A Reformulation-Linearization Technique for Solving Discrete and Continuous Nonconvex Problems pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Hanif D. Sherali

出品人:

页数:516

译者:

出版时间:1998-12-31

价格:USD 339.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780792354871

丛书系列:

图书标签:

• Nonconvex optimization
• Reformulation
• Linearization
• Discrete optimization
• Continuous optimization
• Mathematical programming
• Global optimization
• Algorithms
• Techniques
• Modeling

《非凸优化：理论、算法与应用》 导言： 在现代科学与工程领域，优化问题无处不在，从资源分配、金融建模到机器学习和控制系统设计，它们构成了许多复杂决策过程的核心。然而，许多现实世界的问题其数学模型最终会归结为非凸优化问题。与凸优化问题在全局最优性保证和高效求解算法方面具有完备的理论基础不同，非凸问题因其可能存在大量的局部最优解、鞍点和病态性质，使得寻找全局最优解成为一项极具挑战性的任务。本书旨在系统地梳理非凸优化领域的经典理论、前沿算法及其在实际问题中的应用，为研究人员和工程师提供一个全面而深入的视角。 第一部分：非凸优化的基础理论 本部分首先奠定非凸优化的理论基石。我们将从经典的凸集和凸函数概念出发，详细剖析非凸性的数学表现形式及其带来的理论难题。 集合与函数的非凸性分析： 详细讨论海森矩阵的特征值、一阶导数和二阶导数分析在识别非凸性中的作用。特别地，我们将探讨拟凸性、拟凹性以及其他弱凸性概念，这些性质在某些特定应用场景下，虽然不能保证全局最优，却能提供比一般非凸问题更好的结构信息。 最优性条件与KKT条件的局限性： 经典的KKT条件是求解约束优化问题的必要条件。然而，在非凸情况下，KKT条件仅能保证找到局部最优解或鞍点。本章将深入探讨高阶最优性条件（如强二阶充分条件）在区分局部最优解与更优解方面的作用，并分析这些条件在实际计算中的可操作性。 复杂度与不可解性： 讨论一般非凸优化问题的计算复杂度，包括NP-难性问题。我们将引入全局最优性的精确性和近似解的概念，并讨论如何在计算资源有限的情况下，对问题的可解性进行合理的评估和界定。 第二部分：全局优化算法与搜索策略 鉴于非凸优化问题的固有难度，寻找全局最优解需要依赖一系列特殊的全局优化技术。本部分专注于介绍和分析现有的主流全局搜索策略。 随机搜索方法： 模拟退火（Simulated Annealing, SA）： 详细阐述基于物理过程的元启发式算法。我们将探讨退火调度策略的设计，包括温度的下降速率对收敛性和解的质量的影响，并比较其在连续和离散空间中的应用差异。 粒子群优化（Particle Swarm Optimization, PSO）与遗传算法（Genetic Algorithms, GA）： 作为进化算法的代表，我们将深入分析这些群智能方法的运作机制、参数敏感性以及它们在处理高维、多模态问题时的优势与局限。 确定性全局优化方法： 分支定界（Branch and Bound）： 侧重于如何通过对可行域的系统划分和局部下界（或上界）的计算，来排除搜索空间中不可能包含全局最优解的区域。我们将讨论如何为非凸目标函数构造有效的松弛（Relaxation）来获得界限。 空间分解技术： 介绍如空间分支法等技术，它们在特定结构问题（如混合整数非线性规划 MINLP）中用于系统地分解复杂问题。 隧道函数与多起点方法： 探讨如何通过设计辅助函数来“隧道化”局部最优势垒，引导搜索过程跳出局部极小点。同时，分析多起点搜索（Multiple Start Search）的统计性质和鲁棒性。 第三部分：局部优化与加速技术 尽管目标是全局最优，但在非凸优化中，高效地收敛到高质量的局部最优解仍然至关重要。本部分聚焦于增强型局部优化方法。 梯度下降的改进： 详细分析动量法（Momentum）、自适应学习率方法（如AdaGrad, RMSProp, Adam）在非凸曲面上的收敛特性。我们将探讨如何选择合适的学习率和初始化策略，以避免过早收敛到尖锐的局部极小值。 牛顿法与拟牛顿法在非凸性下的应用： 讨论标准牛顿法在海森矩阵不定或半正定时如何失效。重点介绍修正海森矩阵的方法，例如Levenberg-Marquardt算法和Trust-Region方法，这些方法通过引入正则化项或限制搜索范围，保证了搜索方向的下降性。 求解鞍点问题： 在许多优化问题（如博弈论、生成对抗网络GANs）中，优化目标转化为寻找纳什均衡点或鞍点。本章将介绍专门用于处理鞍点问题的算法，例如梯度上升-梯度下降（GA-GD）及其稳定化变体。 第四部分：特定结构非凸问题的求解 本书最后一部分关注具有特定数学结构的非凸优化问题，这些问题往往允许更高效的专用算法。 因子分解与交替优化（Alternating Optimization）： 针对变量可以自然分组的问题（如矩阵分解、稀疏表示），讨论如何通过循环优化每个子集变量，同时固定其他变量，以降低问题的维度和复杂度。 半定规划松弛（Semidefinite Programming Relaxation, SDPR）： 探讨如何通过将原有的二次或更高次非凸约束转化为半定约束，从而利用成熟的SDP求解器来获得原问题的近似解。重点分析Goemans-Williamson算法在最大割问题中的应用。 混合整数非线性规划（MINLP）： 专门处理包含连续变量和离散（整数）变量的非凸问题。我们将介绍用于MINLP的Benders分解、拉格朗日松弛以及基于割平面/割平面方法的求解框架。 结论： 本书提供了解决非凸优化问题的全景图，从严谨的数学基础到实用的计算策略。读者将掌握评估问题结构、选择合适算法以及解释和验证求解结果的能力，从而能更有效地应对工程、科学和经济领域中最具挑战性的优化难题。

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这部书的封面设计倒是挺吸引人的，那种简约又不失深度的风格，让人一看就知道里面探讨的内容绝非泛泛之辈。我拿起它时，首先感受到的是一种对复杂性挑战的决心。标题本身就透露出一种技术性的深度，暗示着作者在尝试用一种全新的、结构化的视角去解析那些传统方法难以企及的难题。我猜想，这本书大概会深入探讨如何将那些看似杂乱无章的非凸优化问题，通过一种系统性的“重构-线性化”框架进行梳理和简化。这种处理方式听起来就非常迷人，因为它触及了计算数学和运筹学领域的核心痛点——如何有效应对现实世界中那些固有的非线性和离散性。我期待它能提供一套严谨的理论基础，同时辅以足够多的实例说明，展示这种技术在实际工程或科学研究中的可行性和优越性。如果它真的能提供一套行之有效的“配方”，那么对于深陷于复杂优化泥潭的研究者来说，这无疑是一剂强心针，值得反复研读和实践。

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阅读过程中，我仿佛置身于一个精心搭建的智力迷宫中，每一步的推导都像是在解开一个复杂的谜题。这本书的气质非常“学院派”，它不屑于肤浅的解释，而是直面问题的核心结构。我注意到作者在描述“重构”步骤时，似乎非常注重如何巧妙地引入辅助变量或松弛条件，以便将非凸的耦合项有效地线性化。这种技术层面的精妙操作，往往是区分普通教材和前沿专著的试金石。我很好奇，在涉及“离散”部分时，作者是如何保持计算的连续性和整数要求的精确性的。是采用了某种特殊的割平面法，还是构建了一种全新的松弛边界？这种在离散结构下保持线性化可行性的讨论，无疑是这本书最富挑战性也最具创新性的部分。对于真正想掌握这套方法的读者而言，需要投入大量时间去消化其中的数学细节，这绝不是一本可以快速浏览的书籍，它要求读者带着批判性的眼光去“拆解”每一个证明和每一种构造。

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翻开书页，我立刻被那种对数学严谨性的执着所震撼。作者似乎对每一个概念的引入都进行了详尽的铺垫，确保读者能够平稳地过渡到更深层次的讨论。我注意到书中对于“离散”与“连续”这两种截然不同的数学对象是如何被整合进同一个解耦框架下的探讨，这一点非常精彩。通常，处理这类混合问题需要多种不相容的工具，但如果真能找到一种统一的语言进行描述和求解，那将是巨大的突破。我猜测作者必然花费了大量精力在证明其收敛性和计算效率上，毕竟，一个理论上完美的算法如果实际运行起来效率低下，那也只是纸上谈兵。对于那些需要处理大规模优化任务的工程师来说，他们最关心的莫过于“它跑得快不快，结果准不准”。我希望这本书能在这方面给出令人信服的论证，也许是通过对比经典算法的性能曲线，来彰显这种新技术的独特价值。这种追求实用性和理论完备性的平衡，是衡量一本优秀技术专著的关键标准。

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从布局上看，这本书的结构组织体现了一种清晰的逻辑递进感，从基础概念的澄清，到核心算法的阐述，再到各种特定问题的应用案例，层次分明，衔接自然。我发现，作者似乎特别强调了该方法在处理那些具有强非线性和多模态解空间的优化问题时的优势。这些问题往往是传统内点法或梯度下降法望而却步的禁区，因为局部最优解太多，全局最优解难以捕捉。如果这本书真的提供了一种能系统性地避开或有效搜索这些陷阱的机制，那么它的价值将不可估量，尤其是在金融建模、材料设计或是复杂系统控制等领域。我个人对书中关于“何时停止线性化”以及“如何管理引入的松弛误差”的讨论非常感兴趣。因为在实际应用中，无限次迭代是不现实的，找到一个计算上可接受的精度与理论完美之间的最佳平衡点，才是决定一个算法能否走向工程化落地的关键所在。

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整体而言，这本书散发出一种不妥协的专业气息，它似乎是写给那些已经具备扎实优化理论基础的研究生和资深工程师的。它不是一本入门读物，而更像是一份深入前沿的“作战手册”。我欣赏作者敢于挑战“非凸”这一优化圣杯的勇气，以及试图用一种统一的代数语言去驯服这头野兽的雄心。它需要的不是被动地阅读，而是主动地参与——读者必须不断地在脑海中进行建模和反思，想象如果将自己手头遇到的特定问题套入这个框架会发生什么。这本书的真正价值，也许不在于提供了多少现成的代码片段，而在于它能否彻底重塑读者看待和分解复杂非凸问题的思维模式。如果读者读完之后，能够用一种更具结构性和可控性的眼光去审视那些原本认为“无解”的问题，那么这本书就已经完成了它的历史使命，成为了一部里程碑式的参考著作。

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