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出版者:

作者:Sloan, I. H./ Joe, S.

出品人:

页数:252

译者:

出版时间:1994-1

价格:$ 146.90

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isbn号码:9780198534723

丛书系列:

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• 数值积分
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• 高维积分

数值积分：从经典理论到前沿应用 深入理解高维积分的挑战与机遇 本书旨在为读者提供一个全面而深入的视角，探讨在复杂数学模型和实际工程问题中遇到的多重积分难题。重点聚焦于那些传统解析方法难以奏效的、具有高维特性或奇异性的积分区域。我们不局限于单一的数值积分技术，而是构建了一个涵盖经典理论基石到现代优化算法的知识体系，旨在赋能研究人员和工程师设计出更精确、更高效的计算方案。 本书的出发点在于认识到，现代科学研究，无论是物理模拟、金融建模、概率统计还是数据分析，都离不开对多重积分的准确求解。然而，随着维度（变量个数）的增加，积分的难度呈指数级增长，这被称为“维度灾难”。因此，本书的核心目标是系统性地剖析如何有效地对抗这种灾难，并将其转化为可控的计算任务。 --- 第一部分：积分的理论基础与误差分析 在深入技术细节之前，我们首先需要夯实理论基础。本部分将重新审视黎曼积分与勒贝格积分的现代诠释，并将其与数值方法建立清晰的联系。 1.1 积分的几何与拓扑意义 我们首先探讨高维空间中积分区域的拓扑结构对其计算复杂性的影响。从简单的矩形区域到复杂的、具有自相似结构的弗拉克塔区域，积分的边界特性如何决定了我们需要采用的采样策略。 1.2 误差的量化与控制 数值积分的本质是逼近，因此误差分析至关重要。本章详细介绍了截断误差（Truncation Error）和舍入误差（Round-off Error）的来源及其相互作用。我们将详细推导和比较不同积分方法（如牛顿-柯特斯公式、高斯求积）的余项表达式，并引入局部和全局误差估计的现代技术，包括如何根据计算预算动态调整步长或采样密度以满足预设的精度要求。 1.3 权函数与内积空间 在高维问题中，权重函数的选择往往比积分节点本身更具决定性。本节将介绍正交多项式理论在数值积分中的核心地位，特别是勒让德、拉盖尔和厄米特多项式的构造及其在特定概率密度函数下的最优性。读者将了解到，如何将复杂的积分问题转化为在特定函数空间上的正交投影问题。 --- 第二部分：确定性数值积分方法 本部分聚焦于那些基于函数结构进行系统性采样的确定性方法。这些方法在积分函数光滑且区域结构清晰时表现卓越。 2.1 经典插值型求积公式的推广 我们从一维的梯形法则和辛普森法则出发，系统地探讨如何将其推广至高维。重点分析了张量积方法（Tensor Product Methods）的优势与局限性。读者将学会如何通过分析函数的混合偏导数来预测张量积方法的效率瓶颈。 2.2 高效的区域划分与自适应策略 当积分区域的某些部分需要高精度而其他部分只需要粗略近似时，自适应（Adaptive Quadrature）技术成为关键。本章详细介绍了基于误差估计的区域细分算法，包括四叉树和八叉树结构在多维域划分中的应用，以及如何设计高效的“放弃”准则以避免不必要的计算。 2.3 稀疏网格与准蒙特卡洛方法 针对维度灾难，确定性方法也发展出突破性的稀疏化技术。本章将深入讲解如何构建最优的低异方差（Low Discrepancy Sequences），如Sobol序列、Halton序列和Faure序列。我们将分析这些准蒙特卡洛点集如何通过更均匀地覆盖积分域来降低积分误差，特别是在涉及高维积分的微分方程求解中。 --- 第三部分：概率论方法与随机积分 随机方法（Monte Carlo Integration）因其对维度不敏感的特性，成为解决超高维积分问题的首选工具。本部分将重点阐述随机方法的理论深度和高级应用技巧。 3.1 基本蒙特卡洛理论与收敛性 重新审视大数定律和中心极限定理在积分估计中的应用。本书强调理解随机积分的收敛速度（$mathcal{O}(1/sqrt{N})$）的本质，以及何时这种速度足以满足工程需求。 3.2 方差缩减技术（Variance Reduction Techniques） 随机积分的效率完全取决于方差。本章是本书的亮点之一，详细介绍了一系列经过实战检验的方差缩减技术： 重要性采样（Importance Sampling）： 如何根据被积函数的形状来设计最优的采样分布，并详细分析其在贝叶斯推断中的关键作用。 控制变量法（Control Variates）： 利用已知积分的随机变量来修正估计值。 分层采样（Stratified Sampling）： 通过预先划分域并保证各层都有代表性样本，从而提高整体精度。 俄罗斯轮盘（Russian Roulette）与重要性权重（Weighting Schemes） 在复杂模拟环境中的实际操作。 3.3 马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）方法 当采样分布难以直接构造，而积分本身涉及复杂的后验分布时，MCMC方法成为必需。本书将聚焦于Metropolis-Hastings算法和Gibbs采样，不仅介绍其原理，更侧重于如何诊断收敛性、混合速度，以及如何选择合适的步长和提议分布以确保高效采样。 --- 第四部分：特定领域的积分挑战 本部分将理论与实际应用相结合，探讨在特定科学计算领域中遇到的复杂积分案例。 4.1 积分在金融衍生品定价中的应用 在期权定价和风险管理中，涉及多因子随机过程的积分是常态。我们将分析如何利用快速傅里叶变换（FFT）技术结合随机方法来加速某些特定形式（如欧式期权）的积分计算，即FFT-based定价方法。 4.2 积分在物理模拟与数值线性代数中的角色 探讨在有限元方法（FEM）和边界元方法（BEM）中，积分如何用于计算刚度矩阵和质量矩阵。重点分析奇异积分的正则化技术，以及如何利用解析知识来预处理积分核，从而提高数值求解的稳定性。 4.3 积分在机器学习中的隐性作用 讨论在贝叶斯机器学习模型中，证据下界（Evidence Lower Bound, ELBO）的计算往往需要对复杂的概率密度函数进行积分。我们将展示如何应用高级的MCMC或变分推断（Variational Inference）技术来近似这些关键的边缘化积分。 --- 结语与展望 本书力求提供一个完整的工具箱，使用户能够根据问题的维度、被积函数的特性和所需的精度，灵活选择和组合最合适的数值积分策略。通过对确定性与随机方法的深入对比和融合，我们期望读者能掌握超越单一技术范畴的综合分析能力，为未来的高维计算挑战做好准备。

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这本书的写作风格非常严谨，但又不失启发性，如同一个经验丰富的老教授在耐心地为你拆解一个复杂的难题。与其他专注于单一方法的教材不同，《Lattice Methods for Multiple Integration》采取了一种宏观的、系统性的视角。它不仅仅关注于“如何做”，更着重于“为什么这样做最有效”。例如，它用一整章的篇幅来剖析不同积分区域的几何形状如何影响格点分布的效率，这在其他教科书中是极为罕见的。我发现作者们对应用背景的理解非常深刻，他们提供的案例研究，例如在求解高维随机微分方程（SDEs）中的期望值计算，都非常贴合当前研究的前沿热点。虽然对于完全没有接触过数值分析的读者来说，开篇的概率论和测度论回顾可能需要一些时间消化，但一旦跨过这个门槛，后续章节的阅读体验将是极其顺畅且收获颇丰的。对于希望将理论深入应用于前沿科学计算的读者，这本书是不可或缺的深度参考。

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作为一名长期从事计算金融建模的研究人员，我关注的重点往往是方法的稳定性、计算速度和可并行性。在这本书中，我找到了许多关于这些实际问题的深刻洞察。特别是关于准蒙特卡洛（QMC）方法在处理非光滑函数积分时的稳健性分析，让我对未来工作有了新的方向。作者不仅展示了如何利用特定类型的点集（如Scrambled Sobol）来增强积分的均匀性，还详细介绍了如何设计并行计算架构来最大化格点方法在多核处理器上的效率。书中有一部分内容专门讨论了如何在动态系统中应用这些静态的格点方法，通过时间步长的调整和格点重构，保持积分的精度。这对于需要进行大规模、长时间序列模拟的应用场景来说，具有极高的参考价值。总的来说，这本书的深度和广度，使其成为高等数值计算领域的一部里程碑式的著作，是工具箱中必不可少的重型装备。

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初次翻开这本专著时，我带着一丝怀疑，毕竟关于数值积分的书籍市场已经相当饱和。然而，这本书很快就以其对“准确定性分析”的强调，让我刮目相看。它没有满足于给出近似解，而是深入探讨了误差边界的严格控制和估计。作者团队显然在计算误差分析方面投入了大量的精力，书中关于蒙特卡洛方法（MC）与更精细的数值网格方法（Lattice Methods）在误差收敛率上的对比分析，清晰地揭示了在特定函数族上，后者如何能以更少的样本点达到更高的精度。特别是书中关于稀疏网格技术的介绍，简直是一场思维的革命。它颠覆了我过去对传统笛卡尔网格划分的刻板印象，展示了一种如何在保持计算可行性的前提下，将计算资源集中到积分区域内“关键”地带的高级策略。这种对精度和效率双重追求的态度，使得这本书的价值远远超出了单纯的“方法介绍”，更像是一部关于如何设计最优数值实验的哲学指南。

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这本《Lattice Methods for Multiple Integration》在我看来，简直是为那些在多重积分计算中挣扎的工程师和科学家们量身定做的一剂强心针。书中的章节结构安排得非常巧妙，从最基础的格点选择原理讲起，逐步深入到高维空间中的高效采样策略。我尤其欣赏作者在处理维度灾难问题上的独到见解，他们没有仅仅停留在理论的阐述，而是花了大量篇幅介绍了几种现代优化算法，这些算法对于实际工程应用中处理那些维度高达十几甚至几十的积分问题，提供了切实可行的解决方案。书中对准随机数（quasi-random numbers）的讨论极为细致，不仅对比了Sobol序列、Halton序列等主流方法的优劣，还结合实际算例展示了它们在收敛速度上的巨大提升。对于初学者来说，尽管部分数学推导可能略显艰深，但书后附带的那些详尽的伪代码和实际编程实现建议，足以帮助读者将理论知识快速转化为解决实际问题的工具。这本书绝对不仅仅是一本参考书，更像是一本实战手册，强烈推荐给所有从事计算物理、金融工程以及复杂系统模拟的同仁们。

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坦白说，这本书的排版和图表质量确实一流，这对于理解那些涉及高维几何和点集分布的抽象概念至关重要。我特别喜欢书中大量的可视化图例，它们不是那种为了美观而存在的插图，而是真正服务于解释核心思想的工具。例如，展示不同类型格点在二维和三维空间中的覆盖模式时，那些精心制作的插图，比长篇累牍的文字描述更能让人一目了然地领会其优劣所在。而且，作者在讨论计算复杂性时，用了很多清晰的渐近分析图表，这使得我们可以直观地比较 $O(N^{-1})$ 和 $O(N^{-2})$ 这种差异在实际计算量上的巨大鸿沟。唯一让我感到略有不足的是，也许是受限于篇幅，对于某些新兴的、基于机器学习的积分方法，虽然有所提及，但挖掘的深度不如对传统格点方法来得透彻。不过，作为一本聚焦于经典且高效的“格子”方法的专著，它的主要目标已经完美达成了。

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