具体描述
《数值分析概论》 本书是一本面向本科生和研究生入门级读者的数值分析教材。它旨在为读者打下坚实的理论基础，同时强调算法的实现和应用。全书内容循序渐进，从基本的数学概念出发，逐步深入到各种重要的数值算法，并配以丰富的算例和练习，帮助读者理解抽象的数学原理如何转化为实用的计算工具。 章节概览： 第一部分：基础理论与误差分析 引言与数值计算环境： 本章首先介绍数值计算在现代科学和工程中的地位与作用，阐述为何需要数值方法来解决许多解析方法难以处理的问题。我们将讨论计算机的浮点表示，引入机器精度、舍入误差、截断误差等基本概念，并探讨误差在数值计算过程中的累积和传播规律。理解误差是进行可靠数值计算的第一步。 函数插值： 曲线拟合是数据分析和模型构建的关键。本章将介绍几种重要的插值方法，包括牛顿多项式插值、拉格朗日插值以及样条插值。我们将分析不同插值方法的优缺点，并讨论误差界限的确定。特别地，样条插值的引入将使我们能够构造出更平滑、更符合实际需求的插值曲线。 数值积分： 计算定积分是科学计算中的常见任务。本章将介绍一系列数值积分方法，如梯形法则、辛普森法则以及高斯积分。我们将推导这些方法的原理，分析其精度，并讨论如何根据积分函数的性质选择最合适的方法。 第二部分：方程求解与线性代数 非线性方程的求根： 寻找方程的根是许多问题的核心。本章将深入探讨几种经典的非线性方程求根方法，包括二分法、不动点迭代法、牛顿法以及割线法。我们将分析每种方法的收敛性，并给出实际应用中的注意事项，例如初始值的选择以及何时停止迭代。 线性方程组的求解： 线性方程组是科学计算中最基本也最重要的模型之一。本章将介绍直接法，如高斯消元法及其改进的LU分解法，用于精确求解线性方程组。同时，我们也将探讨迭代法，如雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法，它们在处理大型稀疏线性方程组时具有显著优势。我们将分析这些方法的收敛条件和效率。 特征值与特征向量的计算： 特征值和特征向量在动力学、稳定性分析以及降维技术中扮演着至关重要的角色。本章将介绍几种计算特征值和特征向量的数值方法，包括幂法、反幂法以及QR算法。我们将探讨这些方法的原理和实现细节。 第三部分：微分方程的数值解 常微分方程的数值解： 求解常微分方程是模拟各种物理、化学和工程过程的基础。本章将介绍多种数值方法来近似求解初值问题和边值问题，包括欧拉法、改进欧拉法、龙格-库塔法以及有限差分法。我们将详细分析这些方法的精度、稳定性和收敛性，并讨论如何选择合适的方法来获得可靠的解。 贯穿全书的特点： 算法导向： 每介绍一种算法，都会深入剖析其数学原理，并提供清晰的伪代码或C/C++/Python等语言的实现示例，方便读者动手实践。 理论与实践结合： 除了理论推导，本书还通过大量来自工程、物理、经济等领域的实际算例，展示数值方法在解决现实问题中的强大能力。 深入的误差分析： 每一章都对所介绍的算法进行细致的误差分析，帮助读者理解数值解的精度限制，并学会如何评估和控制计算误差。 丰富的习题： 每章末尾都配有大量不同难度的习题，涵盖理论证明、算法设计和数值实验，旨在巩固读者对所学知识的理解和应用能力。 通过学习本书，读者将能够理解数值分析的基本原理，掌握常用数值算法的设计与实现，并具备分析和解决实际工程计算问题的能力。本书适合作为大学理工科相关专业本科生和研究生的教材，也可作为相关领域研究人员的参考书。
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