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出版者:Cambridge University Press

作者:Victor Bryant

出品人:

页数:300

译者:

出版时间:1990-09-28

价格:USD 45.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780521388351

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《微积分：从基础到洞察》 本书旨在为初学者提供一个坚实而全面的微积分学习体验。我们不追求罗列海量定理和证明，而是着力于清晰地阐释微积分的核心思想，并通过丰富的例子和直观的解释，帮助读者建立起对数学分析的深刻理解。 第一部分：变化的语言——极限与连续 我们将从“变化”这一最根本的概念入手。在现实世界中，事物的变化无处不在，从物体运动的速度，到经济增长的趋势，再到生物群落的演变，都蕴含着变化的规律。微积分正是捕捉和量化这些变化的强大工具。 极限： 我们将深入探讨极限的概念，它是微积分的基石。通过对数列和函数行为的细致观察，理解当变量趋近于某个特定值时，函数值所表现出的“趋势”。我们将使用直观的几何图形和实际场景来解释 ε-δ 定义，让读者领略其严谨而优雅的逻辑。我们会避免过于抽象的讨论，而是聚焦于极限的实际应用，例如理解切线斜率的本质，以及面积计算中的趋近过程。 连续性： 基于极限的概念，我们将自然地过渡到函数连续性的讨论。一个连续的函数意味着其图像没有“断开”或“跳跃”，我们可以平滑地从一个点移动到另一个点。我们将探究连续性的几何意义，以及它在实际问题中的重要性，例如求解方程和理解物理过程的平滑过渡。 第二部分：变化的度量——导数与应用 导数是微积分的核心概念之一，它量化了函数变化的“速率”。 导数的定义与几何意义： 我们将从平均变化率出发，通过极限的概念引出瞬时变化率——导数。导数在几何上表现为曲线某一点的切线斜率，这为我们理解函数的局部行为提供了关键视角。我们会用大量图示和实例来展示导数如何刻画曲线的陡峭程度。 求导法则： 掌握求导法则对于计算导数至关重要。本书将系统地介绍基本函数的求导方法，包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等，以及线性法则、乘积法则、商法则和链式法则。我们的目标是让读者不仅记住法则，更能理解其背后的逻辑，从而灵活运用。 导数的应用： 导数的应用广泛而深刻。我们将重点介绍以下几个方面： 优化问题： 利用导数找到函数的最大值和最小值，解决实际生活中的优化问题，例如最大化收益、最小化成本、设计最经济的容器形状等。 函数单调性与凹凸性： 通过一阶导数判断函数的增减趋势，通过二阶导数分析函数的形状（凹凸性），描绘函数图像，深入理解函数的整体行为。 相关变化率： 探索两个或多个变量之间相互关联的变化率，解决如“气球充气速度与表面积变化率的关系”等问题。 牛顿法： 介绍一种迭代求解方程根的强大算法，展示导数在数值计算中的应用。 第三部分：累积的量——积分与应用 积分是微积分的另一个核心概念，它关注的是“累积”或“总量”。 定积分的直观理解： 我们将从面积问题的角度引入定积分。通过将曲线下的区域分割成无数个微小的矩形，并对它们的面积进行累加，通过极限的思想来精确计算不规则图形的面积。 不定积分与反导数： 不定积分是求导的逆运算，它寻找能够通过求导得到给定函数的原函数。我们将介绍基本的不定积分公式，并强调不定积分代表着一族函数。 牛顿-莱布尼茨公式（微积分基本定理）： 这是微积分的灵魂所在，它将导数和积分紧密联系起来，提供了一种计算定积分的强大工具。我们将深入剖析这一定理，并展示其在解决面积、体积等问题中的威力。 积分的应用： 积分的应用同样丰富多样。我们将探讨： 曲线下面积计算： 精确计算不规则图形的面积。 体积计算： 通过旋转体、截面法等方法计算三维物体的体积。 弧长计算： 测量曲线的长度。 功、质心、转动惯量等物理量的计算： 展示微积分在物理学中的基础作用。 微分方程入门： 简要介绍微分方程的概念及其在描述自然现象中的重要性，为后续学习打下基础。 学习方法与特色： 本书强调“理解”而非“死记硬背”。我们鼓励读者积极思考，动手演算，并在解决问题的过程中体会微积分的魅力。 丰富的例子： 每个概念的引入都伴随着来自物理、工程、经济、生物等多个领域的生动实例，帮助读者将抽象的数学概念与现实世界联系起来。 清晰的图解： 大量精心设计的图示将帮助读者直观理解极限、导数、积分的几何意义和计算过程。 循序渐进的难度： 内容组织遵循从易到难的原则，确保读者能够逐步建立自信，扎实掌握每一个知识点。 强调概念理解： 我们将优先帮助读者建立起对微积分核心概念的深刻认识，而不是仅仅停留在计算技巧层面。 通过本书的学习，您将不仅掌握微积分的计算方法，更能领略其作为一门强大思维工具的魅力，为进一步探索更广阔的数学世界奠定坚实的基础。

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不得不说，《Yet Another Introduction to Analysis》这本书的标题虽然充满了“又一本”的自嘲，但它所带来的内容却丝毫没有敷衍。作者在撰写这本书时，显然投入了大量的思考和精力，尤其是在概念的引入和证明的逻辑组织上。我之所以这样说，是因为我特别欣赏作者在讲解“实数完备性”时的处理方式。他并没有直接给出戴德金分割或柯西序列的定义，而是先从“数轴上的‘洞’”这样一个直观的疑问出发，通过对有理数集合的“不完备”之处进行剖析，来引出构建实数系的必要性。然后，他再逐步介绍戴德金分割和柯西序列这两种不同的方法，并证明它们是等价的。这种“问题驱动”的学习方式，让我能够更深刻地理解这些抽象概念的意义和价值。书中对于“函数连续性”的讨论也让我印象深刻。作者不仅给出了 $epsilon-delta$ 定义，还花了很大篇幅去解释这个定义背后的直观含义，比如“输入的微小变化会导致输出的微小变化”。他甚至还探讨了连续函数的性质，比如介值定理和最大最小值定理，并且对这些定理的证明进行了详细的分析。我记得有一段关于介值定理的论述，作者通过一个生动的例子，说明了如果一个连续函数在一个区间上取到两个不同的值，那么它一定会在这个区间上取到这两个值之间的所有值。这种联系实际的讲解，让我对数学定理的理解更加透彻。此外，本书在处理“微分”概念时，也展现了其独到之处。作者在给出导数的定义之后，并没有立刻深入到各种求导法则，而是先探讨了导数在几何上（斜率）和物理上（瞬时速度）的意义。他甚至还讨论了导数存在的必要条件，以及为什么有些函数在某些点上导数不存在。这种对概念本质的探究，让我对微分有了更深层次的理解。整本书的语言风格也十分严谨且易于理解，公式的排版也很清晰，给我留下了非常好的阅读体验。

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尽管书名《Yet Another Introduction to Analysis》听起来像是“又一本老生常谈”的教科书，但这本书却用其扎实的内容和独特的视角，彻底颠覆了我对这个类别的固有印象。作者在处理“收敛”这个分析学的核心概念时，展现了非凡的耐心和清晰度。他并没有一开始就直接引入 $epsilon-delta$ 的形式化定义，而是通过一些生活中的类比，比如“一个物体越来越接近另一个物体，但永远无法完全触碰到”，来引导读者去理解“无限接近”的直观概念。然后，他巧妙地引入了“距离”的概念，并将其与数列的收敛性联系起来。我记得在介绍“数列收敛”时，作者用了相当大的篇幅来解释为什么我们需要一个“任意小的正数 $epsilon$”来定义收敛，以及为什么“对于任何一个 $epsilon$，我们都能找到一个 $N$”至关重要。这种对证明逻辑背后思想的深入剖析，让我明白了分析学严谨性的真正含义。书中关于“函数极限”的处理也别具一格。作者在给出 $epsilon-delta$ 定义之前，先探讨了函数在某个点附近的“行为”，比如函数值是否趋于某个特定值。他甚至还讨论了函数在某个点处“趋近”的几种不同情况，比如从左边趋近和从右边趋近，以及它们是否相等。这种细致的分类和分析，帮助我更好地理解了极限的本质。我尤其欣赏书中对“连续性”的讲解。作者不仅给出了连续性的定义，还详细解释了它与极限的关系，以及连续函数的性质，比如介值定理。他甚至还探讨了一些“不连续”的例子，并分析了它们为什么不满足连续性的定义。这种对“例外”和“边界情况”的关注，让我对连续性的理解更加全面和深刻。整本书的排版也十分精美，数学符号的使用规范，公式的插入清晰，这对于学习数学来说，是至关重要的。

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《Yet Another Introduction to Analysis》这本书的书名，确实透露着一种“又一次的尝试”的意味，但它所包含的内容，却远超我最初的预期。作者在处理“极限”这个分析学的基石概念时，展现了极高的教学艺术。他并没有一开始就直接给出 $epsilon-delta$ 的形式化定义，而是从“一个数列越来越接近某个值，但永远无法真正达到”这样的直观感受入手，巧妙地引导读者去理解“无限接近”的数学含义。我特别欣赏作者在引入 $epsilon-delta$ 定义时所做的铺垫。他通过对“距离”的讨论，以及“任意小”这个概念的引入，为 $epsilon$ 的出现创造了逻辑上的必然性。然后，他再细致地分析为什么需要“对于任何一个 $epsilon$”，以及为什么“存在一个 $N$”是收敛的充分必要条件。这种对证明逻辑背后思想的深入挖掘，让我对极限的理解不再是简单的记忆，而是内化为一种思维方式。书中关于“函数连续性”的讲解也让我受益匪浅。作者在给出连续性的定义之后，并没有简单地罗列几个定理，而是详细地探讨了连续函数所具有的“平滑”和“无跳跃”的直观性质。他甚至还讨论了几个著名的连续函数性质，比如介值定理和最大最小值定理，并且对这些定理的证明进行了清晰的推导。我记得在讲解介值定理时，作者用了一个非常形象的例子，说明了如果一个连续函数在一个区间上取到两个值，那么它必然会取到这两个值之间的所有值。这种将抽象概念与具体情境相结合的讲解方式，让我在理解数学定理时，感觉更加自然和深刻。此外，本书在处理“积分”概念时，也展现了其独到的教学理念。作者在给出黎曼积分的严格定义之前，先从“求面积”这个直观的目标出发，通过分割、逼近，逐步构建了积分的概念。这种从具象到抽象的过渡，让我对积分的理解不再感到困难。

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坦白说，《Yet Another Introduction to Analysis》这本书的书名，一开始确实让我有点犹豫，毕竟“又一本”这个说法，总会让人联想到那些内容平平、缺乏新意的教科书。然而，当我真正翻开这本书，并深入阅读其中的内容时，我才发现我的顾虑是完全多余的。作者在处理“收敛”这个分析学的核心概念时，展现出了非凡的耐心和清晰度。他并没有一开始就直接抛出 $epsilon-delta$ 的形式化定义，而是通过一些生活化的比喻，比如“一个物体越来越接近一个目标，但永远无法完全达到”，来引导读者去理解“无限接近”的直观概念。然后，他巧妙地引入了“距离”的概念，并将其与数列的收敛性联系起来。我特别欣赏作者在介绍“数列收敛”时，对“任意小的正数 $epsilon$”这个概念的深入阐述。他详细地解释了为什么我们需要一个“任意小”的 $epsilon$ 来定义收敛，以及为什么“对于任何一个 $epsilon$，我们都能找到一个 $N$”是收敛的充要条件。这种对证明逻辑背后思想的深入挖掘，让我对极限的理解不再是简单的记忆，而是内化为一种思维方式。书中关于“函数连续性”的讲解也让我受益匪浅。作者在给出连续性的定义之后，并没有简单地罗列几个定理，而是详细地探讨了连续函数所具有的“平滑”和“无跳跃”的直观性质。他甚至还讨论了几个著名的连续函数性质，比如介值定理和最大最小值定理，并且对这些定理的证明进行了清晰的推导。我记得在讲解介值定理时，作者用了一个非常形象的例子，说明了如果一个连续函数在一个区间上取到两个值，那么它必然会取到这两个值之间的所有值。这种将抽象概念与具体情境相结合的讲解方式，让我在理解数学定理时，感觉更加自然和深刻。此外，本书在处理“积分”概念时，也展现了其独到的教学理念。作者在给出黎曼积分的严格定义之前，先从“求面积”这个直观的目标出发，通过分割、逼近，逐步构建了积分的概念。

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这本书的书名真是让人会心一笑，"Yet Another Introduction to Analysis"，光是这个名字就传递出一种“又来了”的亲切感，仿佛作者深知我们这些求知若渴（或者说，被作业逼迫）的学生们，在求学路上已经“又”接触了多少次分析了。然而，正是在这种看似略带戏谑的开篇之下，隐藏着的是一份对分析学科严谨性与趣味性的深刻理解。我特别欣赏作者在开头部分营造的那种氛围，它没有一开始就抛出那些令人望而生畏的定义和定理，而是循序渐进，从一些直观的例子出发，引导读者去思考“为什么我们需要分析？”、“它解决了什么样的问题？”。这种 pendekatan 让我觉得，作者并非只是在传递知识，更是在传递一种思考方式。我至今还记得书中关于实数完备性的一段阐述，作者并没有直接给出戴德金分割或柯西序列的定义，而是先从“数轴上是否存在‘洞’？”这样一个看似简单的问题入手，通过对有理数运算的局限性进行剖析，一步步地引出了实数系的建立的必要性。这种“铺垫”的方式，让我在理解那些抽象概念时，不再感到突兀，反而觉得它们是自然而然产生的，是解决实际问题（哪怕是数学内部的问题）的必然产物。而且，书中对于一些关键定理的证明，也并非一味地堆砌逻辑符号，而是穿插了一些解释性的文字，帮助读者理解每一步推导的“用意”和“直觉”。我特别喜欢其中对均值不等式的一个证明，作者不仅给出了标准的数学证明，还探讨了如何从几何角度去理解它，这种多视角的解析，极大地加深了我对不等式的理解，也让我看到了数学的美妙之处。总而言之，这本书的阅读体验，就像是在一位经验丰富的向导的带领下，探索一个既熟悉又充满惊喜的数学世界，让人在理解分析的本质的同时，也能感受到数学的魅力。

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坦白说，我之前对分析学一直抱有一种“敬而远之”的态度，总觉得它充满了抽象和严谨，是数学领域中最难以驾驭的部分。然而，《Yet Another Introduction to Analysis》的出现，彻底改变了我的看法。这本书的独特之处在于，它不仅仅是将分析学的知识点罗列出来，而是试图引导读者去“感受”分析学的美妙。我印象最深刻的是作者在介绍序列收敛时，花了相当大的篇幅去探讨“为什么我们需要精确地定义收敛”以及“收敛意味着什么”。作者并没有直接给出一个冰冷的定义，而是通过一些例子，比如“一个数在不断地趋近另一个数，但永远达不到”来引出“无限接近”这个概念。然后，他巧妙地引入了“上界”和“下界”的概念，并将它们与数列的收敛性联系起来。我记得有一段关于“单调有界数列必有极限”的证明，作者不仅给出了标准的数学证明，还详细解释了为什么“有界”和“单调”这两个条件对于数列的收敛是至关重要的。这种深入浅出的讲解方式，让我明白了数学证明背后的逻辑和思想。此外，本书在讨论函数序列的收敛时，也别具一格。作者没有一味地强调一致收敛，而是先从逐点收敛入手，然后通过一些例子，说明了逐点收敛在某些情况下不足以保证极限函数保持连续性等重要性质。接着，再自然地引入一致收敛的概念，并解释了它为什么能够克服这些困难。这种对比和递进的讲解方式，让我深刻地理解了不同类型收敛的意义和应用。整本书的排版也非常舒适，公式的插入和符号的使用都非常规范，这对于一个数学学习者来说，是极其重要的。我甚至会时不时地回顾书中对某些证明的细节，每一次都能有新的体会。

评分☆☆☆☆☆

我必须承认，《Yet Another Introduction to Analysis》这本书的书名，一开始确实让我产生了“是不是又一本内容大同小异的分析入门书”的疑虑。然而，事实证明，这种疑虑完全是多余的。作者在编写这本书时，显然倾注了大量的心血，尤其是在概念的引入和逻辑的构建上，都显得十分用心。我特别欣赏作者在讲解“实数系”的完备性时所采取的策略。他并没有直接抛出戴德金分割或柯西序列的定义，而是先从“数轴上是否存在‘孔隙’？”这样一个直观的问题出发，通过对有理数运算性质的探讨，逐步引出了实数系构建的必要性。我记得书中对于“有理数集合的稠密性”的阐述，作者通过证明任意两个有理数之间都存在着另一个有理数，来形象地说明了有理数集合的“密集”程度，但同时也暗示了它并非“完备”。然后，他再自然地引入实数，并解释了实数如何填补了有理数留下的“空缺”。这种“循序渐进，由浅入深”的讲解方式，让我能够更轻松地理解那些抽象的数学概念。书中对于“函数连续性”的阐述也让我印象深刻。作者在给出 $epsilon-delta$ 定义之后，并没有止步于此，而是花了很大篇幅去解释这个定义背后的直观含义，比如“输入的变化有多小，输出的变化也就有多小”。他甚至还讨论了连续函数的几个重要性质，比如介值定理和有界性定理，并且对这些定理的证明进行了详细的推导和解释。我记得书中对介值定理的论证，作者通过一个非常生动的例子，说明了连续函数在某个区间内取到的两个值之间的所有值，也都必然被函数所取到。这种联系实际的讲解，让我对抽象的数学定理有了更深的体会。整本书的语言风格也十分严谨且富有条理，公式的排版清晰，这对于数学的学习者来说，是至关重要的。

评分☆☆☆☆☆

《Yet Another Introduction to Analysis》这本书的书名，虽然透露着一种“又来了”的亲切感，但其内容却完全没有敷衍了事。作者在处理“极限”这个分析学中最核心也最抽象的概念时，展现了非凡的教学功力。他并没有一开始就直接给出 $epsilon-delta$ 的形式化定义，而是从“无限接近”这个直观的感受出发，通过对数列项与极限值之间“差距”的讨论，逐步引出了“任意小”这个关键的数学概念。我特别欣赏作者在引入 $epsilon-delta$ 定义时的逻辑铺垫。他通过分析数列收敛的本质——即数列的项最终会“稳定地”落在极限值附近的某个区间内——来解释为什么我们需要一个“任意小的正数 $epsilon$”，以及为什么“对于任何一个 $epsilon$，我们都能找到一个 $N$”。这种对证明逻辑的深入剖析，让我不仅仅是记住了定义，更是理解了它的意义和必要性。书中关于“函数连续性”的讲解也让我印象深刻。作者在给出连续性的 $epsilon-delta$ 定义之后，并没有止步于此，而是花了很大的篇幅去阐释这个定义背后的直观含义，比如“输入的微小变化会导致输出的微小变化”。他甚至还讨论了连续函数的几个重要性质，比如介值定理和最大最小值定理，并且对这些定理的证明进行了详细的推导。我记得在讲解介值定理时，作者用了一个非常生动的例子，说明了如果一个连续函数在一个区间上取到两个值，那么它必然会取到这两个值之间的所有值。这种将抽象概念与具体情境相结合的讲解方式，让我对数学定理的理解更加透彻。此外，本书在处理“积分”概念时，也展现了其独特的教学理念。作者在给出黎曼积分的严格定义之前，先从“求面积”这个直观的目标出发，通过分割、逼近，逐步构建了积分的概念。这种从具象到抽象的过渡，让我对积分的理解不再感到困难。

评分☆☆☆☆☆

很少有教材能像《Yet Another Introduction to Analysis》这样，在保持严谨性的同时，又能让我在阅读过程中感受到一种“探索”的乐趣。作者在处理集合论的基础概念时，并没有简单地给出定义，而是通过一些生动形象的例子，来帮助读者理解集合、子集、并集、交集等概念。我记得关于“函数”的定义，作者不仅给出了数学上的严谨描述，还用了“映射”、“关系”等更通俗的词汇来辅助理解，并且通过一些实际的例子，比如“一个学生对应一个学号”，来帮助我们理解函数的“一一对应”或“多对一”等特性。这让我觉得，数学的抽象概念，其实是可以与我们的生活经验紧密联系起来的。而在进入分析学的核心内容时，我尤为欣赏作者对“极限”概念的处理。他并没有一开始就抛出 $epsilon-delta$ 语言，而是先从“直观的趋近”入手，通过对数轴上点与点之间距离的讨论，一步步地引出了“任意小”这个概念，从而为 $epsilon$ 的引入打下了基础。书中关于“数列收敛”的证明，也处理得非常到位。我记得有一段关于证明数列 ${a_n}$ 收敛于 $L$ 的例子，作者详细地分析了为什么需要找到一个 $N$ 使得当 $n > N$ 时， $|a_n - L|$ 总是小于 $epsilon$。他强调了“对于任何一个 $epsilon$（无论它有多小），我们都能找到这样的一个 $N$”，这正是分析学严谨性的体现。此外，书中对“连续性”的讲解也十分深入。作者不仅给出了连续性的定义，还通过对函数图像的分析，解释了连续性意味着函数的图像是“不间断”的。他甚至还探讨了一些“几乎”连续的函数，以及为什么它们不满足连续性的定义。这种对边界情况的探讨，让我对连续性的理解更加深刻。总的来说，这本书在引导读者理解分析学的基础概念方面，做得非常出色，让我在不知不觉中，就掌握了分析学核心的思维方式。

评分☆☆☆☆☆

当我翻开这本《Yet Another Introduction to Analysis》时，我并没有抱有过高的期望，毕竟“又一本”这个定语，总会让人联想到那些枯燥乏味的教科书。然而，这本书却在很多方面给了我意想不到的惊喜。我尤其喜欢作者对极限概念的引入方式。书中并没有直接抛出 $epsilon-delta$ 定义，而是从一些日常生活的例子开始，比如“越来越接近一个目标，但永远无法完全达到”，或者“一个函数的值在某个点附近是如何变化的”。作者巧妙地利用这些直观的比喻，为后续的严谨定义打下了坚实的基础。当我最终看到 $epsilon-delta$ 定义时，我并没有感到它有多么难以理解，反而觉得它精确地捕捉了那种“无限接近”的数学本质。书中在处理连续性时，也展现了独特的见解。作者在讨论连续函数的性质时，并没有仅仅罗列几个定理，而是深入探讨了连续性背后的“平滑”和“无跳跃”的直观含义，并将其与函数的图形联系起来。我记得有一段关于介值定理的论述，作者不仅给出了严谨的证明，还用一个例子说明了，如果一个连续函数在一个区间内取了两个值，那么它一定会在这个区间内取这两个值之间的所有值。这个例子非常形象，让我立刻理解了介值定理的意义，以及它在解决实际问题（比如求解方程的根）中的重要性。此外，本书在讨论积分时，也采取了非常人性化的方式。作者并没有一开始就深入到黎曼积分的严格定义，而是先从“求面积”这个直观的目标出发，通过分割、逼近，一步步地构建了积分的概念。这种从具象到抽象的过渡，让我在理解积分的计算方法时，感觉更加自然，也更能体会到它作为求和工具的强大之处。整本书的语言风格也十分清晰流畅，即使是对于一些比较复杂的概念，作者也力求用最简洁明了的语言来解释，让我能够专注于理解数学内容本身，而不是被晦涩的语言所困扰。

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