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出版者:Springer

作者:Mircea Sofonea

出品人:

页数:252

译者:

出版时间:2009-02-27

价格:USD 79.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387874593

丛书系列:

图书标签:

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《变分不等式及其应用》 引言 在数学的广阔领域中，变分不等式（Variational Inequalities, VIs）作为一种强大的数学工具，已在众多学科中展现出其深远的理论意义和广泛的实际应用价值。它们是传统方程和不等式概念的自然推广，捕捉了存在最优解问题的核心本质，尤其是在涉及约束条件和非光滑函数的情况下。本书旨在系统地介绍变分不等式的基本理论、分析工具以及它们在现实世界各种问题中的应用，为读者提供一个全面而深入的理解。 变分不等式问题通常可以表述为寻找一个解 $x$ 使得对于给定的映射 $F$ 和一个闭凸集 $K$，满足 $F(x) cdot (y - x) ge 0$ 对于所有 $y in K$ 成立。这个看似简单的数学表达式，却能够刻画出诸如经济学中的均衡模型、工程中的优化设计、物理学中的边界值问题以及计算机科学中的算法设计等一系列复杂现象。本书将带领读者从最基础的定义出发，逐步深入到变分不等式的各种变体，如包含不等式（Hemivariational Inequalities）、互补问题（Complementarity Problems）等，并探讨它们的相互关系。 本书的结构设计旨在服务于不同背景的读者。对于初学者，我们将从基础概念和经典示例入手，帮助他们建立对变分不等式直观的认识。对于有一定基础的研究者，我们将深入探讨变分不等式理论的最新进展、存在的挑战以及前沿的研究方向。理论分析部分将涵盖存在性、唯一性、收敛性等关键性质的证明，并介绍一系列求解变分不等式的数值算法。在应用部分，我们将精选多个具有代表性的实际问题，详细阐述如何将它们转化为变分不等式模型，并通过数值计算得出有意义的解释。 第一部分：变分不等式理论基础 在这一部分，我们将构建理解变分不等式所必需的理论基石。 第一章：数学预备知识 凸集与凸函数： 介绍欧几里得空间中的度量空间、Banach空间、Hlbert空间等基本概念，以及闭凸集、开集、紧集等集合性质。重点阐述凸函数的定义、性质（如最小值性质、Jensen不等式），以及其在变分不等式中的重要作用。 范畴论： 介绍紧空间上的连续映射的性质，如Weierstrass定理、Tychonoff定理等，这些在证明存在性定理时至关重要。 不动点理论： 简要介绍Brouwer不动点定理、Kakutani不动点定理等，并展示它们与变分不等式存在性证明的联系。 映射与算子： 定义和介绍单调算子、全连续算子、Lipschitz连续算子等，这些是分析变分不等式解的性质所必需的工具。 第二章：变分不等式的基本概念与模型 定义与形式： 严谨地给出变分不等式的标准形式： $$ ext{Find } x in K ext{ such that } F(x) cdot (y - x) ge 0, quad forall y in K $$ 其中 $K$ 是一个闭凸子集， $F$ 是一个映射。 等价形式： 介绍变分不等式与其他数学问题的等价形式，例如： 极小值问题： 当 $F$ 是梯度时，变分不等式对应于凸函数在闭凸集上的极小值问题。 互补问题： 介绍线性互补问题（LCP）和非线性互补问题（NCP），并展示它们与特定类型的变分不等式的等价性。 投影形式： 介绍变分不等式与投影问题的关系，即 $x = P_K(x - F(x))$。 特殊情况： 线性变分不等式（LVIs）： 当 $F(x) = Ax + b$ 时，研究其解的存在性、唯一性及其与线性方程组、二次规划的联系。 单调变分不等式： 重点分析单调算子和强单调算子下的变分不等式，这是许多应用的基础。 变分包含（Variational Inclusions）： 引入更一般的形式，如 $0 in F(x) + partial psi_K(x)$，其中 $partial psi_K(x)$ 是 $K$ 的次梯度。 第三章：存在性与唯一性理论 单调算子下的存在性： 证明在单调算子和紧凸集下，变分不等式存在解。利用不动点定理或压缩映射原理。 强单调算子下的唯一性： 证明在强单调算子下，变分不等式存在唯一解。 Lipschitz连续性与收敛性： 分析算子 $F$ 的Lipschitz连续性对解的唯一性和数值算法收敛性的影响。 其他类型的存在性结果： 介绍在弱单调、协单调等条件下获得的存在性结果。 第四章：包含不等式（Hemivariational Inequalities） 定义与动机： 介绍包含不等式的概念，它允许函数 $F$ 包含非单调性，尤其是在涉及摩擦、接触等非光滑力学问题时。 $$ langle F(x), y - x angle + j(y) - j(x) ge 0, quad forall y in K $$ 其中 $j$ 是一个非光滑的、可能是不凸的函数。 子梯度理论： 简要介绍Clarke子梯度等概念，这是分析包含不等式性质的工具。 存在性结果： 探讨在不同条件下包含不等式的存在性。 第二部分：求解变分不等式的数值方法 理论上证明了变分不等式的存在性和唯一性，但找到实际解需要有效的数值算法。本部分将介绍一系列常用的求解方法。 第五章：投影算法 原始投影算法： 详细介绍如何将变分不等式转化为投影问题 $x = P_K(x - ho F(x))$，并分析其收敛性。 增广Lagrangian方法： 介绍如何利用增广Lagrangian函数将约束问题转化为一系列无约束或简单约束的子问题。 Peaceman-Rachford分裂法： 介绍处理大规模线性变分不等式的分裂技术。 第六章：外点法与内点法 外点法： 介绍如何通过引入罚项或松弛变量来逐步逼近变分不等式的解。 内点法： 探讨将变分不等式转化为一系列非线性方程组，并利用牛顿法等求解。 第七章：加速收敛算法 加速投影算法： 介绍Dykstra算法、Afonso-Fortin算法等，它们在某些情况下能提供比标准投影算法更快的收敛速度。 正则化方法： 讨论如何通过正则化技术处理病态问题或非光滑问题，以提高算法的稳定性和收敛性。 第八章：特殊结构的变分不等式算法 处理大规模与稀疏性： 介绍如何利用问题的稀疏性来设计高效的求解器，特别是在工程应用中。 分布式计算： 探讨如何将变分不等式问题分解，并在分布式环境中进行求解。 第三部分：变分不等式在各领域的应用 理论与算法的最终目的是解决实际问题。本部分将聚焦于变分不等式在不同领域的核心应用。 第九章：经济学与博弈论中的应用 一般均衡模型： 阐述如何将市场均衡问题（如 Walrasian 均衡）转化为变分不等式，并研究其存在性和计算。 寡头垄断与Cournot竞争： 将寡头垄断市场中的产量决策问题建模为变分不等式，分析企业的最优策略。 拍卖理论： 在某些拍卖机制设计中，最优出价可能表现为变分不等式解。 合作博弈： 研究合作博弈中的 Shapley 值或核等概念，有时可与变分不等式联系起来。 第十章：工程与优化中的应用 结构工程中的接触问题： 分析具有摩擦的结构接触问题，如桥梁支座、机械连接等，将其转化为包含不等式或一般的变分不等式。 塑性力学： 研究材料在塑性变形下的行为，如屈服准则和流动法则，通常可以用变分不等式来描述。 流体力学： 自由表面问题、多孔介质中的流体流动等，都可以用变分不等式来求解。 交通流模型： 描述交通流在道路网络中的动态演化，尤其是在考虑交通拥堵和信号控制时，可能需要变分不等式框架。 第十一章：计算科学与机器学习中的应用 支持向量机（SVM）： 介绍SVM的优化问题，并展示其与二次规划和变分不等式的紧密联系。 鲁棒优化： 在存在不确定性参数时，鲁棒优化问题有时可以转化为变分不等式。 推荐系统： 某些矩阵分解或协同过滤算法的优化过程可能与变分不等式相关。 图像处理： 图像去噪、图像修复等问题，如果引入全局约束或局部一致性条件，可能需要变分不等式方法。 第十二章：其他应用领域 生物医学： 肿瘤生长模型、药物输送系统等，在某些简化假设下，可以建立变分不等式模型。 金融学： 奇异期权定价、风险管理等问题，在特定情况下可能与变分不等式挂钩。 能源系统： 电力市场均衡、能源调度优化等。 结论 变分不等式以其强大的数学表达能力和广泛的应用前景，已成为现代科学研究中不可或缺的一部分。本书从理论基础到数值方法，再到具体应用，力求为读者勾勒出变分不等式领域的全貌。通过深入学习本书内容，读者将能够理解变分不等式的数学精髓，掌握求解这些问题的关键技术，并将其应用于自身的研究和实践中，从而推动相关领域的创新与发展。本书旨在成为一本富有启发性、实用性的参考书，既适合初学者入门，也为研究者提供深入探索的工具。

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这本《优化理论的几何视角》简直是一本打开了新世界大门的宝典。我一直觉得优化问题，尤其是在高维空间中处理约束条件时，常常让人感觉像是在迷雾中摸索，公式推导复杂到令人望而生畏。但这本书巧妙地将抽象的代数结构与直观的几何图像紧密结合起来，那些原本晦涩难懂的KKT条件、对偶性原理，在作者的笔下，如同在三维空间中描绘出清晰的梯度流线和可行域的边界。特别是关于拉格朗日乘子法的讲解，不是简单地给出公式，而是通过描述“力”的平衡点，将数学概念具象化。我尤其欣赏作者在介绍凸优化基础时，对“支撑超平面”和“分离定理”的几何阐释，这使得我对处理非光滑优化问题时遇到的障碍函数有了更深刻的理解。读完关于内点法收敛性的几何证明部分，我甚至有一种豁然开朗的感觉，仿佛所有的优化路径都清晰地展现在眼前，不再是纯粹的符号游戏。对于任何希望从“会算”升级到“理解”优化本质的工程师或研究者来说，这本书提供了不可或缺的思维工具。

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我购买《量子信息论基础与前沿展望》纯粹是出于对这个交叉学科的好奇心，但我很快就被它清晰、近乎哲学的叙事方式所吸引。这本书避开了许多入门书籍中常见的、过于依赖线性代数符号的枯燥开场，而是从信息熵的经典局限性出发，引出了量子比特（Qubit）的本质区别。作者对于“纠缠”这个概念的阐述，尤其值得称赞，他没有仅仅停留在数学定义上，而是通过类比和思想实验，深入探讨了非定域性对信息传输的深刻含义。在讨论量子计算算法时，它对Shor算法和Grover算法的介绍，不仅给出了电路模型，更着重分析了它们在计算复杂性理论中的地位，这使得我们能够跳出具体的量子门操作，看到量子霸权背后的理论支撑。此外，书中对量子纠错码（如表面码）的讨论，尽管技术性很强，但作者依然保持了对物理实现难度的客观评估，使得整本书读起来既充满希望，又不失脚踏实地。这本书为理解量子信息学的“为什么”和“是什么”提供了坚实的框架。

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阅读《高级偏微分方程中的正则性理论》的过程，与其说是学习，不如说是一种智力上的洗礼。这本书的学术密度极高，每一页都充满了需要深入思考的细节和精妙的技巧。它不是一本面向初学者的导论性教材，而是直接切入到PDE研究的前沿阵地，特别是关于椭圆型方程解的平滑性分析。作者在处理二阶非线性方程，比如稳态反应扩散方程时，对“弱解”到“强解”的提升过程的阐述，简直是教科书级别的典范。我尤其关注了关于Holder连续性和$L^p$估计的那几个关键定理的证明，那些对嵌入定理、最大值原理的精巧应用，体现了作者深厚的数学功底。这本书的语言非常简洁、精确，几乎没有多余的赘述，要求读者必须具备扎实的泛函分析基础。坦率地说，我需要经常停下来，对照着参考书上的拓扑知识来理解作者在某一特定步骤中引入的范数等价性，但这正是其价值所在——它强迫你真正去掌握那些支撑整个理论大厦的基石，而不是仅仅记住结论。

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《图论与网络流：算法与应用深度解析》这本书，成功地在理论的严谨性和实际应用的可操作性之间架起了一座坚固的桥梁。我之前看过的几本图论书籍，要么过于偏重证明的抽象性，使得实际编程实现时无从下手；要么就是过于偏向工程实践，牺牲了对算法内在复杂度的严密分析。而这本，则找到了一个完美的平衡点。它对Dinic算法和Push-Relabel算法在最大流问题上的性能差异进行了细致的性能剖析，并给出了清晰的伪代码，使得我们可以直接将其转化为高效的代码。关于匹配理论的部分，Kuhn-Munkres 算法（匈牙利算法）的介绍，不仅解释了其多项式时间复杂度是如何得来的，还巧妙地结合了边权重的调整，让人对“最优”的定义有了更立体的认识。最让我印象深刻的是，它将这些图论工具应用到调度问题和资源分配的案例分析，其论证过程逻辑链条完整，从问题抽象到模型建立，再到最终的算法求解，一气呵成，对准备参加算法竞赛或从事复杂系统建模工作的人来说，简直是必备工具箱。

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我最近一直在深陷于控制理论的复杂性泥潭中挣扎，而《模糊系统与自适应控制设计》这本书的出现，无疑是一束强光。我的专业背景偏向于传统的状态空间模型，对于那种充满不确定性和非线性动态的系统，我总感觉现有工具力不从心。这本书的论述风格极其大胆且富有洞察力，它没有试图用过于严格的经典分析方法去“驯服”模糊系统，而是采取了一种“顺势而为”的态度。作者对Takagi-Sugeno模型（TS模型）的引入和推导，逻辑严密得令人佩服，尤其是如何将那些基于语言变量的规则，转化为可以进行矩阵运算的模糊推理系统，这种跨越简直是艺术。更让我眼前一亮的是它在自适应控制章节中对Lyapunov函数的巧妙运用，它没有止步于标准的指数稳定判断，而是探讨了在参数持续变化情况下，如何设计鲁棒的、能够容忍较大模型误差的模糊控制器。这本书的章节组织结构犹如一位经验丰富的导师，循序渐进地引导读者建立起对不确定性建模的信心，其深度足以让资深学者反复咀嚼，其清晰度也足够让进阶的学生迅速入门。

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