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出版者:Brooks Cole

作者:Judy Flagg Moran

出品人:

页数:608

译者:

出版时间:2003-06-19

价格:USD 197.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780534362409

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 预微积分
• 高等数学
• 函数
• 三角函数
• 代数
• 解析几何
• 指数与对数
• 数列与级数
• 极限

好的，这是一本关于高等代数与数论导论的图书简介。 --- 高等代数与数论导论 目录概览 第一部分：群论基础与结构 1. 集合、关系与函数回顾 2. 群的定义与基本性质 3. 子群、陪集与拉格朗日定理 4. 正规子群与商群 5. 同态与同构定理 6. 循环群与有限生成群 7. 自由群与群表示 第二部分：环与域的构造 8. 环的定义与基本概念 9. 理想、商环与环同态 10. 整环与域 11. 主理想整环、欧几里得整环与唯一因子域 12. 多项式环的性质 13. 域的扩张与代数数 第三部分：数论：素数与模运算 14. 整除性、素数的定义与算术基本定理 15. 同余关系与模 $n$ 的运算 16. 欧拉定理与费马小定理 17. 线性同余方程组与中国剩余定理 18. 勒让德符号与二次互反律 第四部分：应用与进阶主题 19. 模 $n$ 上的原根 20. 离散对数问题简介 21. 有限域的构造与性质 22. 应用：公钥密码学中的数论基础 --- 内容详述 本书旨在为数学、计算机科学及工程领域的学生提供一个深入而严谨的高等代数（侧重群论与环论）与初等数论的综合性导论。我们避开了对微积分和基础函数特性的过度依赖，而是专注于抽象代数结构和整数的内在规律。 第一部分：群论基础与结构——代数对称性的探索 本部分建立群论的基石。从集合论的严格铺垫开始，我们迅速过渡到群的严格定义——一个带有封闭二元运算且满足结合律、存在单位元和逆元的集合。我们详细探讨了子群、陪集以及群论中里程碑式的拉格朗日定理，该定理揭示了有限群的阶与子群阶之间的深刻关系。 接下来的章节深入到群结构的“分解”：正规子群的概念是理解商群（或称因子群）的关键。商群允许我们在保持运算结构的同时，对群进行“简化”或“模化”，这在物理学中的对称性分析和密码学中至关重要。我们随后系统地阐述了群同态和第一同构定理，这是抽象代数中最有力的工具之一，它建立了原群与其商群之间的精确联系。 最后，我们考察了循环群的结构及其生成元特性，并对自由群进行了初步介绍，展示了如何通过生成元和关系来描述一个群的结构。 第二部分：环与域的构造——代数运算的扩展 在掌握了群论的单操作结构后，本书将焦点转移到具有两种运算——加法和乘法的代数结构：环。我们定义了环，并探讨了加法和乘法如何相互作用。 本部分的核心在于理想的概念。理想是环中类似于子群的概念，但它在乘法运算上的限制更为严格，是构造商环的必要条件。通过同态定理在环上的推广，学生将理解环同态与理想之间的对偶性。 我们着重研究了具有特殊乘法性质的环：整环（无零因子）和域（域是所有非零元素都可逆的整环）。在此基础上，我们进入了代数结构中的“最优良”结构——主理想整环 (PID) 和 欧几里得整环 (ED)。我们证明了 $mathbb{Z}$（整数环）和多项式环 $F[x]$（其中 $F$ 是域）都是 PID，并阐述了它们在除法算法和最大公约数计算中的优越性。 最后，我们探讨了域的扩张，即如何从一个基础域构造出包含更高次代数元素的扩展域，为理解代数数论和伽罗瓦理论奠定基础。 第三部分：数论：素数与模运算——整数世界的秩序 这部分将理论应用于最基础但最神秘的结构——整数集 $mathbb{Z}$。我们从算术基本定理（唯一素数分解）出发，强调了素数的中心地位。 重点放在了同余关系上。我们定义了模运算，并展示了它如何将环 $mathbb{Z}$ 映射到 $mathbb{Z}_n$（模 $n$ 的整数环），这直接关联到第一部分学到的商群结构。随后，我们深入研究了数论中的两个关键工具：欧拉定理和费马小定理，它们极大地简化了高次幂的模运算。 中国剩余定理的阐述将提供一种在多个模下求解一致方程组的系统方法，这在分组计算和错误检测中非常实用。 在更高级的数论领域，我们引入了勒让德符号，这是判断一个整数是否为模素数平方的二次剩余的关键工具。最后，我们将用二次互反律——高斯发现的优美定理——来展示素数之间关于平方剩余的深刻联系。 第四部分：应用与进阶主题 本部分旨在展示代数与数论在现代技术中的强大效用。我们探讨了原根在生成模 $p$ 意义下的乘法群时的重要性，并简要介绍了离散对数问题的计算难度。 最后，本书转向了有限域的构造。有限域，特别是 $GF(p^k)$，是现代编码理论和密码学（如椭圆曲线加密）的基石。我们展示了如何利用多项式环与理想的知识来精确构造这些有限代数结构，并以公钥密码学（如 RSA 算法背后的数论原理）作为结束，证明了对抽象结构的研究如何直接转化为保护信息安全的能力。 本书的难度定位在扎实的代数基础之上，适合已完成基础微积分和线性代数课程的学生，作为深入探索代数结构和数论思想的权威教材。

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对于我这样一个需要为微积分课程做准备的学生来说，这本《Precalculus》简直就是一座宝藏。它涵盖了预备微积分所有核心的概念，而且讲解得非常透彻，一点也不马虎。作者在处理每一个主题时，都力求全面，比如在讨论指数和对数函数时，不仅解释了它们的性质和图象，还深入探讨了它们在实际问题中的应用，例如复利计算和放射性衰变。这种深度让我觉得，这本书不仅仅是在“铺垫”微积分，而是在构建一个坚实的基础。我尤其喜欢书中对“证明”的讲解，虽然我不是数学专业，但作者用一种比较易于理解的方式，展示了如何去构建和理解数学证明，这对于培养我的逻辑思维能力非常有帮助。做完习题之后，我常常能感觉到自己的数学思维得到了提升，能够用更严谨的态度去分析问题。

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这本《Precalculus》简直是为我量身定做的！我一直以来都对数学有着莫名的恐惧感，特别是那些抽象的符号和公式，每次接触都感觉头晕脑胀。但这本书不一样，它以一种非常友好的方式，循序渐进地引导我进入预备微积分的世界。从最基础的函数概念开始，每一章都紧密衔接，逻辑清晰得就像一条清晰的河流。我尤其喜欢作者在讲解每一个新概念时，都会配上大量的实际生活中的例子，比如用抛物线来解释二次函数，用指数增长来描绘人口或投资的变化。这些例子让那些原本冰冷的数学概念一下子变得鲜活起来，让我觉得数学不再是高高在上、遥不可及的理论，而是与我们生活息息相关的工具。而且，书中的习题设计也非常巧妙，有基础巩固的，也有一些挑战思维的，每当我解出一道题，那种成就感真的无法言喻。我不再害怕数学了，反而开始期待下一章的内容，想知道还有什么有趣的数学原理等着我去发现。

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坦白说，我曾经对预备微积分这个科目感到非常头疼，总觉得它就像是一个巨大的迷宫，让我无从下手。但是，这本《Precalculus》却像一把钥匙，为我打开了通往数学世界的大门。作者的叙述风格非常独特，他善于运用类比和故事来解释复杂的概念，让我在轻松愉快的阅读过程中，不知不觉地掌握了知识。比如，在讲解数列和级数的时候，他会用一个“滚雪球”的比喻来形象地说明级数的累加过程，这让我一下子就明白了无穷级数的概念。而且，书中对于每一个章节的总结都做得非常到位，帮助我回顾和巩固所学内容。我还会反复翻阅书中的一些关键章节，每次都会有新的体会和发现。感觉这本书不仅仅是一本教材，更像是一位循循善诱的良师益友。

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不得不说，这本《Precalculus》的排版和设计绝对是加分项！我之前也接触过一些数学书，但很多都显得枯燥乏味，密密麻麻的文字和公式让人望而生畏。而这本书，色彩运用得当，图示清晰直观，每当出现新的定义或定理，都会有醒目的标识，方便我快速抓住重点。更重要的是，作者在讲解过程中，非常注重语言的平实和易懂。他没有使用太多晦涩难懂的专业术语，即使偶尔出现，也会立刻给出通俗易懂的解释。阅读这本书的感觉，就像是在和一位经验丰富的老师在进行一对一的交流，他会耐心解答你的疑问，引导你一步一步地思考。我特别欣赏书中关于三角函数的部分，作者用了一种非常形象的比喻，将单位圆上的点与角度、坐标联系起来，让我一下子就理解了正弦、余弦、正切这些函数的几何意义。这比我之前死记硬背公式要有效得多，也更容易记住。

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我发现这本《Precalculus》在处理一些容易混淆的概念时，表现得尤为出色。例如，在区分函数、关系以及它们之间的异同方面，作者通过大量的图表和具体的例子，让我对这些概念有了清晰的认识。他不会只停留在定义层面，而是会深入剖析这些概念的本质以及它们之间的联系。我特别喜欢书中对“极限”概念的引入，作者没有一开始就抛出复杂的定义，而是通过观察函数图像在接近某个点时的变化趋势，引导读者去体会极限的思想。这种“由表及里”的讲解方式，让我更容易接受和理解。而且，书中的习题难度梯度设计得很合理，从基础的计算题到需要综合运用多个知识点的应用题，都有涉及，这能够有效地帮助我检验学习效果，并发现自己薄弱的环节。这本书真的为我今后的数学学习打下了坚实的基础。

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