Differential Equations For Dummies pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:For Dummies

作者:Steven Holzner

出品人:

页数:336

译者:

出版时间:2008-6

价格:USD 19.99

装帧:Paperback

isbn号码:9780470178140

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踏入微分方程的奇妙世界：探索变化与动态的奥秘 你是否曾经好奇过，为什么行星会遵循特定的轨道运行？是什么驱动着生物种群的繁衍与衰退？又是如何预测天气变化，或者理解金融市场的波动？这些看似复杂而神秘的现象，其背后往往都隐藏着一种强大的数学工具——微分方程。本书将为你揭开微分方程的神秘面纱，带你深入探索变化与动态的本质。 什么是微分方程？ 简单来说，微分方程是一种描述变化率之间关系的数学方程。它不是直接描述某个量的数值，而是描述该量是如何随着其他变量（通常是时间）而变化的。例如，我们知道速度是位移关于时间的变化率，而加速度是速度关于时间的变化率。当我们将这些关系用数学语言表达出来，就得到了微分方程。 为什么微分方程如此重要？ 微分方程是现代科学和工程学的基石。从物理学中的牛顿定律、麦克斯韦方程组，到化学中的反应速率方程，再到生物学中的种群动态模型，以及经济学中的增长模型，几乎所有描述动态系统的科学领域都离不开微分方程。通过求解微分方程，我们可以： 预测未来趋势： 了解系统的变化规律，从而预测其未来的发展状态。例如，预测导弹的轨迹，或者流行病的传播趋势。 理解系统行为： 揭示系统内部的运作机制，解释现象发生的原因。例如，理解电路中的电流如何变化，或者热量如何在物体中传递。 优化设计与控制： 根据系统的动态特性，设计出更优的方案，或者开发出有效的控制系统。例如，设计自动驾驶汽车的控制算法，或者优化化工生产过程。 本书将带你认识哪些精彩内容？ 本书将带领你一步步走进微分方程的世界，让你从零开始，逐步掌握解决各种类型微分方程的方法和思想。我们将从最基础的概念入手，然后深入到各种常见的微分方程类型，并介绍它们在不同领域的应用。 微分方程的语言： 你将了解什么是微分方程，如何表示它们，以及方程中的各项代表的物理或数学意义。我们将从一阶微分方程开始，理解它们如何描述最基本的变化规律。 一阶微分方程的探索： 你会学习如何求解分离变量方程、线性方程、齐次方程以及恰当方程等。这些看似抽象的方程，却是描述许多基础物理现象的关键。例如，放射性物质的衰减、复利计算、以及简单的电路分析，都可以用一阶微分方程来建模。 高阶微分方程的挑战与魅力： 随着我们对复杂系统认识的加深，高阶微分方程显得尤为重要。你将学习如何处理常系数线性高阶微分方程，包括齐次和非齐次方程的求解方法，例如特征方程法、待定系数法和常数变易法。这些工具在描述振动、波动以及更复杂的物理现象时不可或缺。 拉普拉斯变换的威力： 拉普拉斯变换是一种强大的数学工具，可以将复杂的微分方程转化为代数方程，极大地简化求解过程。你将学习如何运用拉普拉斯变换来求解常系数线性微分方程，尤其在工程领域，它能有效地处理含有冲激函数或阶跃函数的激励。 级数解法： 对于一些无法用初等函数求解的微分方程，级数解法提供了一种逼近解的方法。你将了解如何利用泰勒级数等方法来寻找微分方程的级数解，这在许多特殊函数（如贝塞尔函数、勒让德函数）的推导中至关重要。 微分方程组的交织世界： 许多实际问题并非由单个微分方程描述，而是由多个相互关联的微分方程组成的系统。你将学习如何处理微分方程组，例如通过特征值和特征向量来分析线性自治系统的稳定性，从而理解多变量系统如何协同变化。 数值解法的实践： 在许多情况下，解析解难以获得，此时数值解法就显得尤为重要。你将了解欧拉法、改进欧拉法、龙格-库塔法等经典的数值方法，学习如何用计算机来近似求解微分方程，从而在实际应用中获得有意义的结果。 微分方程的应用视角： 本书将贯穿大量的实际应用案例，让你看到微分方程在不同领域的强大生命力。从物理学中的自由落体、阻尼振动，到工程学中的电路分析、控制系统，再到生物学中的种群增长、药物动力学，以及经济学中的经济增长模型，你将亲身体验微分方程如何描绘和解释真实世界的动态。 谁适合阅读本书？ 无论你是理工科的学生，希望打下坚实的数学基础，理解课程中的动态模型；还是工程师，需要运用微分方程来解决实际工程问题；抑或是对科学现象充满好奇，渴望理解世界运作规律的爱好者，本书都将为你提供一条清晰的学习路径。本书力求语言通俗易懂，概念解释清晰，并辅以丰富的例题和练习，帮助你真正掌握微分方程的精髓。 踏上这段数学探索之旅，你将不仅仅是学会解方程，更重要的是，你将学会如何用数学的语言去思考、去理解、去预测我们周围这个充满变化与动态的世界。让我们一起，用微分方程解锁更多未知的奥秘！

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这本书的行文风格简直是一股清流，它完全摒弃了学术著作那种冷峻和疏离感。作者似乎真的在和你面对面交谈，语气中充满了鼓励和一丝幽默感。我记得在解释“奇异点”的概念时，作者用了一个比喻，说奇异点就像是系统中的一个“脾气古怪的邻居”，一旦靠近它，系统的行为就会变得完全不可预测。这种拟人化的描述，让抽象的数学概念瞬间鲜活起来。我尤其欣赏它在每个关键概念讲解后都会设置一个“记住这个”的小方框，里面用非常简洁的语言概括了本节的要点，非常适合在复习时快速回顾。尽管标题带着“Dummies”，但内容绝不肤浅，它只是把通往“不傻”的路径设计得无比平坦和易于行走。我甚至发现，很多我以前在其他教材中感到晦涩难懂的术语，在这本书里因为有了更清晰的背景铺垫和语境说明，变得豁然开朗。

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从实用性的角度来看，这本书的组织结构极具操作性。它没有按照传统的数学体系来划分章节，而是更多地根据“你要解决什么样的问题”来组织。比如，第一部分解决“无阻尼自由振动”类问题，第二部分解决“受迫振动与共振”问题，这种基于应用场景的划分，对我这种从应用领域转向理论学习的人来说，匹配度极高。我可以直接根据我遇到的实际物理模型，快速定位到对应的数学工具。例如，当我需要分析一个RLC电路的瞬态响应时，我能毫不费力地找到关于二阶非齐次微分方程的求解章节，并直接应用那里讲解的“待定系数法”或“参数变易法”。书中提供的例子都附带有详细的数字计算过程，而不是只给出最终的通式。这使得我可以将书中的步骤与我用编程语言（如MATLAB）进行验证的结果进行交叉比对，极大地增强了我对所学知识的信心。

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我之前尝试过几本号称“简明扼要”的微积分和线性代数参考书，结果发现它们要么是跳过了关键的证明步骤，留下一堆“显然如此”让你自己去琢磨，要么就是定义和定理堆砌，根本没有提供足够的练习来巩固理解。这本《微分方程傻瓜指南》在这方面做得非常平衡。它不仅告诉你“怎么做”，更重要的是让你明白“为什么这么做”。举个例子，讲到拉普拉斯变换的时候，很多书直接给出查找表，然后让你用它来解积分方程。但这本书花费了不少篇幅解释了拉普拉斯变换的本质——将微分运算转化为代数运算，这个“转换”的意义是什么，以及它为什么对处理初始值问题如此高效。对我这种需要理解底层逻辑而不是仅仅想应付考试的人来说，这种深度解析是无价的。每当我在一个章节学完一种解法后，总会发现后面有一系列“小测验”和“挑战题”，这些题目难度设置循序渐进，确保你真的掌握了本节内容，而不是一知半解地翻页。

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说实话，我期待这本书能覆盖到更高级的主题，比如偏微分方程（PDEs）的部分内容就略显单薄了。虽然它在引言中提到了PDEs的重要性，但主要的笔墨还是集中在常微分方程（ODEs）上，尤其是线性系统的稳定性分析部分。对于我目前的工作需求——需要处理一些涉及空间维度变化的扩散问题——这本书提供的ODE工具箱已经足够用了，但如果我希望进一步深入到更复杂的物理模拟中，这本书的覆盖面显然就不够了。不过，考虑到它的定位是“Dummies”，也许增加太多高阶内容反而会稀释其核心优势——即为初学者构建坚实的基础。另外，书中对数值解法的讨论也相对保守，更多地是提及有限差分法和龙格-库塔法，但没有深入到如何选择合适的步长或误差控制的实际操作细节，这部分内容更像是“你知道有这些方法存在”的介绍，而不是“你可以用这些方法解决实际问题”的指导手册。

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这本书，说实话，我买的时候心里是忐忑的。我数学基础不算扎实，尤其是涉及到微分方程这种听起来就很高深的领域，感觉像是在跨越一道鸿沟。《微积分入门》那会儿我就有点吃力，所以当我要处理实际工作中的一些动态系统建模问题时，发现绕不开微分方程，只能硬着头皮找本“友好”点的书。翻开这本《For Dummies》系列的书，我最大的惊喜就是它真的把复杂的概念拆解得非常细致，不是那种直接把公式往你脸上砸的书。它更像是一个耐心十足的导师，先从最直观的生活例子入手，比如弹簧振动、人口增长这些，让你对“方程在描述变化”这个核心思想有个模糊但正确的认知。然后才慢慢引入一阶、二阶线性常微分方程的标准解法。我特别喜欢它讲解“常数系数齐次方程”那一章节的思路，它没有直接给出特征方程的推导，而是通过观察特定解的形式，一步步引导你发现规律，这种启发式的教学方式，大大降低了我初学时的畏难情绪。而且，书中的插图和图示非常到位，不像有些教科书那样只有密密麻麻的文字和符号，能让人在视觉上快速定位和理解不同类型方程的几何意义。

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