Groups and Their Graphs (New Mathematical Library 14) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:Mathematical Association of America (MAA)

作者:Israel Grossman

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1975-06

价格:USD 12.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780883856147

丛书系列:New Mathematical Library

图书标签:

• 数学
• mathematics
• Math
• 群论
• 图论
• 数学
• 组合数学
• 抽象代数
• 拓扑学
• 高等数学
• New Mathematical Library
• 数学普及
• 离散数学

群论基础与图示：理解抽象结构的直观路径 《群与它们的图示》是一本专为数学爱好者和学生设计的入门读物，它以清晰易懂的方式，带领读者探索抽象代数的核心概念——群。本书的独特之处在于，它不仅仅停留在形式化的定义和证明，而是通过丰富的图示和直观的类比，将抽象的群论概念具象化，使得读者能够更深入地理解群的结构和性质。本书旨在为读者提供一个坚实的群论基础，并激发对这一迷人数学领域的进一步探索兴趣。 第一章：踏入群论的世界——从对称性出发 本章将带领读者走出日常经验，感受数学的抽象之美，并引入群论研究的起点——对称性。我们将从最直观的几何图形入手，例如正方形、等边三角形、正多边形等，分析它们的对称操作。例如，对于一个正方形，我们可以进行旋转（0度、90度、180度、270度）和翻转（水平、垂直、两条对角线）。这些操作组合起来，就构成了一个集合，并且满足一系列特定的性质。 我们将引入“二元运算”的概念，这是群论的基石。通过对几何对称操作的观察，读者可以直观地理解，例如，先进行一次90度旋转，再进行一次水平翻转，这相当于一个特定的单一操作。这种“组合”行为，就是二元运算的本质。 本章将逐步揭示群的四个基本公理： 1. 封闭性 (Closure): 任意两个群中的元素进行二元运算，其结果仍然是群中的一个元素。 2. 结合律 (Associativity): 运算的顺序不影响最终结果，即 (a b) c = a (b c)，其中 '' 代表二元运算。 3. 单位元 (Identity Element): 存在一个特殊的元素，与任何其他元素进行运算时，结果都保持不变。这就像在数字运算中的“0”或“1”。 4. 逆元 (Inverse Element): 对于群中的每一个元素，都存在一个对应的元素，它们进行运算的结果是单位元。这就像在数字运算中，每个数的倒数。 通过这些直观的例子，读者将不再畏惧抽象的数学定义，而是能从感性的层面去把握群的精髓。 第二章：群的图示语言——凯莱表和生成元 为了更清晰地展示群的结构，本章将介绍两种重要的可视化工具：凯莱表（Cayley Table）和生成元。 凯莱表是一种将群的二元运算以表格形式呈现的方法。表格的行和列代表群中的元素，而表格的交叉点则显示了这两个元素进行运算的结果。通过观察凯莱表，我们可以迅速了解一个群的所有运算关系，以及其是否满足某些群的特性，例如阿贝尔性（交换律）。 我们将会通过一系列具体的例子，例如整数加法群、模n加法群、对称群的简单例子等，来绘制它们的凯莱表。读者将学会如何根据群的定义来构造凯莱表，并从表中解读出群的结构特点。例如，通过观察凯莱表，我们可以判断一个群是否是交换群，即其运算是否满足交换律 (a b = b a)。 生成元则提供了一种更简洁的方式来描述一个群。许多群都可以由少数几个元素（生成元）通过二元运算和取逆元而生成。本章将介绍如何识别一个群的生成元，以及如何利用生成元来“构建”整个群。例如，无限循环群 Z（整数加法群）可以由生成元“1”生成，因为所有的整数都可以通过重复地加“1”或减“1”得到。 通过生成元的概念，读者将理解群的“骨架”，即最少量的基本组成部分如何支撑起整个复杂的结构。我们也会探讨一些具有特殊生成元结构的群，例如循环群。 第三章：探索群的内部世界——子群与陪集 任何一个群都可能包含一些“更小”的、自身也构成群的结构，这些被称为子群。本章将深入研究子群的概念。我们将学习如何识别一个集合是否是某个群的子群，并探讨不同子群之间的关系。 子群的存在，就像一个大城市中包含着一个个自治的社区，这些社区本身也遵循着城市的整体规则。我们将会通过例子，例如模n加法群的子群，来理解子群的构造和性质。 陪集是理解群结构，特别是其阶（群中元素的个数）和共轭类的关键概念。对于群 G 和其子群 H，以及 G 中的任意元素 g，我们将定义左陪集 gH 和右陪集 Hg。虽然 gH 和 Hg 本身不一定是子群，但它们却能将群 G 分割成互不相交的块。 拉格朗日定理（Lagrange's Theorem）是群论中的一个核心定理，它指出，对于有限群 G，其任何子群 H 的阶（元素的个数）整除 G 的阶。本章将通过陪集的概念来证明和理解这一重要定理，让读者体会到群的阶与子群阶之间深刻的联系。 第四章：从对称到结构——置换群与群同态 置换群是群论中一个非常重要的研究对象，它研究的是对一个集合的元素进行重新排列（置换）的操作所构成的群。我们将会学习置换的表示方法，例如循环表示法，并探索置换群的性质。著名的凯莱定理（Cayley's Theorem）将表明，任何一个群都可以同构于一个置换群，这意味着置换群是群论中一个非常普遍和基础的研究范畴。 群同态是连接不同群的桥梁。如果存在一个函数，能够将一个群的运算“映射”到另一个群的运算，那么这个函数就称为群同态。同态的本质是保持群的结构。本章将介绍同态的定义，并探讨同态的性质，例如核（Kernel）和像（Image）。 群同构是同态的一个特例，它意味着两个群在结构上是完全相同的，只是元素的表示可能不同。通过同构，我们可以将复杂群的问题转化为简单群的问题来研究。 我们将通过具体的例子，例如将整数模n加法群与特定置换群进行比较，来展示群同态和同构的应用。这能帮助读者理解，看似不同的群，其内在结构可能惊人地相似。 第五章：深入理解群的性质——正规子群、商群与群的直接积 本章将进一步深化对群结构的理解，介绍几个更为高级的概念：正规子群、商群以及群的直接积。 正规子群是子群中一个特殊的类型，它要求其陪集满足 gH = Hg 的条件。正规子群的存在是构造商群的前提。商群，顾名思义，是通过将原群“压缩”或“商”掉一个正规子群而得到的。我们将通过实例，例如整数加法群的商群，来理解商群的构造及其运算。商群的出现，意味着我们可以将一个群的结构分解成更简单的部分来研究。 群的直接积是将两个或多个群结合起来，形成一个更大的群。其运算规则相对简单，并且可以方便地将一个群的性质分解到其直接因子上去研究。我们将探讨直积群的性质，并说明它在分解群结构方面的作用。 通过对这些概念的深入学习，读者将能够更精细地分析和描述群的内在结构，并为更高级的群论理论打下坚实的基础。 总结与展望 《群与它们的图示》旨在为读者构建一个清晰、直观且扎实的群论入门知识体系。本书并非一本枯燥的理论教科书，而是通过图示和实例，将抽象的数学概念变得生动易懂。从最基本的群的定义，到可视化工具的运用，再到子群、陪集、置换群、同态，乃至正规子群、商群和直接积，本书循序渐进地带领读者深入探索群论的奥秘。 本书的目标是让读者掌握理解和分析群结构的基本方法，并激发对更广泛的数学领域，例如抽象代数、数论、拓扑学以及物理学中对称性的应用的兴趣。群论作为现代数学的基石之一，其思想渗透在各个学科之中，掌握群论的基础知识，无疑是打开理解更广阔数学世界的一扇重要大门。本书的结束，标志着读者对群论的探索刚刚开始，未来还有更广阔的数学天地等待着你去发现。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆