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出版者:Dover Publications

作者:Laurent Schwartz

出品人:

页数:368

译者:

出版时间:2008-4-21

价格:USD 19.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780486466620

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• 数学物理方法
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《数学的维度：探索物理世界的语言》 这本书并非一本教科书，而是一场对构成我们宇宙基石的数学之美的深度探索。它旨在揭示那些隐藏在物理定律背后的优雅数学结构，以及这些结构如何成为我们理解和描述物理现象的强大工具。我们将一同踏上一段跨越时空的智慧旅程，从几何学的直观美感到微积分的动态力量，从线性代数的结构性视角到概率论的随机性洞察，深入剖析数学在物理科学中不可或缺的作用。 本书的内容将围绕以下几个核心主题展开，但绝非枯燥的公式堆砌，而是通过生动的故事、历史的脉络和对关键概念的深入剖析，展现数学的生命力： 形、数、变的交织：几何与微积分的和谐 我们将从欧几里得的几何公理出发，感受纯粹逻辑的美感，并追溯几何学如何演变为描述空间形状和关系的基石。从二维平面到三维空间，再到更高维度的概念，我们会看到几何学的概念如何渗透到物理学的各个角落，例如描述粒子轨迹的曲线、理解晶体结构的对称性，以及绘制宇宙结构的庞大图景。 随后，我们将深入探索微积分的革命性力量。牛顿和莱布尼茨对“变化”的深刻洞察，不仅改变了数学的面貌，更开启了描述动态世界的大门。我们会详细阐释微分如何捕捉瞬间的变化率，例如速度、加速度，以及它们在力学、电磁学中的核心作用。积分则会展现如何累加无数微小量以计算总和，如面积、体积，以及其在能量守恒、粒子分布等问题中的关键地位。这本书不会止步于基础的导数和积分，还会触及多变量微积分，让读者理解在复杂多维环境中如何描述和分析物理量，例如场的概念，如温度场、电场和引力场。 结构与关系的支撑：线性代数的力量 线性代数，这门关于向量、矩阵和线性变换的学科，是现代物理学中不可或缺的“骨架”。我们将探讨向量如何简洁地表示物理量，如力、速度或电场，以及向量空间如何提供一个统一的框架来理解不同物理系统。矩阵将不再是冰冷的数字表格，而是代表着变换的强大工具，例如描述刚体旋转、坐标系变换，以及在量子力学中描述态矢和算符的演化。 本书将着重阐述特征值和特征向量的意义，它们揭示了系统的内在属性和稳定性，例如在振动分析、量子态的能量本征值等问题中的应用。我们会展示线性代数如何成为解决大量物理方程组的利器，并且在数据科学和机器学习的兴起中，其重要性愈发凸显，为分析海量实验数据提供了强大的数学支持。 混沌与秩序的交融：概率论与统计物理的艺术 物理世界并非总是确定和可预测的。从原子的随机运动到天气系统的复杂行为，概率论为我们理解和描述这些“不确定性”提供了框架。我们将从概率的基本概念入手，解释随机变量、概率分布和期望值的意义，并展示它们如何应用于描述粒子的热运动、放射性衰变的随机性，以及测量误差的分析。 统计物理学则将概率论的工具应用于宏观系统的研究。我们会探讨玻尔兹曼分布、法诺统计等概念，理解微观粒子的随机行为如何汇聚成宏观的统计规律，例如气体的压强和温度。本书将特别关注统计物理学在理解相变、临界现象等复杂系统中的作用，以及它如何连接了微观世界的随机性与宏观世界的秩序。 连接无限的桥梁：傅里叶分析与复分析的优雅 傅里叶分析，这项源于对周期性现象研究的数学工具，为我们分解复杂信号、理解频率成分提供了强大的能力。本书将深入浅出地介绍傅里叶级数和傅里叶变换，展示如何将复杂的波形分解为一系列简单的正弦和余弦波。我们会看到傅里叶分析在信号处理、图像分析、量子力学中的应用，例如谱分析、滤波器设计，以及理解物质的晶体结构。 复分析则以其独特的复数系统，为许多物理问题提供了优雅的解决方案。我们将探讨复变量函数、柯西积分定理以及留数定理等概念，并展示它们如何应用于解决涉及电磁场、流体力学中的复杂问题，例如在电势计算、航空动力学中的翼型设计等。 除了上述核心内容，本书还会穿插探讨其他重要的数学工具，例如微分方程在描述物理过程中的作用，张量分析在广义相对论中的应用，以及群论在对称性研究中的重要性。 《数学的维度：探索物理世界的语言》的目的不是让读者成为数学家，而是让读者以一种全新的视角去欣赏和理解物理学的深度。它将激发读者对数学内在美的热爱，以及对数学作为探索世界本质的强大工具的敬畏。这本书将是一次智力的冒险，一次对人类智慧结晶的致敬，让读者在享受阅读乐趣的同时，深刻领悟数学与物理世界之间那密不可分、如同语言般的联系。它将引导读者超越公式的表面，触及数学思想的灵魂，从而更深刻地理解我们所处的这个美丽而复杂的宇宙。

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这部厚重的教材，**《物理科学的数学》**，光是掂在手里就能感受到它蕴含的知识量。我当初抱着极大的期待翻开它，主要是想系统梳理一下我那有些松散的微积分和线性代数知识，希望能为后续深入学习量子力学和经典场论打下一个坚实的基础。然而，阅读体验却像是在攀登一座没有清晰标记的陡峭山峰。书中的定义往往是极其简洁，仿佛作者认为读者已经完全领会了背后的全部背景知识。例如，在介绍傅里叶分析的部分，当涉及到狄拉克$delta$函数时，它直接就跳到了复杂的积分表示，而对于这个“函数”的本质——作为一种理想化的工具——的物理意义和数学上的严格处理，介绍得略显仓促。我不得不频繁地停下来，去查阅其他更基础的参考书，来补齐那些被作者“省略”的中间步骤。尤其是在处理多元微积分中的向量分析和张量分析时，虽然公式推导是严谨的，但缺乏直观的几何解释，使得抽象的符号运算和实际的物理场变化之间的联系显得有些模糊。对于那些偏爱通过图像和具体例子来理解抽象概念的学习者来说，这本书的风格无疑是具有挑战性的。它更像是为那些已经拥有扎实数学背景、寻求精确和完备性的研究人员准备的参考手册，而不是为初次接触这些高级数学工具的物理学学生量身定做的入门向导。因此，如果你指望它能像一位耐心的导师那样循循善诱，你可能会感到失望；它更像是一部需要你主动去“征服”的权威典籍。

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总的来说，阅读完这本书，我最大的感受是“功力深厚，但略显冷峻”。它更像是一本需要配合多个课程或导师指导才能完全消化的“进阶材料”，而不是一个自洽的、可以独立通行的学习系统。其中关于偏微分方程数值解法的介绍，虽然简要，但提供了重要的工业界视角，提醒读者理论的严谨性最终必须服务于可计算的现实。书中对拉普拉斯方程、泊松方程这些核心方程的阐述，侧重于求解鞍点法和渐近展开，这对于处理高频或长波限制下的物理问题至关重要。但是，如果一个读者是初次接触这些偏微分方程，这本书会显得过于“精英化”。它假定读者已经对物理问题（如电磁场、流体力学）的边界条件和物理背景有着深刻的理解，否则，那些复杂的数学解——比如球谐函数或贝塞尔函数——对他们而言，就仅仅是一串美丽但意义不明的数学表达式。我最终的结论是，它是一部极具价值的参考书，能帮助你精进已有的数学技能，但若想用它来开启物理数学的大门，你可能需要先用其他更友好的钥匙打开前厅。

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不得不说，这本书在涉及群论和对称性分析的应用部分，展现出了非凡的深度和广度，这几乎是我收藏这本书的主要原因。它没有将群论仅仅视为一种代数结构，而是将其紧密地嵌入到物理学的核心——守恒定律和不变量的推导中。作者对表示论的介绍，虽然依然保持了数学上的高度抽象，但通过与角动量、晶体结构等具体物理模型的结合，为理解选择定则和简并态提供了无可替代的视角。举个例子，书中对SO(3)群和SU(2)群的讨论，清晰地阐明了量子力学中自旋的起源，这种将抽象数学与具体物理现象完美契合的处理方式，令人拍案叫绝。不过，这种高度集中的数学深度也带来了一个副作用：如果读者对物理直觉的培养有所欠缺，很容易陷入符号的迷宫。例如，在讲解张量场的坐标变换性质时，公式的推导过程冗长且细节繁多，一个小的下标错误就可能导致整个推导崩溃。我个人认为，如果能在这些关键的、连接抽象与具体的章节中，增加一些历史背景或者更具启发性的图示来辅助理解，而不是仅仅依赖于公式的逻辑推导，这本书的教学效果或许能更上一层楼，吸引更广泛的物理专业学生群体。

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这本书的排版和符号使用，清晰度极高，这在处理涉及大量积分和复杂指数函数的物理公式时，简直是救星。无论是字体选择还是公式的间距处理，都体现了出版方对细节的尊重，使得长时间阅读也不会产生视觉疲劳，这对于我们这些需要长时间与数学符号搏斗的人来说，是非常重要的体验。然而，对于像我这样偏好“循序渐进”的学习路径的读者而言，这本书的章节组织结构，虽然在逻辑上无懈可击，但在心理上却构成了不小的挑战。它似乎默认读者已经拥有一个关于“物理学应该如何被数学描述”的成熟框架。比如，在介绍复变函数理论时，它几乎是立即开始讨论留数定理及其在求解无限求和与特定积分上的应用，而对于复变函数作为一种分析工具，其拓扑性质（如柯西积分定理背后的单值性和路径无关性）的物理直观解释，着墨不多。这就导致我感觉自己像是在使用一把极其锋利的精密手术刀，却不完全清楚它在身体哪个特定部位的切割才是最有效的。我更希望看到一些引导性的评论，哪怕是脚注的形式，来提醒读者在什么物理情境下，这种数学工具能展现出其最大的威力。

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翻开这本书的内页，扑面而来的是一种冷峻、近乎教科书式的客观和严谨，这在我看来，是其最大的优点，也是其令人望而生畏之处。它几乎没有为内容添加任何多余的“润色”或者故事性叙述，直奔主题，力求数学的完备性。我尤其欣赏它在处理微分方程组时的那种“大局观”。它不是简单地罗列一堆求解方法，而是从拉普拉斯变换、傅里叶变换的适用性边界，到更深层次的特征值问题的物理内涵（比如薛定谔方程的本征值），进行了有机的串联。这种结构安排，让读者能清晰地看到，不同的数学工具是如何在解决不同类型的物理问题时发挥作用的。然而，这种对数学严谨性的极致追求，也导致了某些章节的密度过高。例如，在介绍格林函数方法时，作者使用了大量的泛函分析术语，如希尔伯特空间和完备性等概念，这些概念如果不是在专门的数学课上深入学习过，仅仅通过书中这几页的介绍，是很难真正把握其精髓的。我感觉这本书更像是对“数学工具箱”的一次全面的清点和展示，而不是专注于“如何使用这些工具来解决我们当下最紧迫的物理问题”。对于那些对“为什么”比“是什么”更感兴趣的人来说，这本书提供了坚实的操作手册，但可能在“为什么这个工具比另一个更适合此情此境”的哲学探讨上留下了空白。

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