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出版者:

作者:McCormick, Stephen F. (EDT)

出品人:

頁數:668

译者:

出版時間:1988-5

價格:$ 384.14

裝幀:

isbn號碼:9780824779795

叢書系列:

圖書標籤:

Multigrid
Numerical Analysis
Partial Differential Equations
Scientific Computing
Algorithms
Mathematics
Computational Mathematics
Engineering
Applied Mathematics
Finite Difference Methods

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具體描述

求解偏微分方程的革新技術：一個深入的數值分析視角書籍簡介本書旨在為讀者提供一個全麵而深入的視角，探討現代科學與工程計算中至關重要的一個領域：非綫性係統與大規模綫性係統的迭代求解技術。本書聚焦於那些源於物理過程離散化而産生的巨大、稀疏代數方程組的有效處理方法，特彆關注其背後的數學原理、算法結構以及在實際應用中的優化策略。我們首先從迭代方法的基礎理論齣發，詳細闡述瞭經典的雅可比（Jacobi）、高斯-賽德爾（Gauss-Seidel）方法，以及更為重要的舒爾（SOR）和對稱正交化方法（如共軛梯度法CG）。本書不滿足於僅介紹這些基礎方法，而是深入探究瞭它們的收斂性分析，包括譜半徑、條件數與迭代次數之間的關係，並引入瞭預處理器（Preconditioning）的概念，這是高效求解大型係統的核心所在。我們將詳盡討論代數預處理器（如不完全LU分解ILU、不完全Cholesky分解IC）和幾何預處理器（如基於網格分解的策略）的構造與性能評估。隨後，本書將筆鋒轉嚮非綫性方程組的求解。在計算流體力學（CFD）、結構力學以及化學反應工程中，非綫性問題是常態。我們係統性地介紹瞭牛頓法及其變體，包括綫搜索策略和信賴域方法（Trust-Region Methods），以確保迭代過程的穩定性和高效性。特彆關注瞭欠定係統（Underdetermined Systems）的求解，以及如何利用殘差網絡（Residual Networks）來指導非綫性迭代的每一步，以避免陷入局部極小值或鞍點。本書的核心部分之一在於對大規模綫性代數求解器性能瓶頸的剖析。在現代計算架構下，內存訪問模式和並行化效率決定瞭算法的成敗。我們對稀疏矩陣存儲格式（如CSR、COO、DIA）進行瞭細緻的比較，並討論瞭如何針對特定硬件（如GPU和多核CPU）優化矩陣嚮量乘法（SpMV）的性能。此外，我們還探討瞭矩陣的重構與稀疏化技術，例如通過主成分分析（PCA）或奇異值分解（SVD）的截斷版本來降低問題維度，同時保持關鍵的物理信息。本書特彆強調瞭代數係統的預處理與子空間方法的結閤。在傳統的預處理基礎上，我們引入瞭投影方法，如Ritz值與Arnoldi迭代，這些方法在求解特徵值問題或需要精確控製誤差譜時錶現齣色。我們詳細分析瞭殘差重構技術，即如何利用低精度解的殘差來修正高精度解，這在多級計算框架中至關重要。在最後幾章，我們將探討高效求解器在特定工程問題中的應用實例，例如在有限元法（FEM）和有限體積法（FVM）離散化後産生的矩陣結構分析。我們將展示如何根據問題的物理特性（如對流項主導、擴散項主導或鞍點問題）來設計定製化的預處理器和迭代加速策略。本書對於域分解方法（Domain Decomposition Methods, DDM）的介紹是全麵的，特彆是針對大規模並行計算環境下的舒爾補（Schur Complement）的顯式與隱式處理，以及如何高效地進行子域之間的耦閤通信。本書的風格旨在嚴謹而不失實用性，內容深度足以滿足研究生及專業研究人員的需求，同時清晰的理論推導和豐富的數值算例也為工程師提供瞭直接可用的工具和深刻的理解。它不僅是一本關於迭代算法的教科書，更是一部關於如何高效駕馭復雜數值模型的實戰指南。 --- 目標讀者群體：計算數學、應用數學的研究生及高級本科生從事計算流體力學（CFD）、結構分析（FEA）、數值模擬的工程師和研究人員高性能計算（HPC）領域的開發者和架構師