☆

我抱著極大的期待開始閱讀這本關於計算代數幾何的著作，但很快就發現，這絕不是一本可以輕鬆閱讀的“快餐讀物”。它的敘事風格非常內斂和學術化，幾乎沒有多餘的修飾性的語言，每一個句子都像是在傳遞一個明確的數學命題。書中對不同軟件框架之間的對比分析尤為引人入勝，我能感受到作者在選擇和權衡各種計算方法的利弊時所花費的心血。例如，它對比瞭某些係統在處理高維空間時的性能瓶頸，以及如何通過特定的數據結構來緩解這些問題。我注意到書中穿插瞭一些曆史性的腳注，追溯瞭某些算法的起源和演變，這為冰冷的公式增添瞭一絲曆史的厚重感。在某一章節中，作者深入探討瞭如何利用現代並行計算架構來加速涉及大數運算的幾何計算，這讓我對計算機科學與純數學交叉領域的潛力有瞭更直觀的認識。整本書給人的感覺是，它正在一本正經地教你如何用最“硬核”的方式去解決那些看起來似乎遙不可及的幾何難題，它的價值在於其內容的深度和技術細節的全麵性，而不是輕鬆愉快的閱讀體驗。

评分☆☆☆☆☆

這本書的厚度和內容密度，首先就給讀者傳遞瞭一種極強的“專業性”信號。它沒有試圖討好廣大的讀者群體，而是明確地將目標讀者鎖定在瞭那些對符號計算係統有深刻理解，並且希望進一步優化或定製自己工具集的專傢身上。我花瞭好大力氣纔跟上它關於同調代數在幾何計算中應用的章節。作者在這裏引入瞭大量的抽象概念，並迅速將其連接到具體的計算模型上，這種跳躍式的思維需要讀者具備極強的抽象能力和快速聯想能力。我特彆欣賞作者在處理軟件局限性時的坦誠態度——他沒有過度美化現有的工具，反而指齣瞭它們在處理病態問題（ill-conditioned problems）時的脆弱性，並提齣瞭潛在的改進方嚮。這體現瞭作者對該領域現狀的清醒認識。這本書與其說是一本教材，不如說是一份詳盡的“技術白皮書”，它記錄瞭特定時期內，該領域內計算方法的最高水準和未來可能的發展趨勢，內容紮實到每一個論斷背後似乎都有一串經過無數次驗證的代碼支撐。

评分☆☆☆☆☆