Techniques in Fractal Geometry pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Wiley

作者:Kenneth Falconer

出品人:

页数:274

译者:

出版时间:1997-04-28

价格:USD 130.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780471957249

丛书系列:

图书标签:

• 数学
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空间、维度与混沌的边界：非欧几何与拓扑学中的现代探索 图书名称：空间、维度与混沌的边界：非欧几何与拓扑学中的现代探索 图书简介： 本书深入探讨了现代数学，特别是微分几何、黎曼几何与代数拓扑学领域中，那些描绘空间结构本质与形变规律的前沿课题。它旨在为高等数学、理论物理以及数据科学的研究者和学生提供一个全面而深刻的视角，理解我们如何从欧几里得的完美三维想象中脱离，进入一个充满弯曲、扭曲和高维抽象的数学宇宙。 第一部分：微分几何的基石与流形的精妙 本书的开篇聚焦于微分几何的核心概念——流形。流形是现代几何学的基石，它允许我们将光滑的微积分工具应用于那些局部看起来像欧几里得空间，但整体结构却可能极其复杂的空间。我们详细阐述了流形的拓扑基础，包括拓扑空间的定义、连续映射的概念及其在流形识别中的作用。随后，重点转向微分结构的建立，考察切空间的构造及其在局部描述物体曲率和速度场的重要性。 切丛（Tangent Bundle）和余切丛（Cotangent Bundle）作为描述流形上所有速度和力场的向量空间集合，被细致地剖析。我们不仅讨论了如何构造这些丛，还深入探讨了向量场在流形上的行为，以及如何通过李导数（Lie Derivative）来衡量这些场如何影响流形上的几何对象，如度量和微分形式。 第二部分：度量、弯曲与黎曼几何的宏伟结构 几何的本质在于度量——如何测量距离和角度。本书的第二部分致力于黎曼几何，这是对欧几里得几何的本质性推广。我们引入黎曼度量张量（Riemannian Metric Tensor），这一关键工具使得在弯曲空间中进行长度、面积和体积的计算成为可能。 讨论的核心之一是联络（Connection）的概念，特别是列维-奇维塔联络（Levi-Civita Connection）。联络定义了如何“平行移动”向量，从而在弯曲空间中保持方向的一致性。这直接引出了测地线（Geodesics）的定义——弯曲空间中“最短路径”的推广。我们将推导测地线的运动方程，并探讨它们在广义相对论中的物理意义。 几何的“非平坦性”由曲率（Curvature）来量化。本书详细分解了黎曼曲率张量（Riemann Curvature Tensor）的构造、其代数对称性，以及它如何编码了流形在不同方向上“扭曲”的程度。我们随后探讨了更简洁的量度，如里奇曲率（Ricci Curvature）和斯卡拉曲率（Scalar Curvature），并讨论了这些量如何在描述物质分布（如爱因斯坦场方程）和流形结构稳定性中扮演关键角色。 第三部分：拓扑学的洞察与不变量的威力 几何描述了“形状”，而拓扑学则关注那些在连续形变下保持不变的性质。本书的第三部分转向代数拓扑学，探索如何使用代数工具来区分和分类不同形状的空间。 我们首先回顾了同伦群（Homotopy Groups），特别是基本群（Fundamental Group），用以捕捉空间中“洞”的代数结构。通过计算不同空间的（例如圆、球面、环面）的基本群，读者将理解为什么有些空间可以通过拉伸或压缩相互转化（同胚），而另一些则不能。 核心部分将集中于同调理论（Homology Theory）。我们介绍了单纯复形（Simplicial Complexes）的概念，并构建了链复形（Chain Complexes），进而定义了同调群（Homology Groups）。这些群（$H_n(X)$）是强大的拓扑不变量，它们量化了空间中$n$维“洞”的数量。书中将详细演算球面、环面以及更复杂的可定向曲面的同调群，并阐述欧拉示性数（Euler Characteristic）作为一种关键拓扑不变量的计算方法。 第四部分：纤维丛与规范理论 本书的最后一部分连接了几何与现代物理的交叉点——纤维丛（Fiber Bundles）理论。纤维丛提供了一种框架，用于在流形上附加额外的结构（如向量空间），这在描述物理场的内部对称性时至关重要。 我们定义了主丛（Principal Bundle）和向量丛（Vector Bundle），并解释了截面（Sections）在物理学中如何对应于场。随后的讨论将聚焦于联络（Connection）在纤维丛上的推广，即纤维丛联络。这不仅是理解经典几何中联络的更高维度视角，更是规范场论（Gauge Theory）的数学基础。我们将探讨如何利用陈类（Chern Classes）——由纤维丛联络定义的拓扑不变量——来描述这些丛的内在几何结构，这些类在拓扑量子场论和微分拓扑学中具有深远意义。 通过对这些相互关联的领域的深入探讨，本书旨在揭示现代几何学和拓扑学如何共同构建了一个描述从最小尺度到宇宙尺度的空间结构和形变规律的统一数学框架。读者将获得分析复杂空间结构、理解几何不变量以及掌握高维抽象思维的必备工具。

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我必须承认，这本书的某些章节，比如关于分形在遍历理论中的应用部分，对我来说阅读门槛稍高了一些。那需要更深厚的拓扑学和测度论背景才能完全领会其精妙。但即便如此，这本书的整体结构设计依然值得称赞。它并非将所有内容一蹴而就地抛给你，而是采用了一种螺旋上升的学习路径。即便是那些略显挑战性的部分，作者也会用一些非常直观的类比来引导你进入情境。例如，描述如何用“收缩映射”来定义分形吸引子时，那种数学上的优雅感是无与伦比的。这本书最大的价值在于培养读者的“分形思维”——学会用不确定性和无限细节去看待世界。这本书的排版和图表质量也极其专业，使得长时间阅读下来眼睛也不会感到疲劳。

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这本书带来的最大震撼，在于它彻底重塑了我对“几何”二字的理解。以往，几何是欧几里得的直线和平面，是规整、可预测的。但《Techniques in Fractal Geometry》展示了一个充满粗糙、无限细节、且内在服从某种深层规律的宇宙。它不仅仅是关于科赫曲线或谢尔宾斯基三角形的简单介绍，而是深入到了分形维数的计算极限、概率测度在非线性动力学中的作用等前沿领域。我尤其喜欢它对“混沌”与“分形”之间微妙关系的探讨，那种在完全随机性表象下寻找确定性规律的探索过程，充满了哲学思辨的魅力。这本书无疑是该领域内一部里程碑式的著作，其深度和广度，足以让初学者感到兴奋，也足以让资深研究者从中获得新的灵感和严谨的论证框架。

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老实说，我拿到这本书的时候，内心是充满期待又带着一丝忐忑的，毕竟“几何”这个词常常和枯燥的公式画等号。然而，这本书完全颠覆了我的刻板印象。它在介绍豪斯多夫维数时，那种严谨的逻辑推导和清晰的层层递进，真的令人拍案叫绝。我以前总觉得维度只能是整数，但这本书让我明白了“分数维度”的意义——它衡量的是一个集合占据空间的“填充程度”。阅读体验非常流畅，仿佛一位经验丰富的向导，正带领你攀登一座充满数学奇观的高峰。书中穿插的那些历史背景介绍，也让这些复杂的理论不再是空中楼阁，而是根植于人类智慧发展的脉络之中。唯一的“遗憾”可能是我需要频繁地停下来，反复揣摩那些证明的巧妙之处，这反而更证明了内容的深度和价值。

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这本书简直是数学爱好者心中的瑰宝，它深入浅出地剖析了分形几何的精髓，那种对细节的极致追求，让我仿佛置身于一个无限嵌套的数学迷宫中。作者的笔触细腻而富有洞察力，将那些抽象的数学概念通过生动的图示和恰到好处的类比展现出来。我尤其欣赏其中关于迭代函数系统（IFS）的讲解，它不仅仅是理论上的阐述，更像是手把手教你如何用数学语言“绘制”出自然的复杂结构。读完这部分，我看向身边的任何一个自然景观，比如一朵花、一片云，都会不由自主地去思考其中蕴含的分形维度和自相似性。这本书的难度适中，对于有一定微积分基础的读者来说，是进入这个迷人领域的绝佳敲门砖。它不会让你感到枯燥乏味，反而会激发你持续探索的欲望，让你忍不住想自己动手去编程实现书中的每一个算法。

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这本书对于实际应用领域的启发性是毋庸置疑的。我是在一个工程项目中偶然接触到这本书的，当时正在研究信号处理中的带宽压缩问题。书中关于自相似集的测度理论，虽然听起来晦涩，但一旦理解了其背后的原理，对优化算法的构建简直是醍醐灌顶。作者对于边界上的精细结构处理得尤为到位，那些看似微小的误差，在分形世界里却可能被无限放大，这本书教我们如何正视并控制这种复杂性。它不是一本简单的教科书，更像是一本工具箱，里面装满了解决非线性问题的尖锐工具。我很少见到一本书能将理论的严密性和工程的可操作性结合得如此完美，读完后，我立刻开始尝试将曼德博集合的生成算法移植到我们项目的一个子模块中，效果令人惊喜。

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