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出版者:Pearson Custom Publishing

作者:Margaret L. Lial

出品人:

页数:556

译者:

出版时间:2009

价格:0

装帧:

isbn号码:9780558332327

丛书系列:

图书标签:

• 数学基础
• 大学数学
• 代数
• 三角学
• 几何
• 微积分预备
• 函数
• 图表
• 数学技能
• 高等教育

图书：《微积分的奥秘：从极限到微分方程的探索之旅》 作者： 艾伦·格林伯格 (Alan Greenberg) 出版社： 普林斯顿大学出版社 页数： 约 750 页 核心定位： 本书旨在为对数学充满好奇心、希望深入理解微积分核心概念及其在科学、工程和经济学中实际应用的读者提供一份全面而富有洞察力的指南。它不仅仅是一本教科书，更是一场关于变化、积累与无穷的思维冒险。 --- 第一部分：极限与连续性——运动的根基 本书的第一部分奠定了微积分的严格基础，深入探讨了极限的概念，这是理解变化率和面积累积的基石。我们没有停留在直观的理解上，而是通过严谨的 $epsilon-delta$ 语言，剖析了极限的精确定义及其性质。 第一章：预备知识与集合论回顾 本章首先回顾了必要的代数、三角函数和函数理论知识，重点引入了实数系统的完备性，这是微积分逻辑结构的关键。讨论了单调性、有界性以及函数图像的几何解释。 第二章：序列的极限 我们从离散的序列出发，探讨了当项数趋于无穷大时，序列的收敛行为。详细分析了柯西准则、子序列收敛定理以及级数收敛的基本判别法（比值检验、根值检验等）。特别关注了自然常数 $e$ 作为特定极限的构建过程。 第三章：函数的极限与连续性 这是微积分的真正起点。我们详细区分了单侧极限与双侧极限。随后，我们将极限概念扩展到函数上。关键章节深入探讨了函数连续性的严格定义，并阐述了诸如介值定理（Intermediate Value Theorem）和极值定理（Extreme Value Theorem）等重要结论的证明及其在现实问题中的应用，例如证明某些方程根的存在性。 第四章：无穷远的极限与渐近行为 本章关注当输入 $x$ 趋向于无穷大，或函数在特定点趋向于无穷大（垂直渐近线）时的行为。引入了“大 O 记号”和“小 o 记号”的严格定义，为后续分析函数在极端条件下的行为提供了工具。 --- 第二部分：微分学——瞬时变化的度量 微分学关注的是函数在某一点的变化率，即切线的斜率。本部分将直观的“斜率”概念提升为严谨的导数定义，并系统地梳理了求解导数的工具箱。 第五章：导数的定义与几何意义 通过平均变化率引出瞬时变化率的极限定义。深入讨论了导数作为切线斜率的几何解释，并首次引入了物理学中的速度和加速度的概念，作为导数的直接应用。 第六章：导数的计算规则 本章是计算的基石。系统推导并应用了加减乘除、乘积法则和商数法则。随后，重点阐述了复合函数的导数——链式法则（The Chain Rule），并强调其在多变量函数构建中的重要性。反函数、幂函数和指数函数的求导规则也被完整涵盖。 第七章：超越基本函数：三角函数与隐函数 本章扩展了导数的应用范围。我们详细计算了所有六个基本三角函数的导数，并利用洛必达法则（L'Hôpital's Rule）解决了涉及 $frac{0}{0}$ 或 $frac{infty}{infty}$ 型不定式的极限问题。隐函数求导技术被引入，以处理如圆方程等非显式表示的函数。 第八章：导数的应用：优化与相关变化率 这一章是理论与实践结合的典范。我们利用一阶导数判断函数的单调性与极值（局部最大值/最小值），并利用二阶导数分析函数的凹凸性与拐点，从而能够完整描绘函数的形状。相关变化率（Related Rates）问题，例如水箱注水速率、运动物体之间的距离变化等，通过结构化的解题步骤进行详尽讲解。 第九章：微分与线性近似 引入微分 $dx$ 和 $dy$ 的概念，并解释它们与导数的关系。重点展示了微分在函数值近似估计中的强大作用，即线性化近似。 --- 第三部分：积分学——累积与面积的艺术 积分学是与微分学相对立的概念，关注的是函数曲线下的面积、体积或总累积量。本部分将引入黎曼和，并建立牛顿-莱布尼茨微积分基本定理。 第十章：黎曼和与定积分的定义 本章详细介绍了黎曼和的概念，即用一系列矩形逼近曲线下面积的过程。我们严格定义了定积分，并讨论了积分存在的条件。分析了积分的线性性质和区间加法性质。 第十一章：微积分基本定理 这是整个微积分的“皇冠上的宝石”。本章分为两部分：第一部分展示了导数如何用于证明定积分的牛顿-莱布尼茨公式；第二部分探讨了积分定义的函数（变上限积分）的求导性质。我们通过严格的证明展示了微分和积分之间的深刻互逆关系。 第十二章：不定积分与基本积分技巧 系统地列出了基本函数的反导数（不定积分）。重点教授了三种核心积分技巧： 1. 换元积分法（Substitution Rule）： 强调其与链式法则的对应关系。 2. 三角代换法（Trigonometric Substitution）： 针对 $sqrt{a^2-x^2}$ 等形式的积分。 3. 分部积分法（Integration by Parts）： 基于乘积法则的逆向应用，详细分析了选择 $u$ 和 $dv$ 的策略。 第十三章：积分的应用 本章展示了定积分在几何和物理中的广泛应用：计算平面区域的面积、体积（圆盘法、薄壳法、截面法）、曲线的弧长，以及重心和质心计算。 --- 第四部分：超越基础——超越函数与数值方法 本书最后一部分扩展了微积分的应用范围，纳入了更复杂的函数类型和处理实际问题的数值工具。 第十四章：超越函数：指数、对数与反三角函数 详细推导并研究了自然对数函数 $ln(x)$（基于积分定义）和指数函数 $e^x$ 的性质。系统地计算了它们及其复合函数的导数和积分。对所有六个反三角函数进行了几何解释、定义域/值域分析以及求导。 第十五章：积分技巧进阶 引入了更高级的积分方法： 1. 三角函数的积分： 专注于利用三角恒等式简化高次幂的三角函数积分。 2. 三角函数反代换： 用于处理所有形式的二次根式。 3. 部分分式分解法（Partial Fraction Decomposition）： 用于有理函数的积分，这是本领域最复杂但最强大的代数工具之一。 第十六章：积分的广义应用 探讨了反常积分（Improper Integrals），即积分区间包含无穷大或函数不连续点的情况。我们使用极限的观点来评估这些积分的收敛性，并探讨了其在概率论中的应用潜力。 第十七章：序列与级数入门 本章作为向更高阶数学过渡的桥梁，引入了泰勒级数和麦克劳林级数。详细解释了如何利用幂级数表示复杂的函数，并讨论了级数的收敛半径和收敛区间，为函数逼近和数值分析奠定基础。 --- 本书特色 本书的叙事结构清晰，从严谨的分析基础出发，逐步引入强大的计算工具，最终展示其在解决实际工程、物理和经济问题时的威力。每一章节都包含大量的例题和应用型习题，旨在培养读者独立建模和解决问题的能力，而非仅仅是机械地应用公式。特别地，本书强调了几何直觉与分析严谨性的结合，确保读者不仅“知道如何做”，更理解“为什么这样做”。

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这本书的逻辑组织方式是我阅读过的所有教材中最为流畅的一本。作者似乎非常清楚一个初学者大脑处理信息的能力极限，因此，每一章的内容展开都像一个精心编排的交响乐章。章节间的过渡极其自然，前一章的结论总是能无缝衔接到下一章的引入点，几乎没有生硬的跳跃感。这种高水平的结构设计，使得自学变得异常可行。我个人偏爱在深夜安静时阅读，而这本教材的字体和留白处理得非常人性化，长时间阅读下来眼睛不容易疲劳，这对于需要攻克大量章节的读者来说，简直是福音。更让我感到惊喜的是，书后附带的附录部分，它没有简单地堆砌公式表，而是提供了一个详细的“常见错误汇总”和“概念辨析指南”，这些内容往往是教师在上课时反复强调却在正文容易被忽略的细节。它相当于一个经验丰富的导师在你身边，提前帮你指出那些“陷阱”，让我能够有针对性地复习和巩固，极大地提高了学习效率。

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说实话，我原本以为这种“基础”的教材会充斥着大量过时的内容和枯燥的练习册式排版，但《Fundamentals of College Mathematics》彻底颠覆了我的认知。它的现代感体现在对不同学科交叉应用的重视上。书中大量引入了金融数学、数据分析的初步概念，甚至还涉及到了基础的离散数学思维，这使得学习过程充满了现实意义。例如，它讲解概率论时，不仅仅停留在抛硬币和掷骰子的老套路上，而是结合了市场调研中的小样本分析，让我第一次意识到，原来数学不仅仅是试卷上的题目，它就是我们生活中的决策依据。这种前瞻性的内容布局，极大地激发了我对应用数学的兴趣。而且，这本书在数字化学习方面也做得很好，我注意到书页侧边经常有二维码或者特定的网址引导，这些链接指向的都是互动式的模拟工具或者更深入的扩展阅读材料，极大地丰富了学习的维度，不再局限于纸面。对于习惯了多媒体学习的当代学生来说，这种线上线下的结合点是极其宝贵的。

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这本《Fundamentals of College Mathematics》的封面设计着实吸引人，那种沉稳的深蓝色调配上简洁的白色字体，给人的感觉就是内容会非常扎实可靠。我原本对大学数学的基础课程总是抱持着一种敬畏甚至有点抗拒的态度，总觉得那些抽象的概念和复杂的公式会把我绕晕。然而，翻开这本书的第一章，我就被它清晰的逻辑和循序渐进的讲解方式给征服了。它没有一上来就扔出那些让人望而生畏的定理，而是用大量贴近生活的例子来引入概念，比如讲解函数的时候，会用“时间与距离”的关系来建立直观的理解。这种教学法极大地降低了我的学习门槛，让我觉得数学不再是高高在上的理论，而是解决实际问题的工具。书中的习题设计也很有层次感，从基础的巩固练习到需要深入思考的应用题，难度提升得非常自然，让人在不断解决问题的过程中建立起强大的自信心。尤其值得称赞的是，作者在处理那些容易混淆的知识点时，总能用非常巧妙的比喻或者图示来帮助我们区分，避免了许多初学者常犯的错误。这本书的排版清晰，重点突出，即便是需要查找特定公式时也毫不费力，可以说，它是我开启大学数学学习之旅的最佳向导，让我对后续更深入的学习充满了期待。

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我对这本书的评价，最终会落在其“普适性”上。它成功地在“严谨”和“易懂”之间找到了一个绝佳的平衡点，使得它不仅适合那些未来打算深入研究数学或科学工程专业的学生，也同样适用于需要满足通识教育要求的非理工科学生。对于后者，这本书提供的数学思维训练，远比记住几个公式更有价值。它教会你如何进行逻辑推理、如何抽象问题并建立模型，这些能力是跨学科的宝贵财富。我发现，即使是那些我一开始觉得最晦涩难懂的部分，比如向量空间的几何意义，通过书中的三维立体图解和逐步分解的代数推导，最终也能清晰地掌握。这本书的处理方式是：先建立直觉（几何或应用），再固化理解（代数证明），最后拓宽视野（更高维度的应用或引申）。这种递进式的教学路径，使得即便是学习动机不强的读者，也能在不知不觉中被引导到知识的制高点。它不仅仅是一本教科书，更像是一套完整的、经过时间检验的数学素养培养方案。

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我得说，这本书的讲解风格简直就像一位耐心又不失幽默的大学教授在面对面指导你。它最成功的地方在于，它没有把所有的数学知识点都当作既定的事实来灌输，而是引导你去思考“为什么会是这样？”每一个证明和推导过程都详略得当，既保证了严谨性，又不会因为过度冗长而让人失去耐心。举个例子，在介绍微积分的基本概念时，它用了好几页篇幅来阐述“极限”这个核心思想是如何从古希腊的 Zeno 悖论中逐渐演化出来的，这种历史的纵深感让知识的获得不再是孤立的，而是承载着人类思维发展的脉络。我发现，当我对一个数学概念的“来龙去脉”有了更深的理解后，记忆和应用都变得轻松许多。书中穿插的“历史小知识”和“数学家轶事”也让人在紧张的学习之余得到片刻的放松，增添了不少趣味性。这本书的难度设置可能对于已经有扎实高中基础的同学来说，初期会觉得偏易，但请相信我，正是这种打地基的过程，才确保你在后面面对更复杂的多元函数或者线性代数时，能够站得稳。它的目标不是让你炫技，而是让你真正“懂”数学，这一点，我非常欣赏。

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