Critical Point Theory and Hamiltonian Systems pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Springer

作者:Jean Mawhin

出品人:

页数:278

译者:

出版时间:1989-3-2

价格:USD 149.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387969084

丛书系列:

图书标签:

数学
Critical Point Theory
Hamiltonian Systems
Differential Equations
Topology
Calculus of Variations
Dynamical Systems
Mathematical Analysis
Nonlinear Analysis
Optimization
Partial Differential Equations

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具体描述

FACHGEB The last decade has seen a tremendous development in critical point theory in infinite dimensional spaces and its application to nonlinear boundary value problems. In particular, striking results were obtained in the classical problem of periodic solutions of Hamiltonian systems. This book provides a systematic presentation of the most basic tools of critical point theory: minimization, convex functions and Fenchel transform, dual least action principle, Ekeland variational principle, minimax methods, Lusternik- Schirelmann theory for Z2 and S1 symmetries, Morse theory for possibly degenerate critical points and non-degenerate critical manifolds. Each technique is illustrated by applications to the discussion of the existence, multiplicity, and bifurcation of the periodic solutions of Hamiltonian systems. Among the treated questions are the periodic solutions with fixed period or fixed energy of autonomous systems, the existence of subharmonics in the non-autonomous case, the asymptotically linear Hamiltonian systems, free and forced superlinear problems. Application of those results to the equations of mechanical pendulum, to Josephson systems of solid state physics and to questions from celestial mechanics are given. The aim of the book is to introduce a reader familiar to more classical techniques of ordinary differential equations to the powerful approach of modern critical point theory. The style of the exposition has been adapted to this goal. The new topological tools are introduced in a progressive but detailed way and immediately applied to differential equation problems. The abstract tools can also be applied to partial differential equations and the reader will also find the basic references in this direction in the bibliography of more than 500 items which concludes the book. ERSCHEIN

《临界点理论与哈密顿系统》导论：数学的深邃殿堂与物理世界的跃动数学，作为一种抽象而普适的语言，无时无刻不在构建着理解宇宙万物的理论框架。在其中，临界点理论与哈密顿系统各自代表着两个极为重要且相互关联的研究领域。前者，以其对函数极值、奇点及复杂动力学行为的深刻洞察，渗透到物理学、工程学乃至经济学等众多学科的基石之中；后者，则以其精巧的数学结构，完美地描述了保守系统的演化规律，并在量子力学、经典力学以及天体力学等领域扮演着不可或缺的角色。本书《临界点理论与哈密顿系统》正是为了深入探索这两个迷人领域的精髓而编撰。它并非仅仅是关于两个独立概念的堆砌，而是旨在揭示它们之间深刻的内在联系，以及如何在联合研究中释放出更强大的数学力量与应用潜力。本书的编写目标是为读者提供一个全面、严谨且富有启发性的学习体验，使其能够掌握这两个领域的关键理论、方法以及它们在解决现实世界问题中的应用。第一部分：临界点理论的基石与拓展临界点理论的根基在于对函数的局部和全局性质的研究，特别是那些导数为零的点，即临界点。这些点往往预示着函数行为的重大转折，例如局部最大值、最小值，或者是鞍点。理解这些点的性质，对于优化问题、相变分析乃至图论中的连通性研究都至关重要。我们将从最基础的单变量函数的临界点入手，介绍求导、二阶导数检验等基本工具，从而识别和分类临界点。接着，我们将目光转向多变量函数，引入梯度、Hessian矩阵等概念，学习如何在高维空间中定位和理解临界点。泰勒展开在此阶段将扮演重要角色，它能帮助我们在临界点附近近似函数行为，从而进行更细致的分析。本书的重点将放在泛函分析的框架下，探讨临界点在泛函中的意义。泛函，即函数的函数，是许多物理和工程问题中能量、作用量等基本量的数学表达。寻找泛函的临界点，对应着寻找系统的平衡态或极值。这里，我们将详细介绍变分法的基本原理，如欧拉-拉格朗日方程，它直接关联着泛函的临界点。随后，我们将深入探讨临界点理论的核心工具，例如：极值原理：如何利用临界点理论来寻找函数的最大值和最小值，以及这些原理在优化算法中的应用。不动点定理：介绍 Brouwer、Kakutani 等不动点定理，它们在分析方程解的存在性方面具有广泛应用，并与临界点理论有着密切的联系。 Morse理论：这是一个更为精深的理论，它通过研究临界点的“退化性”来研究光滑流形的拓扑结构。Morse理论将临界点的数量与流形的“穴”联系起来，是理解高维空间拓扑性质的强大工具。我们将详细阐述 Morse 引理，并探讨如何利用 Morse 理论来分析偏微分方程解的存在性。光滑映射的奇点理论：介绍 Thom-Mather 定理等，研究光滑映射在临界点处的局部结构，这对于理解灾变理论和动力系统的稳定性至关重要。第二部分：哈密顿系统的动态世界哈密顿系统是描述经典力学中保守系统演化的核心框架。它以简洁优美的数学语言，揭示了系统能量守恒的内在机制，以及相空间中轨迹的几何性质。理解哈密顿系统，是深入学习经典力学、统计力学乃至量子力学的基础。我们将从哈密顿方程的形式入手，介绍正则变量、哈密顿函数等基本概念。我们将分析这些方程的几何意义，理解相空间中相点轨迹的演化规律。本书将重点关注哈密顿系统的不变性与守恒律。我们将详细阐述 Noether定理，它揭示了对称性与守恒量之间的深刻联系，是哈密顿力学中的一个辉煌成就。接着，我们将进入哈密顿系统的动力学行为的研究：可积性与非可积性：区分可积哈密顿系统（具有足够多的守恒量，轨迹可显式求解）与非可积哈密顿系统（通常表现出混沌行为）。我们将介绍 Liouville 定理，以及 KAM 定理（Kolmogorov-Arnold-Moser 定理）在描述非可积系统中的稳定性以及混沌的出现机制。泊松括号与辛结构：引入泊松括号的概念，以及哈密顿系统所具有的辛几何结构。辛几何提供了理解哈密顿系统相空间动力学演化的强大几何语言，例如辛流形、辛映射等。我们将探讨辛结构对相体积守恒（Liouville 定理）的重要性。微分同胚与流：将哈密顿系统的演化视为相空间上的一个微分同胚流，研究其不动点、周期轨道以及其他动力学结构。第三部分：临界点理论与哈密顿系统的交汇本书的精髓在于将临界点理论的工具和思想应用于哈密顿系统的研究，反之亦然。这种结合能够极大地拓展我们对复杂系统的理解能力。基于泛函的哈密顿系统分析：许多哈密顿系统的解可以通过寻找某个泛函的临界点来获得，例如作用量泛函。我们将探讨如何利用变分法和临界点理论来求解哈密顿方程，寻找系统的平衡态和周期轨道。临界点在哈密顿系统中的拓扑意义： Morse理论在研究哈密顿系统的周期轨道和不动点方面扮演着重要角色。我们将探讨如何利用 Morse 理论来计数哈密顿系统的周期轨道，以及 Morse 理论与哈密顿系统的全局性质之间的联系。辛几何与临界点理论的协同：辛结构为临界点理论在哈密顿系统中的应用提供了新的视角。我们将探讨如何在辛流形上进行临界点分析，以及辛结构如何影响临界点的性质和分类。应用示例：天体力学：研究行星轨道稳定性，寻找受限制三体问题中的周期轨道，这些问题都与哈密顿系统的临界点分析密切相关。量子混沌：尽管量子系统是非哈密顿的，但其经典对应物哈密顿系统的混沌行为对量子混沌有着深刻的影响。我们将探讨量子混沌与经典哈密顿系统临界点分析之间的联系。偏微分方程：许多重要的偏微分方程，如薛定谔方程、杨-米尔斯方程等，都可以通过寻找某个能量泛函的临界点来求解。本书将介绍如何利用临界点理论和哈密顿系统的概念来研究这些方程的解的存在性、多重性以及稳定性。量子场论：量子场论的拉格朗日量和哈密顿量形式与经典力学有着紧密的联系。我们将探讨临界点理论在量子场论中的应用，例如寻找真空态、研究粒子谱等。学习目标与读者群体通过学习本书，读者将能够：深刻理解临界点理论的核心概念、工具及其在数学和科学领域中的广泛应用。掌握哈密顿系统的基本原理、动力学行为以及辛几何结构。认识到临界点理论与哈密顿系统之间深刻的内在联系，并能够运用这些工具解决复杂问题。获得解决涉及优化、动力学、拓扑以及方程求解等问题的强大数学框架。本书适合数学、物理学、工程学等相关专业的高年级本科生、研究生以及对这些领域有深入研究兴趣的科研人员。本书的编写风格力求严谨而不失清晰，既包含数学的严密性，也注重启发读者的思考。我们相信，对临界点理论与哈密顿系统的深入理解，将为读者打开一扇通往数学和科学新世界的大门。