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出版者:

作者:Johnson, Trevor/ Neill, Hugh

出品人:

页数:327

译者:

出版时间:2008-12

价格:$ 14.63

装帧:

isbn号码:9780071582995

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 自学
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• 数学普及
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• 入门

《探索数学的奥秘：从基础到前沿》 这是一本引人入胜的数学之旅，旨在带领读者深入理解数学的本质，感受其逻辑之美与应用之广。本书并非枯燥的公式堆砌，而是通过清晰的讲解、生动的例子和循序渐进的引导，帮助读者构建扎实的数学基础，并触及数学的迷人前沿。 第一部分：数学的基石——逻辑与基础概念 我们将从最根本之处出发，探讨数学的语言——逻辑。学习如何构建严谨的证明，理解命题、推理以及集合论的基本原理。这一部分将为后续的学习打下坚实的地基，让你能够自信地驾驭更复杂的数学概念。 逻辑的基石： 介绍命题逻辑和谓词逻辑，学习真值表、推理规则以及常见的逻辑谬误。理解逻辑在数学证明中的核心作用。 集合论的语言： 探索集合的基本概念，如元素、子集、并集、交集和差集。学习康托尔的集合论思想，感受无限的概念。 数系的构建： 从自然数出发，逐步构建整数、有理数、实数和复数。深入理解数的性质、运算及其在不同领域的应用。 函数与映射： 揭示函数作为一种数学关系的核心作用。学习函数的定义、性质、图示以及常见的函数类型，如线性函数、二次函数、指数函数和对数函数。 第二部分：动态世界——微积分的魅力 微积分是描述变化与运动的数学语言。本书将以直观的方式介绍微积分的核心概念——极限、导数与积分。 极限的边界： 理解极限的概念，它是理解连续性、导数和积分的基础。通过图示和直观的例子，揭示函数在趋近某个值时的行为。 导数的洞察： 学习导数作为瞬时变化率的含义。掌握求导的各种法则，并探索导数在求解优化问题、分析函数图形以及理解物理现象（如速度和加速度）中的应用。 积分的累积： 介绍积分作为求面积、体积以及累积效应的工具。学习定积分和不定积分的计算方法，并将其应用于解决实际问题，例如计算曲线下的面积、功的计算等。 微积分的联系： 深入理解微积分基本定理，揭示导数与积分之间的深刻联系。 第三部分：结构的探索——代数与几何的交融 代数提供了解决方程和处理抽象关系的工具，而几何则描绘了空间和形状的本质。本书将展示这两门学科如何相互补充，共同构建一个强大的数学框架。 代数方程的解法： 从一元一次方程到多元一次方程组，再到二次方程的求解，系统介绍代数方程的各种解法。 多项式的世界： 探索多项式的性质、因式分解以及多项式方程的解法。 线性代数入门： 介绍向量、矩阵及其基本运算。学习如何利用矩阵解决线性方程组，理解向量空间的概念。 欧几里得几何的优雅： 回顾欧几里得几何的基本公理和定理，包括点、线、面、角、三角形、圆等。 解析几何的转化： 学习如何利用坐标系将几何图形转化为代数方程，从而用代数方法分析和解决几何问题，例如直线方程、圆的方程。 非欧几何的启示： 简要介绍非欧几何（如球面几何和双曲几何），拓宽对空间和几何学的认知边界。 第四部分：概率与统计——量化不确定性 在充满不确定性的世界里，概率论和统计学为我们提供了量化和理解随机现象的强大工具。 概率论的基础： 学习概率的基本概念，如样本空间、事件、概率的计算以及条件概率。 随机变量与分布： 介绍离散型和连续型随机变量，以及重要的概率分布，如二项分布、泊松分布和正态分布。 统计推断的智慧： 学习如何从样本数据推断总体特征，包括参数估计、假设检验以及置信区间。 数据分析的实践： 探索描述性统计，学习如何使用图表和统计量来总结和解释数据。 第五部分：数学的前沿与应用 本书的最后部分将带领读者领略数学在现代科学、技术和社会中的广泛应用，以及一些激动人心的数学前沿领域。 离散数学的结构： 介绍图论、组合学和数论等离散数学分支，它们在计算机科学、网络理论和密码学中扮演着重要角色。 数值分析的精度： 探讨数值方法的原理，如何用计算机近似求解复杂的数学问题，例如方程的根、积分的计算。 数学建模的力量： 学习如何将现实世界的问题转化为数学模型，并利用数学工具进行分析和预测。 现代数学的风景： 简要介绍一些活跃的数学研究领域，如混沌理论、分形几何、博弈论等，激发读者对数学的进一步探索热情。 本书的特点： 概念清晰： 每一个数学概念都力求用最直观、最易懂的方式进行阐释。 逻辑严谨： 在讲解概念的同时，注重数学推导的完整性和逻辑性。 实例丰富： 大量贴近生活的实例，帮助读者理解抽象数学概念的应用价值。 循序渐进： 内容组织合理，难度逐步提升，适合不同数学基础的读者。 启发思考： 引导读者主动思考，培养独立解决问题的能力。 无论您是学生、职场人士，还是对数学充满好奇的爱好者，本书都将是您探索数学奥秘、提升思维能力的理想伙伴。让我们一起踏上这段精彩的数学之旅吧！

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这本书在对数学分支的覆盖面上显得非常全面且平衡，没有出现那种为了突出某个领域的“新潮”而轻视基础的倾向。我记得我之前用过好几本号称“综合性”的参考书，结果发现它们要么是过度侧重于应用分析，导致理论基础薄弱，要么就是沉溺于纯粹的抽象结构而忽略了与现实问题的连接。而这本，它似乎找到了一个完美的平衡点。它在介绍概率论时，对随机变量的定义和期望的计算部分处理得极其扎实，为后续统计推断的引入打下了坚实的地基。更妙的是，它在处理一些看似不相干的领域时，总能适时地指出它们之间的内在联系，比如它在谈到矩阵的对角化时，巧妙地将其与傅里叶级数中的某些变换联系起来，这种跨领域的触类旁通，极大地拓展了我对数学工具箱的认识。对于希望建立一个广阔而扎实的数学知识体系的读者来说，这本书提供的视角是极为宝贵的，它让你看到的是一幅完整的数学地图，而不是孤立的知识点小岛。

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作为一名非数学专业的理工科学生，我对于那种动辄跳过中间步骤、直接给出结论的书籍深恶痛绝。我需要知道“为什么”而不是仅仅记住“是什么”。这本书在这方面做得非常出色，它简直就像是为我这种渴望透彻理解每一个细节的学习者量身定做的。让我印象最深的是它对证明方法的介绍，它不仅仅是展示了最终的证明，更重要的是，它详细剖析了构建这个证明的思维过程——哪些是尝试性的假设，哪些是关键的引理，以及如何根据已知的定理进行逻辑上的跳跃和组合。这不仅仅是学习数学知识，更是在学习一种严谨的逻辑思维方式。我甚至会特意去阅读那些关于“历史背景”的注释部分，作者似乎非常懂得，历史的演进往往蕴含着最直观的解题思路。这种对上下文和底层逻辑的尊重，使得阅读过程不再是枯燥的知识灌输，而是一场思维的深度对话。它让我重新认识到，数学的优美之处恰恰在于其无懈可击的逻辑链条。

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坦白说，我拿到这本厚厚的书时，第一反应是“这会不会又是一本佶屈聱牙的学术著作？”毕竟“自学”这个词在数学领域往往意味着要跟艰涩的语言搏斗。但实际翻阅下来，我发现作者的语言风格非常平易近人，像是一位经验丰富的老教授在耐心地为你讲解，而不是冰冷的教科书在陈述事实。这种叙事性的讲解方式极大地降低了初学者的心理门槛。比如在讨论代数结构的时候，作者并没有直接堆砌群、环、域的定义，而是先从对称性和变换的角度切入，让人理解“结构”这个概念的本质意义。这种“先理解现象，后定义概念”的教学法，对我理解抽象数学的内在驱动力非常有帮助。而且，我特别欣赏它在练习题设置上的考量，那些例题的难度梯度设计得极其巧妙，从基础的计算巩固，到稍微需要转弯的综合应用题，再到最后那些启发性的“思考题”，它们不会让你感到挫败，而是激发你探索更深层次联系的欲望。我花了大量时间在那些最后的思考题上，它们往往能够帮你把前面零散的知识点串联起来，形成一个完整的知识网络。

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这套书的排版真是让人眼前一亮，尤其是那些复杂的公式推导过程，作者似乎非常注重读者的阅读体验。我记得好几年前就开始接触这方面的学习材料，但很多书籍的章节组织总是显得有些生硬，让人在深入学习时感到迷茫。而这本，它的逻辑流淌得非常自然，从基础概念的引入到高级主题的过渡，每一步都像是精心铺设的阶梯，让你在不经意间就已经掌握了前一阶段的知识点。特别是对微积分那几章的讲解，作者没有采取那种一上来就抛出大量抽象定义的做法，而是用了一系列非常贴近生活的例子来阐述变化率和累积量的概念。我记得当时我还在想，如果早几年能有这样一本教材就好了，这样我的入门阶段估计会顺畅很多。书中的插图质量也值得称赞，它们不是那种为了填充版面而存在的简单图形，而是真正起到辅助理解作用的视觉工具，比如在向量空间那部分，清晰的几何图示立刻让原本晦涩的维度概念变得具象化了。总的来说，它提供了一个非常友好且深入的数学学习路径，对于想要系统性提升自身数学素养的读者来说，无疑是一个很好的选择。

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我通常很难对任何一本自学材料给予极高的评价，因为总会在某个环节感到力不从心或被忽略。然而，这套书在“可操作性”和“自洽性”方面做得近乎完美。它没有那种高高在上的姿态，而是实实在在地为你搭建脚手架。我尤其欣赏作者在处理概念的引入时，总是会先给出其在整个数学体系中的“定位”，即“我们为什么要学这个？”、“它解决了什么问题？”。这种“目的性先行”的介绍方式，极大地增强了我的学习动力。例如，在探讨级数收敛性时，作者没有直接就扔出比值判别法和根值判别法，而是先通过一些发散级数的例子，让你切实体会到“有限和”向“无限和”过渡时可能出现的陷阱，从而理解为什么我们需要一套严格的收敛性判定工具。这种循序渐进、带着强烈目的性引导的学习体验，让整个过程充满了成就感，而不是被动地接受知识，这才是自学资料最难能可贵的地方。

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