Nonlinear Approximation Theory pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer-Verlag Berlin and Heidelberg GmbH & Co. K

作者:Dietrich Braess

出品人:

页数:290

译者:

出版时间:1986-12-31

价格:$ 169.50

装帧:Hardcover

isbn号码:9783540136255

丛书系列:

图书标签:

• 非线性近似
• 逼近理论
• 数值分析
• 函数逼近
• 插值
• 最小二乘法
• 误差估计
• 构造性近似
• Spline函数
• 正交多项式

《非线性逼近理论》 内容概述 《非线性逼近理论》一书深入探讨了在函数空间中，如何用非线性模型来近似复杂函数的数学分支。本书聚焦于构建和分析能够捕捉数据中非线性模式的逼近方法，为解决科学、工程、经济学以及数据科学等众多领域的实际问题提供了坚实的理论基础和强大的工具。 本书的出发点在于认识到，在许多现实场景中，线性模型因其固有的局限性，往往不足以充分描述数据的内在结构。例如，生物信号的复杂传播、经济市场的非线性波动、图像和视频的细节捕捉、或者化学反应的动力学行为，都常常展现出高度非线性的特征。传统的线性逼近方法，如多项式逼近或傅里叶级数，在处理这些高度非线性问题时，可能会遇到收敛速度慢、精度不足甚至无法捕捉关键特征的窘境。《非线性逼近理论》正是为了弥合这一差距而生，它将读者带入一个更为广阔和富有挑战性的逼近理论领域。 本书的结构精心设计，循序渐进地引导读者理解非线性逼近的核心概念和前沿进展。 第一部分：理论基础与基本概念 在开篇，本书首先回顾了经典的函数逼近理论，包括度量空间、赋范线性空间、巴拿赫空间、希尔伯特空间等作为研究对象的函数空间的必要知识。这为理解非线性逼近的抽象框架奠定了基础。随后，重点引入了“非线性逼近”这一核心概念，并明确了其与线性逼近的区别。与线性逼近主要关注由线性算子生成的函数子空间不同，非线性逼近研究的是更一般的、由非线性映射生成的函数集合，这为逼近带来了前所未有的灵活性。 本书深入探讨了多种重要的非线性逼近工具和方法，包括： 非线性逼近算子: 介绍了一系列非线性逼近算子的性质，如连续性、单调性、收敛性等。读者将学习如何构造和分析这些算子，例如某些类型的神经网络的逼近能力，以及基于核函数的非线性逼近方法。 逼近误差度量: 讨论了在非线性逼近背景下，如何有效地度量逼近误差。除了经典的Lp范数外，还介绍了更适合非线性情况的误差度量，如Hausdorff距离、Gromov-Hausdorff距离等，并分析了这些度量下的逼近性质。 最优逼近: 探讨了在非线性框架下，如何找到“最优”的非线性逼近。这涉及到最佳逼近理论的推广，包括最优逼近的存在性、唯一性以及与逼近阶的关系。 第二部分：关键的非线性逼近方法与模型 本书的这一部分是核心所在，详细阐述了当前活跃且具有实际应用价值的非线性逼近方法和模型。 径向基函数（RBF）网络: RBF网络作为一类强大的非线性逼近工具，被赋予了大量的笔墨。本书系统地介绍了RBF的定义、性质，以及基于RBF的插值和逼近理论。读者将学习到如何选择合适的RBF核函数、中心点，以及如何分析RBF网络的逼近精度和泛化能力。特别地，本书会深入探讨RBF网络在处理高维数据、非平稳信号等复杂问题上的优势。 神经网络与深度学习: 尽管深度学习已成为一个独立的庞大领域，本书仍从非线性逼近的视角，深入分析了神经网络（特别是多层感知机）作为非线性逼近器的理论基础。本书会揭示神经网络为何能够实现如此强大的非线性逼近能力，探讨其激活函数的选择、网络结构的优化如何影响逼近效果，以及万能逼近定理（Universal Approximation Theorem）在理解神经网络能力中的作用。对于更深层次的深度学习模型，本书也会提及它们如何通过层层叠加和非线性变换，构建出越来越复杂的非线性逼近器，以捕捉数据中更为抽象和层级化的特征。 样条函数与非线性插值: 除了经典的线性样条，本书还会探讨一些非线性样条的构造和性质，例如基于度量学习的非线性插值方法，它们在处理具有复杂形状的曲线和曲面时表现出色。 核方法与再生核希尔伯特空间（RKHS）: RKHS提供了一个强大的框架来理解和构造非线性逼近器。本书将介绍核函数的概念，如何通过核函数将数据映射到高维特征空间，从而使得原本不可分的线性问题在高维空间中变得可分。读者将学习到支持向量机（SVM）等算法在非线性逼近中的应用，以及Kernel Ridge Regression等方法。 非线性方法的误差分析: 深入分析不同非线性逼近方法的收敛性、逼近阶以及在不同范数下的误差界。这部分内容将涉及大量数学证明和定理，为读者提供严谨的理论支撑，帮助理解各种方法的优缺点和适用范围。 第三部分：前沿研究方向与应用 本书的最后一项内容聚焦于非线性逼近理论的最新发展和在各个领域的广泛应用。 高维数据与“维度灾难”: 针对高维数据空间中非线性逼近面临的挑战，本书会讨论如何克服“维度灾难”，例如通过稀疏表示、低秩逼近、子空间方法等技术来提高逼近效率和精度。 自适应逼近方法: 介绍能够根据数据的局部特性自动调整逼近模型的方法，例如自适应网格方法、自适应多分辨率分析等，它们能够更有效地捕捉函数中的奇异点或局部细节。 随机非线性逼近: 探讨在存在噪声或随机性数据的情况下，如何进行非线性逼近，以及相关的鲁棒性理论。 计算复杂性与算法: 分析实现非线性逼近算法的计算复杂性，以及设计高效算法的策略。 跨学科应用: 详细介绍非线性逼近理论在各个领域的实际应用，包括： 机器学习与模式识别: 深度学习模型的理论基础，分类、回归、聚类等任务中的应用。 信号处理: 非线性信号的去噪、滤波、重构，以及对非线性动态系统的建模。 图像与视频处理: 图像修复、超分辨率、目标检测、视频压缩等。 科学计算: 求解非线性偏微分方程，模拟复杂物理过程。 金融建模: 风险预测、资产定价、量化交易中的非线性关系建模。 生物医学: 基因表达数据分析，药物动力学建模，医学图像分析。 总结 《非线性逼近理论》是一本内容丰富、理论严谨、面向前沿的专著。它不仅为读者提供了理解和掌握非线性逼近核心概念的坚实基础，更引领读者深入了解当前该领域的研究热点和实际应用。本书适合于数学、计算机科学、统计学、工程学以及其他相关领域的学生、研究人员和从业者，旨在帮助他们构建和分析能够有效处理现实世界复杂非线性问题的模型，从而在各自的研究和实践中取得突破。阅读本书，将极大地拓宽读者在函数逼近和模型构建方面的视野，并为其解决前沿科学和工程问题提供强大的理论武器。

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