Topological Groups and Realated Structures pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Tkachenko, Mikhail

出品人:

页数:781

译者:

出版时间:

价格:$ 206.79

装帧:

isbn号码:9789078677062

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图书标签:

• 拓扑群
• 抽象代数
• 拓扑学
• 群论
• 数学分析
• 实分析
• 代数拓扑
• 连续性
• 结构
• 数学

扭曲的时空与优雅的结构：深入探索拓扑群及其近亲 本书并非一本关于“拓扑群与相关结构”的枯燥教材，而是一次对数学中最迷人、最具启发性分支之一的深度探险。我们将一同穿越由集合论和群论交织而成的广袤图景，领略拓扑学为这些代数结构注入的精妙洞察。本书旨在为那些对数学的抽象之美充满好奇，并渴望理解其深刻联系的读者提供一份详尽而引人入胜的指南。 第一篇：代数基石的回响——群论的严谨之美 在踏入拓扑的奇妙世界之前，我们必须先巩固我们对群论这一数学语言的理解。本篇将深入剖析群的定义，从最基础的封闭性、结合律、单位元到逆元的完备要求，逐一展现其内在的逻辑严谨。我们将一同探索各种重要的群结构，例如： 对称群： 揭示几何变换的深刻本质，理解置换的排列组合如何构成强大的代数工具。 循环群： 认识由单个元素通过幂运算生成的简单而优雅的结构，以及它们在数论和编码理论中的广泛应用。 矩阵群： 观察在线性代数中扮演核心角色的矩阵，当它们在乘法运算下满足群的公理时，所展现出的丰富多样的变换特性。 同态与同构： 深入理解不同群结构之间的内在联系，学习如何识别和利用结构上的相似性，从而简化问题并揭示更深层次的规律。 此外，我们还会探讨子群、陪集、正规子群以及群的直积等核心概念，为后续的拓扑化处理奠定坚实的基础。本书不会止步于纯粹的代数定义，而是通过大量的例子和直观的解释，帮助读者建立对这些抽象概念的深刻体悟。 第二篇：空间之舞——拓扑学带来的新维度 当集合论的抽象概念与群论的代数结构相遇，拓扑学的引入为我们打开了一个全新的视角。本篇将引领读者进入拓扑空间的奇异世界，重点关注其如何为群的操作赋予意义。我们将详细介绍： 拓扑空间的基本概念： 从开集、闭集、邻域的定义出发，理解拓扑学如何关注对象的“邻近性”和“连通性”，而非其精确的度量。 连续性： 深入理解映射的连续性，以及它在拓扑空间中传递结构和性质的重要性。 紧致性与连通性： 探索这两个关键的拓扑性质，理解它们如何限制空间的结构，并为后续的群理论分析提供强大的工具。 度量空间与完备空间： 学习由距离定义的更具结构的拓扑空间，以及完备性在分析和极限运算中的重要作用。 我们将强调拓扑学如何通过“接近”的概念，赋予群的元素以“连续”的行为。这种连续性是理解拓扑群的关键所在。 第三篇：融合的艺术——拓扑群的奥秘 现在，是时候将前两篇的知识融会贯通，进入本书的核心——拓扑群的领域。本篇将详细探讨拓扑群的定义及其重要的性质，并引出与之相关的结构。 拓扑群的定义与例子： 揭示一个集合同时具备群结构和拓扑结构，并且群运算（乘法和求逆）在该拓扑下是连续的这一核心要求。我们将通过具体的例子，如实数加法群、非零实数乘法群、圆周群 (U(1))、酉群 (U(n)) 等，来直观理解这一概念。 拓扑群的性质： 深入研究拓扑群的各项关键性质，包括： 单位元与逆元的局部性质： 理解为什么在拓扑群中，单位元和逆元的操作在局部范围内也是连续的。 子群与陪集的拓扑性质： 探讨子群和陪集的拓扑结构，以及它们如何继承自父群的拓扑。 商群的构造与拓扑： 学习如何构造商群，并理解其上的自然拓扑，以及它如何反映了原群的结构信息。 紧致生成子群： 探索由紧致子集生成的拓扑群，以及它们在 Harmonic Analysis 中的重要性。 李群入门： 作为一类重要的、具有光滑结构的拓扑群，李群在本篇中也将被初步介绍。我们将探讨光滑流形上的群结构，以及李群在微分几何、物理学（如规范场论）等领域的核心作用。 第四篇：相关的结构与应用 拓扑群的魅力不止于其自身，它还与其他许多数学结构紧密相连，并展现出强大的应用潜力。本篇将拓展我们的视野，探索这些“相关结构”及其在不同领域的体现。 哈尔测度： 深入理解在可交换拓扑群上的哈尔测度，它是一种与群结构兼容的、唯一的（在某种意义下）不变测度。这将是 Harmonic Analysis 的核心工具，使得我们能够对群进行积分和傅里叶分析。 傅里叶分析的群论视角： 重新审视傅里叶分析，从群论的语言来理解其本质，特别是对于紧致群和局部紧致阿贝尔群上的傅里叶变换。 表示论： 探讨群的表示，即群到向量空间上可逆线性变换的映射。我们将展示如何利用拓扑群的结构来研究其表示，以及表示论在量子力学、粒子物理学等领域的应用。 向量空间上的拓扑群： 关注作用在向量空间上的拓扑群，例如一般线性群 GL(n, R) 或 GL(n, C)，以及它们的子群（如正交群 O(n)、酉群 U(n)）如何深刻地影响线性代数和几何。 应用掠影： 简要介绍拓扑群及其相关结构在信号处理、控制理论、密码学、统计物理等领域的实际应用，激发读者进一步探索的兴趣。 本书致力于以清晰的逻辑、详实的论证和生动的实例，引导读者一步步深入理解拓扑群及其相关结构的精妙之处。我们希望通过这次数学之旅，不仅能够提升读者的理论认知，更能激发其对数学抽象之美的深刻感悟和对数学应用潜力的广泛认识。

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这本书的封面设计，初看之下，便有一种沉稳而专业的学术气息扑面而来。纸张的选择略微偏硬，触感扎实，内页的排版清晰，字里行间透露出对细节的考究。装帧工艺显示出出版方对内容的重视，整体感觉就像是一件耐用的工具书，适合长时间的研读和反复查阅。它的份量感让人觉得里面承载了足够多的知识体系，那种翻开它就能感受到数学世界宏大结构的重量感，是其他轻薄读物难以比拟的。阅读初期，仅仅是浏览目录和前言，就已经能感知到作者在构建这个知识体系时所下的苦心，条理分明，逻辑链条清晰可见，虽然主题的抽象性要求读者具备一定的预备知识，但作者似乎竭力想用最直接的方式引导读者进入这个高深的领域。这种对物理形态和内在结构的关注，往往是优秀学术著作的一个重要标志，它预示着内部内容的严谨与深度。

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如果要用一句话来概括阅读这本著作的感受，那便是“严谨而富有启发性”。它要求读者投入大量的时间和心力去消化吸收，这不是一本可以轻松翻阅的休闲读物，它更像是一场智力上的马拉松。书中的习题设计也颇具匠心，它们不仅仅是检验概念理解的工具，很多都设计成了对核心理论的延伸或补充，甚至有些习题本身就蕴含着重要的数学思想，需要读者进行深入的思考和探索。完成书中的一部分内容后，你会明显感觉到自己对空间和结构之间的内在联系有了更深刻的洞察力，这种知识的内化过程是缓慢而扎实的，最终形成的学术“肌肉记忆”，将是未来学术生涯中宝贵的财富。这本书无疑为该领域树立了一个很高的标杆。

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这本书的叙述风格，如同一位经验老到的大学教授在面对一群求知欲旺盛但基础不一的学生时所展现出的耐心与权威。它既有宏观的把握，让你看到整个数学分支的布局，又能在微观的证明细节上做到滴水不漏。我注意到作者在引用其他相关领域的工作时，总是非常审慎和恰当，没有为了堆砌文献而堆砌，而是真正服务于当前章节的论证需要。特别是那些需要多步推理才能达成的结论，作者往往会提前设置好必要的引理和预备知识，使得整个证明过程如同一个精心编排的舞台剧，高潮迭起却又合乎情理。这种对逻辑流程的精妙控制，让读者在“哦，原来如此”的豁然开朗中，获得极大的满足感，而非在晦涩的跳转中迷失方向。

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阅读体验的深入，揭示了作者在概念引入上的独到匠心。那些初看起来令人望而却步的定义和定理，在作者的笔下仿佛被一层层剥开，暴露出了其内在的几何直觉。尤其是在处理某些边界情况和特殊结构时，作者没有采用那种冷冰冰的纯粹符号推导，而是巧妙地穿插了一些直观的例子和类比，这对于那些非纯数学背景，但对拓扑结构抱有浓厚兴趣的读者来说，无疑是一剂强心针。这种教学法的运用，使得原本可能显得枯燥的代数操作，多了一层可触摸的“形状感”。我特别欣赏其中关于一致性拓扑的讨论，它不仅仅停留在定义层面，更是深入探讨了这种结构在分析学中应用的必要性，这种联系的建立，极大地增强了学习的内在动力，让人忍不住想要立刻去实践和验证。

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从内容覆盖的广度来看，这本书的野心显然不止于一个基础入门读物。它似乎旨在为读者打下一个坚实的基础，同时又不断地向更前沿的研究领域抛出橄榄枝。每当处理到一个核心概念时，作者总会附带提及一些近年来在该方向上的重要进展或者尚未解决的难题，这种前瞻性的视野，让这本书的价值超越了单纯的知识传授，更像是一张通往研究前沿的路线图。对于研究生或年轻研究人员而言，这种对“现在进行时”的数学状态的把握至关重要。它不仅仅教会你“如何做”，更启发你思考“为什么现在是这样”，以及“未来可能走向何方”。这种深刻的启发性，是任何一本只求覆盖基础知识的教材所无法企及的深度。

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