Algèbre MPSI - Cours et 700 exercices corrigés pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Dunod

作者:Jean-Marie Monier

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2003-06-26

价格:0

装帧:Paperback

isbn号码:9782100079438

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《数学分析基础：从概念到应用》 第一部分：微积分的根基——实数系统与函数 本书旨在为读者构建坚实的数学分析基础，涵盖从最基础的实数系统到高等微积分概念的应用。我们将从实数集的完备性出发，深入探讨序列的收敛性、极限的定义及其性质，这是理解整个微积分体系的基石。 第一章：实数系统与拓扑结构 1.1 实数集的构造与性质： 考察有理数集的局限性，引入无理数的概念。详细讨论实数集的有序性、阿基米德性以及笛卡尔积的构建。 1.2 完备性原理： 深入阐述上确界（Supremum）和下确界（Infimum）的概念，并用柯西收敛准则（Cauchy Criterion）证明实数集的完备性。这是分析学区别于代数的基础。 1.3 拓扑初步： 在实数线上引入邻域（Neighborhood）的概念，定义开集（Open Sets）和闭集（Closed Sets）。探讨点集拓扑在 $mathbb{R}$ 上的具体表现，如聚点（Accumulation Points）和极限点（Limit Points）。 1.4 基本不等式： 详细推导和应用均值不等式（Arithmetic Mean-Geometric Mean Inequality）及其推广形式，为后续的函数分析奠定工具基础。 第二章：序列与级数的收敛性 2.1 序列的极限： 严格定义序列的收敛性 ($epsilon-N$ 语言)。讨论发散的条件以及无穷大（Infinity）的极限。 2.2 单调收敛定理与柯西序列： 证明单调有界序列必收敛，并探讨柯西序列在实数系统中的重要作用。 2.3 子序列与聚点： 引入 Bolzano-Weierstrass 定理，阐述任何有界序列都存在收敛子序列的深刻含义。 2.4 级数理论基础： 定义级数（Series）的概念，区分常数项级数与函数项级数。分析正项级数的敛散性判别法，如比较判别法、比值判别法（Ratio Test）和根值判别法（Root Test）。 2.5 交错级数与绝对收敛： 深入探讨交错级数，证明莱布尼茨判别法（Leibniz Test）。区分条件收敛与绝对收敛，并讨论级数重排对和值的影响。 第二部分：单变量微积分 本部分聚焦于函数极限、导数和定积分的严谨定义与应用，侧重于理解变化率和积累量的数学表达。 第三章：函数极限与连续性 3.1 函数极限的定义： 使用 $epsilon-delta$ 语言精确定义函数的极限，区分左极限和右极限。 3.2 极限的代数性质： 证明极限的四则运算法则，以及极限存在的必要条件。 3.3 连续性： 基于函数极限定义连续性。探讨初等函数的连续性，并证明连续函数在闭区间上的重要性质：有界性（Boundedness）和最值定理（Extreme Value Theorem）。 3.4 一致连续性： 区分点态连续与一致连续性（Uniform Continuity）。通过反例说明紧集（Compact Sets）上的函数性质。 第四章：导数与微分 4.1 导数的定义与几何意义： 引入导数的极限定义，阐释其在几何上表示切线斜率和瞬时变化率的意义。 4.2 微分法则： 系统推导乘法法则、商法则和链式法则（Chain Rule）。特别关注涉及反函数和隐函数的求导。 4.3 中值定理： 详尽分析费马引理（Fermat's Lemma）、罗尔定理（Rolle's Theorem）和拉格朗日中值定理（Mean Value Theorem）。这些定理是分析函数行为的强大工具。 4.4 高阶导数与泰勒展开： 定义二阶及高阶导数。推导柯西中值定理，并在此基础上严格证明泰勒定理（Taylor's Theorem）及其拉格朗日余项和佩亚诺余项。 4.5 导数的应用： 利用导数分析函数的单调性、极值点、凹凸性（Concavity）和拐点。应用洛必达法则（L'Hôpital's Rule）处理未定式极限。 第五章：定积分理论 5.1 黎曼可积性： 介绍定积分的定义——黎曼和（Riemann Sums）。探讨可积函数的充要条件，重点分析连续函数和单调函数的可积性。 5.2 微积分基本定理： 详细论证微积分的“基本定理”（The Fundamental Theorem of Calculus），这是连接微分和积分的桥梁。 5.3 积分的性质与计算技巧： 讨论积分的线性性质、估值不等式（Estimation Inequalities）。系统介绍分部积分法（Integration by Parts）和变量代换法在定积分计算中的应用。 5.4 广义积分（Improper Integrals）： 介绍积分上限或被积函数出现无穷大时的广义积分概念，并讨论其敛散性判据。 第三部分：序列与函数的极限分析 本部分从单变量分析过渡到函数序列和函数项级数，引入一致收敛性的核心概念。 第六章：函数序列与函数项级数 6.1 点收敛与一致收敛： 精确区分点收敛（Pointwise Convergence）和一致收敛（Uniform Convergence）。强调一致收敛在保持拓扑性质方面的重要性。 6.2 一致收敛的判定： 学习魏尔斯特拉斯 M 判别法（Weierstrass M-Test）来判定函数项级数的一致收敛性。 6.3 连续性、可积性与一致收敛： 论证一致收敛序列极限函数的连续性、一致收敛级数的求和函数可积性。 6.4 一致收敛与微分： 讨论在何种条件下可以交换极限运算和微分运算（即交换求导顺序和求和顺序）。 第七章：幂级数 7.1 幂级数的定义与收敛半径： 考察形如 $sum a_n (x-c)^n$ 的级数，利用比值判别法确定收敛半径 $R$。 7.2 幂级数的性质： 证明在收敛区间内，幂级数可以逐项求导和逐项积分，且保持一致收敛性。 7.3 泰勒级数与解析函数： 介绍如何利用泰勒级数表示特定函数（如指数函数、三角函数、对数函数）。探讨解析函数（Analytic Functions）的概念，即局部上可以被幂级数表示的函数。 附录：进阶主题探索 度量空间初步： 简要引入度量空间的抽象概念，将 $mathbb{R}$ 的拓扑结构置于更广阔的背景下。 数值计算方法简介： 讨论牛顿法在求解方程中的迭代过程，并分析其收敛速度。 本书的结构严谨，概念引入清晰，旨在培养读者对数学分析的深刻理解和严谨的逻辑思维能力，为后续学习微分方程、实分析及泛函分析打下坚实的基础。

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关于练习题部分，那700道习题的规模确实令人望而生畏，但一旦你开始动手实践，就会发现这才是这本书真正的价值所在。它们的设计哲学明显是围绕着“深度掌握”而非“广度覆盖”展开的。最初的几组题目相对基础，主要是为了巩固前一节课刚刚学到的定义和基本操作，确保基础盘够稳。然而，随着章节的深入，题目的难度和复杂度呈指数级增长，它们不再是简单地套用公式，而是要求你综合运用前几个章节学到的多种工具去解决一个复杂问题。最令我感到惊喜的是，很多题目都设置在了理论与应用之间的灰色地带，它们巧妙地测试了你对理论深刻性的理解程度。更重要的是，配套的更正部分是极其详尽的——它不仅仅给出了最终答案，而是完整地重现了解决问题的每一步推理路径，甚至会标注出“如果从A角度思考，可能会陷入的误区”，这种亦师亦友的反馈机制，让我在多次卡壳后，每次都能获得巨大的进步感。

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这本书的封面设计有一种经典的法式数学教科书的韵味，简洁而有力，深蓝色的背景配上白色的标题，立刻让人联想到严谨和深度。我是在准备进入高等院校的预科阶段（MPSI）时听人推荐的，当时我对“代数”这个词还抱有一种敬畏之心，毕竟它代表着从高中数学到真正大学数学的巨大飞跃。拿到书的那一刻，最先吸引我的是它厚实的质感，这暗示着内容量绝对是扎实的，不是那种只停留在表面概念的“快餐式”读物。内页的纸张质量也相当不错，在长时间的翻阅和用荧光笔标记后，依然能保持清晰，这对于需要反复钻研的理工科学生来说，是一个非常重要的细节。装帧上看得出是耐用的，预示着它会陪伴我度过整个紧张而关键的预备年。光是这份实体感和视觉上的专业度，就已经给了我极大的信心，让我觉得手中握着的是一把通往更高阶数学殿堂的钥匙，而不是一本普通的练习册。它散发出的那种沉稳的气息，让人在翻开第一页之前，就已经做好了迎接挑战的心理准备。

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这本书的排版和符号使用，是法式数学教材一贯的严谨体现，但对于初次接触的人来说，可能需要一个适应期。整体而言，它给人的感觉是“不妥协的学术性”。没有那些为了迎合初学者而过度简化的插图或花哨的颜色区分，一切都以清晰传达数学思想为最高优先级。字体选择清晰锐利，公式的对齐和结构感极强，这对于阅读长篇的数学推导至关重要，可以有效减少因视觉疲劳或排版混乱带来的阅读障碍。我发现，当我把注意力完全沉浸在书中的逻辑中时，外界的干扰仿佛都消失了，这完全归功于它那种沉静、专业的视觉语言。它要求你投入全部的专注力，回报你的是无可挑剔的逻辑体验。这种对细节的苛求，无疑是培养未来数学家或工程师所必需的思维习惯的绝佳训练场。

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真正开始阅读后，我立刻体会到了其课程部分的精妙之处。作者在引入每一个核心概念时，都展现出一种非凡的洞察力，他们似乎能精确地预判到学生会在哪里感到困惑。叙述的逻辑链条是如此的紧密和连贯，从最基础的群、环、域的定义，到更复杂的线性代数结构，每一步的过渡都自然得像是水到渠成，而不是强行拼接的知识点堆砌。我尤其欣赏它对理论背景的铺陈，它不仅仅是罗列公式，而是深入探讨了为什么需要这种结构，这些抽象概念在数学体系中扮演着怎样的角色。书中对于定理的证明部分，往往会提供不止一种视角，有时候是纯粹的代数推导，有时候则会巧妙地引入几何直觉作为辅助理解，这种多维度的讲解方式极大地拓宽了我的思维边界。对于我这个习惯于“看到图像才能理解抽象”的学习者来说，这种详尽且富有层次的理论阐述，是无可替代的学习资源。

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总而言之，这本书绝不是那种用来在咖啡馆里翻阅、消磨时间的休闲读物。它更像是一副需要你拿出全部心力去雕琢的工具。它要求你主动思考，而不是被动接受。在我看来，它的价值在于提供了一个完整且自洽的MPSI代数学习系统，从理论的基石到应用的前沿，都有清晰的指引。如果你是那种渴望真正理解数学深层结构、不满足于“知道怎么做”而追求“明白为什么这么做”的求知者，那么这本书就是为你量身打造的。它带来的知识深度和解决问题的能力提升，远远超出了单纯的考试准备范畴，它培养的是一种严谨的、结构化的思维方式，这种能力在未来的所有学术和职业生涯中都将是宝贵的财富。这本书，值得反复研读，直到书页泛黄，笔记写满。

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