Applied Partial Differential Equations pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Oxford University Press, USA

作者:John Ockendon

出品人:

页数:464

译者:

出版时间:2003-8-7

价格:USD 85.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780198527718

丛书系列:

图书标签:

数学
偏微分方程
应用数学
数值分析
数学物理
工程数学
微分方程
科学计算
高等数学
数学模型
边界值问题

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具体描述

Partial differential equations are a central concept in mathematics. They are used in mathematical models of a huge range of real-world phenomena, from electromagnetism to financial markets. This new edition of the well-known text by Ockendon et al., providing an enthusiastic and clear guide to the theory and applications of PDEs, provides timely updates on: transform methods (especially multidimensional Fourier transforms and the Radon transform); explicit representations of general solutions of the wave equation; bifurcations; the Wiener-Hopf method; free surface flows; American options; the Monge-Ampere equation; linear elasticity and complex characteristics; as well as numerous topical exercises. This book is ideal for students of mathematics, engineering and physics seeking a comprehensive text in the modern applications of PDEs.

书名：现代数学物理中的非线性演化方程内容简介：本书深入探讨了现代数学物理领域中一类至关重要且极具挑战性的数学对象——非线性偏微分方程（Nonlinear Partial Differential Equations, NPDEs）。本书旨在为高等本科生、研究生以及致力于应用数学、理论物理和工程科学研究的人员提供一个全面而严谨的分析框架，用以理解和求解描述复杂物理现象的核心方程。第一部分：基础理论与分析方法本部分从偏微分方程的基本分类和解的存在性、唯一性理论入手，为后续深入研究打下坚实的数学基础。我们首先回顾了线性偏微分方程（如波动方程、热传导方程）的经典求解方法，如傅里叶变换和拉普拉斯变换，并着重强调了这些方法在处理非线性问题时的局限性。随后，本书聚焦于非线性方程的定性分析。我们详细介绍了 Sobolev 空间理论，这是现代 PDE 理论的基石，用于精确定义弱解的概念，尤其是在解可能不光滑的情况下。对非线性项的处理是本领域的核心难点，本书通过介绍变分原理和能量方法，系统阐述了如何建立解的先验估计，进而保证解的局部乃至全局存在性。特别地，我们深入分析了单调算子理论（如布雷齐斯-文（Brezis-Browder）定理）在椭圆型非线性方程中的应用，探讨了极小曲面方程和哈密顿-雅可比方程的解的正则性。第二部分：经典非线性演化方程的精确解本部分是本书的重点，着眼于那些允许构造出解析解的特定非线性方程，这些方程在光纤通信、流体力学和量子场论中扮演着关键角色。 Korteweg-de Vries (KdV) 方程的深入研究：我们详细剖析了 KdV 方程——描述浅水波传播的经典模型。本书不仅复述了 Boussinesq 理论的背景，更着重讲解了反散射变换 (Inverse Scattering Transform, IST) 这一强大的工具。IST 将一个非线性 PDE 问题转化为一组线性谱问题（如 Schrödinger 算子），并通过演化特征值的过程来构造多孤子解。我们详细推导了双曲势下的二阶散射数据，并清晰展示了如何从散射数据重构原始波包，从而得到双孤子和三孤子解的精确形式。非线性薛定谔 (NLS) 方程： NLS 方程是描述光在介质中传播和 Bose-Einstein 凝聚体的核心模型。本书将 NLS 方程视为复值Schrödinger方程的非线性延伸，并同样应用 IST 框架。我们重点分析了自聚焦和自散焦两种情景下的动态行为。对于聚焦情形，我们推导了纯粹的蛇形（snaking）解和周期性解，并探讨了在有限能量约束下，孤子之间的相互作用（如碰撞和吸引/排斥）。此外，本书也引入了 Darbuix 变换，作为构造特定有限性解（如呼吸子和带状孤子）的替代性方法。 Sine-Gordon (SG) 方程：作为一个具有双曲特性的非线性方程，SG 方程在描述晶体中的位错运动和非线性双晶界面的传播中非常重要。我们利用 SG 方程的 Lax 对结构，推导出其包含亮孤子（bright solitons）和暗孤子（dark solitons）的解集。本书特别关注了亮暗孤子相互作用的细节，这在超导环路动力学中具有实际意义。第三部分：对称性、守恒律与动力学系统本部分将视角从精确解转向方程的内在结构及其长期行为。 Noether 定理与无穷多守恒量：我们详细阐述了连续对称性与守恒律之间的深刻联系，即 Noether 定理。对于 KdV、NLS 等可积系统，我们展示了如何系统地生成无穷多个守恒量，这是判断系统可积性的关键标志。本书探讨了如何利用这些守恒量来限制解的可能行为，例如证明能量或质量在演化过程中保持不变。庞加莱不变式与哈密顿结构：我们将所讨论的方程置于哈密顿力学的框架下。通过识别系统的哈密顿量和相应的泊松括号，我们可以从结构上理解其动力学。我们对比了保守系统和耗散系统在相空间中的行为，并引入了庞加莱不变式来分析保守系统的长期稳定性。奇点形成与爆破分析：许多非线性方程的解会在有限时间内演化出不规则点或“爆破”（blow-up）。本书专门用一章来研究这种现象。我们采用临界指数方法和最大值原理来确定解爆破的时间和位置。特别地，对于某些非线性热方程的变体，我们展示了如何通过对数坐标下的分析来精确估计爆破速率，这在材料失效和流体湍流模型中具有重要的物理指示意义。第四部分：数值方法与计算实现理论分析往往需要数值模拟来验证和探索复杂解的性质。本部分侧重于高效和高精度的数值技术。谱方法和伪谱法：针对具有周期性边界条件的 KdV 和 NLS 方程，我们详细介绍了傅里叶伪谱方法。这种方法在时间积分上采用高阶常微分方程求解器（如龙格-库塔法或隐式中点法），而在空间导数上使用快速傅里叶变换（FFT）进行离散化，从而实现了极高的精度和效率。我们提供了完整的算法流程和实际的 MATLAB/Python 代码实现框架。有限差分方法与有限元方法：对于具有非周期性或复杂几何边界的非线性方程，我们回顾了标准的有限差分方法，并重点讨论了迎风格式（Upwind Schemes）在处理对流占优项时的稳定性和精度问题。此外，我们也简要介绍了在处理非线性边界值问题时，有限元方法所具备的优势，特别是其处理非均匀网格和复杂域的能力。本书的最终目标是培养读者对非线性动力学的直觉，使其能够识别问题的可积性特征，并熟练运用现代分析和数值工具来解决实际中的数学物理问题。通过对经典模型的深入剖析，读者将为进一步探索更前沿的非可积系统、随机演化方程以及相关的几何分析问题做好充分准备。