Irrational Numbers (Carus Mathematical Monographs) pdf epub mobi txt 電子書下載在線閱讀 2026

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出版者:The Mathematical Association of America

作者:Ivan Niven

出品人:

頁數:172

译者:

出版時間:2005-08-18

價格:USD 39.95

裝幀:Paperback

isbn號碼:9780883850381

叢書系列:The Carus Mathematical Monographs

圖書標籤:

無理數
數學
數學
無理數
數學史
數論
實數
數學分析
高等數學
Carus Mathematical Monographs
數學普及
數學哲學

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具體描述

《無理數：卡魯斯數學專著》本書是對數學世界中一類引人入勝的數——無理數的深度探索。無理數，顧名思義，是那些無法錶示為兩個整數之比的實數。它們的存在，揭示瞭我們數字係統的深層奧秘，挑戰瞭古希臘以來對數的樸素理解，並催生瞭數學史上無數重要的發展。《無理數：卡魯斯數學專著》並非一本淺嘗輒止的科普讀物，而是一部嚴謹而富有洞察力的學術論著，旨在為讀者構建起對無理數及其相關概念的堅實理解。本書的編排結構清晰，從基礎齣發，層層遞進，逐步深入到更高級的理論和應用。開篇：數的疆界拓展本書的開篇部分，將帶領讀者迴顧數係的演變史，從自然數、整數、有理數，到實數的齣現。特彆地，它將詳細闡述為何有理數無法滿足所有幾何上的測量需求，例如正方形的對角綫長度，從而引齣無理數的必然性。這一部分會詳細介紹畢達哥拉斯學派在發現無理數時所麵臨的哲學與數學睏境，以及這一發現對當時數學思想的顛覆性影響。核心概念：無理數的定義與證明接著，本書將給齣無理數的嚴格數學定義，並詳細介紹證明一個數是無理數的方法。經典的例子，如$sqrt{2}$、$pi$和$e$的無理性證明，將被詳盡解析，讓讀者理解其內在邏輯和技巧。這些證明往往涉及反證法等重要的數學論證工具，對於培養讀者的邏輯思維能力具有重要意義。此外，本書還會探討更一般的代數數和超越數，解釋它們與無理數之間的關係，並提供一些判定數是否為無理數的理論工具。特性與構造：不可窮盡的 Decimal 展開無理數最顯著的特徵之一是其無限不循環的十進製展開。本書將深入分析這一特性，探討不同類型無理數的十進製展開的模式與規律。雖然它們不循環，但並不意味著完全沒有結構。通過對連分數理論的介紹，讀者將瞭解到如何用一種特殊的“分數”序列來精確地逼近無理數，並理解連分數與無理數性質的深刻聯係。幾何的語言：無理數與幾何圖形無理數與幾何圖形有著不解之緣。本書將重點關注無理數在幾何中的體現。從勾股定理推導齣的$sqrt{2}$，到圓的周長和麵積中齣現的$pi$，無理數似乎是度量幾何世界的天然語言。本書將通過詳細的幾何構造和論證，展示如何通過尺規作圖等方式來理解和“生成”某些無理數，同時也探討哪些無理數是尺規不可作的，這與古希臘數學中的三大幾何作圖難題緊密相關。分析的工具：無理數在微積分中的作用微積分的建立和發展，離不開對極限和連續性的精確刻畫，而無理數的存在對這些概念提齣瞭更高的要求。本書將闡述無理數在微積分理論中的核心作用。例如，定義實數域的完備性，以及像$e$這樣的重要常數如何在指數函數和對數函數的定義中發揮關鍵作用。讀者將理解，沒有無理數，微積分的宏偉體係將無從談起。超越的領域：超越數的探索在無理數的範疇內，還有一類更為“特殊”的數——超越數。這些數不僅無法錶示為有理數的比，更無法成為任何整係數代數方程的根。本書將介紹超越數的概念，重點介紹最著名的超越數$pi$和$e$的超越性證明（盡管證明本身可能非常復雜，但本書將提供清晰的思路和部分細節）。超越數的發現，進一步拓展瞭我們對數係的認識，並對數論和代數産生瞭深遠影響。應用與前沿：無理數在現代數學中的價值盡管無理數的基礎概念相對古老，但它們的應用和研究從未停止。本書將觸及無理數在現代數學中的一些前沿課題和應用。這可能包括它們在數論（如丟番圖逼近）、遍曆理論、甚至在某些物理學和工程學模型中的齣現。通過介紹這些應用，讀者將看到無理數不僅僅是抽象的數學概念，更是理解和描述現實世界的重要工具。閱讀體驗《無理數：卡魯斯數學專著》麵嚮的是對數學有一定基礎的讀者，可能是高年級本科生、研究生，抑或是對數學充滿熱情的專業人士。本書的語言嚴謹而精確，但作者會努力通過清晰的解釋和詳實的例子，引導讀者理解抽象的概念。書中可能包含適量的習題，以幫助讀者鞏固所學知識。本書的目標是提供一次既具挑戰性又富有啓發性的閱讀體驗，讓讀者在深入理解無理數的同時，也領略到數學思想的深刻與優美。本書將是一次對數學世界中“非理性”存在的精彩遨遊，一次對我們理解數字本質的深刻反思。