Lectures on Hermite and Laguerre Expansions pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:

作者:Thangavelu, Sundaram

出品人:

页数:214

译者:

出版时间:1993-4

价格:$ 76.28

装帧:

isbn号码:9780691000480

丛书系列:

图书标签:

• Hermite polynomials
• Laguerre polynomials
• orthogonal polynomials
• special functions
• approximation theory
• numerical analysis
• mathematical physics
• quantum mechanics
• spectral methods
• function approximation

专题研讨：正交多项式在微分方程与积分变换中的应用 图书导读： 本书旨在深入探讨现代数学物理中，正交多项式展开理论如何作为一种强大的分析工具，在解决特定类型的微分方程、积分方程以及处理特殊函数表示方面所扮演的核心角色。我们聚焦于那些源自经典物理模型（如量子力学、热传导、振动理论）的数学结构，并系统地梳理了基于这些背景下产生的特定正交系——例如，勒让德（Legendre）、切比雪夫（Chebyshev）、贝塞尔（Bessel）以及更一般的雅可比（Jacobi）多项式族——在函数逼近、谱方法和散射理论中的具体应用路径。 本书的结构设计，首先从正交多项式的基本性质和定义出发，回顾它们的递推关系、生成函数、以及微分方程，为后续的深入分析奠定坚实的理论基础。我们将详细阐述正交性如何转化为离散化和谱展开的基础，特别关注如何在有限维度空间内精确地重构或近似复杂的物理场。 第一部分：经典正交系及其谱理论基础 本部分将专注于最常用、理论最完备的正交多项式家族。 第一章：勒让德多项式与球谐函数展开 我们从勒让德多项式 $P_n(x)$ 开始，探讨它们在区间 $[-1, 1]$ 上的正交性，以及它们如何自然地出现在球坐标系下的拉普拉斯方程的角向分离变量中。重点讨论球谐函数（Spherical Harmonics）的构造、正交性（在球面上的积分定义），以及它们在角动量理论、静电学和电磁场理论中的应用。分析如何利用这些展开来求解边界值问题，特别是对具有球对称边界条件的势阱或电势分布进行展开。同时，将介绍使用勒让德级数进行函数的高精度逼近和积分的数值技巧。 第二章：切比雪夫多项式的优化逼近理论 切比雪夫多项式，分为第一类 $T_n(x)$ 和第二类 $U_n(x)$，因其在等距节点上的最优内插性质而占据特殊地位。本章将深入研究它们的等距节点分布特性，并将其与最小最大误差（Minimax Approximation）理论联系起来。我们将详细分析这些多项式如何被用于优化数值积分中的高斯-切比雪夫求积公式，以及在数字信号处理（如滤波器设计）中构建低失真逼近的方法。讨论其与傅立叶级数的内在联系，特别是当变量通过三角代换联系起来时，切比雪夫展开如何提供比标准泰勒级数更优的全局收敛性。 第三章：雅可比多项式族与广义傅立叶分析 雅可比多项式 $P_n^{(alpha, eta)}(x)$ 是一个更一般的家族，它囊括了勒让德、切比雪夫多项式作为特例。本章将构建基于特定权重函数 $w(x) = (1-x)^alpha (1+x)^eta$ 的正交系统。重点分析该系统在解决具有奇点边界条件的微分方程中的优越性，例如在有限区间的非均匀网格划分。我们将展示如何通过参数 $alpha$ 和 $eta$ 的选择，将分析工具精确地适配到诸如超几何微分方程或特定类型的边界层问题上。 第二部分：特殊应用与现代方法论 本部分将理论与实际问题更紧密地结合，探讨正交多项式在更前沿的计算方法中的角色。 第四章：正交多项式在谱方法中的实现 谱方法（Spectral Methods）是基于高精度函数展开来求解偏微分方程（PDEs）的核心技术。本章详述如何利用正交多项式基函数（如拉盖尔、赫米特或勒让德基）将高维 PDE 转化为一个耦合的常微分方程组，这一过程被称为谱配置法或谱配点法。我们将分析选择特定正交多项式基（例如，在无限域问题中使用赫米特多项式，在半无限域问题中使用拉盖尔多项式）的物理和数学动机。重点讨论刚性问题（Stiffness Issues）以及如何通过使用微分算子的对角化矩阵表示（Chebyshev–Galerkin 方法）来有效处理高频分量，从而实现远超有限差分法的精度。 第五章：积分变换、核函数与生成函数在解析中的角色 正交多项式通常与其对应的积分变换紧密相关。本章探索生成函数（Generating Functions）如何作为一种紧凑的符号表示法，用于推导多项式之间的恒等式和微分关系。我们还将讨论与这些多项式相关的特殊积分核，例如在卷积结构和相关性分析中出现的核函数。具体分析如拉普拉斯逆变换中，涉及到特定正交多项式的积分形式如何简化为更容易处理的解析表达式，这在概率论和随机过程的解中至关重要。 第六章：量子力学中的非正交基与量子信息视角 虽然本书核心聚焦于正交系统，但本章将拓宽视野，探讨在处理复杂量子系统（如有限维希尔伯特空间或非厄米系统）时，如何利用双正交多项式（Biorthogonal Polynomials）的概念。我们将分析非厄米系统中的左本征函数和右本征函数如何构成一组双正交基，并解释这种结构如何影响粒子演化和状态演化中的能量谱分析。这部分内容将侧重于如何用广义的展开方法来处理那些在标准薛定谔方程框架下难以处理的物理模型。 总结： 本书为对数学物理、计算科学和高级应用分析感兴趣的研究人员和研究生提供了一个深入的参考框架。它不仅重申了经典正交多项式理论的强大基础，更展示了它们在现代谱方法、数值积分优化以及处理复杂微分方程中的不可替代的工具价值。通过对不同正交系的内在联系和特性的精细剖析，读者将能够根据具体问题的物理背景，选择并实施最高效的函数展开策略。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

这本书的内容深度和广度，让我感觉它不仅仅是一本关于“展开”的教材，更像是对特定数学物理领域思维方式的一次系统化训练。它没有局限于理论的陈述，而是通过引入一系列历史上的关键问题和研究瓶颈，展示了这些特殊函数展开在实际分析中所扮演的“救火队长”角色。书中涉及的案例分析，虽然篇幅不长，但其选择的典型性极强，几乎涵盖了应用层面中最具挑战性的那部分场景。阅读这些部分，我体验到了一种从纯粹的数学抽象中回溯到具体物理或工程问题的过程，这是一种非常宝贵的体验，它教会了我们如何将理论工具冶炼成解决实际问题的锋利武器，而非仅仅是纸面上的漂亮公式集合。这种理论与实践的紧密结合，使得全书的阅读价值得到了几何级的提升。

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版和符号系统给我留下了深刻的印象，它展示了一种极高水准的学术规范性。数学符号的使用极其一致和规范，比如在涉及无穷级数和积分的收敛性讨论中，变量的上下标、希腊字母的选择，都严格遵循了领域内的惯例，这极大地减少了阅读歧义。此外，章节之间的交叉引用设计得非常巧妙，当一个概念在后续章节中被再次调用时，索引标注精准而清晰，使得读者在回顾或前后对照时，能够迅速定位到源头定义，而无需费力地在全书中进行大海捞针式的搜索。这种对细节的关注，间接体现了作者和编辑团队对学术交流严谨性的高度重视，让复杂的阅读过程因此变得流畅和高效，减少了因符号混乱而产生的心智负担。

评分☆☆☆☆☆

这本书在数学分析的严谨性上达到了一个令人称赞的高度，它处理问题的方式非常“硬核”，毫不含糊。不同于某些入门级教材为了降低难度而进行的过度简化，本书似乎将读者定位为已经具备扎实微积分基础的研究生或高级爱好者。它在证明过程中毫不避讳地使用了高等代数和泛函分析中的深刻工具，并且在引用这些工具时，通常会给出简短的上下文提醒，确保读者不会在跨领域的概念交汇处迷失方向。这种对数学深度的坚持，使得这本书真正成为了一个深入理解这些特殊函数展开理论的坚实基石。对于那些希望跳出表面应用，直击理论核心的读者来说，这本书提供的视角是极其宝贵且不可替代的，它不提供捷径，而是提供了一条通往理解本质的康庄大道。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧设计着实令人眼前一亮，从封面到内页的排版，都透露出一种经典而严谨的气质。纸张的选择上，那种略带米黄色的质感，不仅保护了视力，更让人在翻阅时有一种沉甸甸的、面对学术经典的敬畏感。尤其是字体和行距的安排，极其考究，使得原本复杂的数学公式和定理推导，在视觉上得到了极大的舒缓，即便是初次接触这类高级分析主题的读者，也能感受到一种被引导的舒适感。装帧的细节处理，比如书脊的牢固程度，以及烫金字体的清晰度，都体现了出版社在制作高水平学术著作上的匠心。这种对物理实体的重视，无疑提升了阅读体验的整体格调，让人愿意将它长期珍藏在书架之上，而非仅仅视为一个临时参考的工具书。我个人非常欣赏这种对书籍作为“物品”本身的尊重，这在快速迭代的电子阅读时代显得尤为珍贵。这本书拿在手里，感觉就像握住了一把开启知识殿堂的钥匙，那种触感和分量，是屏幕无法替代的。

评分☆☆☆☆☆

阅读这本书的过程，犹如跟随一位技艺精湛的匠人，步入一个精密、有序却又充满无限可能性的几何迷宫。作者的叙事逻辑不是那种线性、教科书式的推演，它更像是层层剥茧，将一个宏大理论体系，通过一系列精心构造的引理和案例，逐步展现在读者面前。我尤其欣赏它在引入新概念时所采用的“动机先行”的策略，即在给出严苛的定义之前，作者会先铺陈出为什么需要这个工具，它能解决什么现有方法无法触及的问题。这种“知其所以然”的教学方式，极大地增强了理论的生命力和说服力，而不是单纯地堆砌公式。在处理一些关键的证明环节时，作者的处理方式可谓是干净利落，没有过多冗余的赘述，每一个步骤都像建筑结构中的承重梁一样，稳固且不可或缺，让人在跟随推导时，心弦能够紧绷而又不至于断裂。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆