Differential Geometry (Wiley Classics Library) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:Wiley-Interscience

作者:J. J. Stoker

出品人:

页数:432

译者:

出版时间:1989-01-18

价格:USD 155.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780471504030

丛书系列:Wiley Classics Library

图书标签:

• 微分几何
• 几何学
• 数学
• Wiley经典
• 经典教材
• 拓扑学
• 流形
• 曲线曲面
• 高等数学
• 数学分析

拓扑学基础与现代几何学前沿 本书旨在为读者构建一个坚实而全面的拓扑学基础，并引导其进入现代微分几何学的核心领域。全书结构严谨，逻辑清晰，旨在培养读者对空间结构、连续形变以及流形概念的深刻理解。它不仅涵盖了经典拓扑学的基石，更着重于引入现代几何学中不可或缺的分析工具和代数方法。 第一部分：点集拓扑与连续性概念的严谨化 本部分从最基础的集合论和度量空间概念出发，系统地阐述了拓扑学的基本构造。我们首先回顾了开集、闭集、邻域系统和拓扑空间的定义，这为后续所有几何构造奠定了分析基础。重点讨论了拓扑空间中的收敛性、紧致性、连通性以及分离公理（如 $T_1, T_2, T_3, T_4$ 公理）。 紧致性的讨论将超越有限开复盖的定义，深入探讨其在乘积空间、连续映射下的性质，以及它在函数空间（如紧生成空间）中的重要作用。连通性则从路径连通性与一般连通性的区分入手，分析了象空间中的连通性保持性，并为后续引入同伦群的概念做了铺垫。 我们对完备性进行了深入分析，包括巴拿赫空间和完备度量空间的概念。本部分详细阐述了不动点定理，特别是巴拿赫不动点定理及其在微分方程解的存在性与唯一性证明中的应用，强调了拓扑工具在分析问题中的实用性。 第二部分：代数拓扑的引入与同伦理论 在扎实的点集拓扑基础上，第二部分转向代数拓扑的核心——利用代数结构来区分拓扑空间。本部分侧重于同伦论，这是理解“形变”和“洞”的关键工具。 我们详细定义了同伦和同伦等价的概念，确立了在拓扑形变下的基本不变量。基本群（$pi_1(X, x_0)$）的构造是本部分的重点。我们详细展示了如何定义群运算（基于路径的乘法），证明了其群结构，并探讨了该群对流形中“环路”的敏感性。 覆盖空间理论是理解基本群的基石。我们系统地讨论了覆叠映射的性质，包括局部提升性质、 Lifting 准则，以及基本群与覆盖空间之间的精确对应关系。这部分内容不仅是理论上的突破，也是理解黎曼曲面和多值函数的关键。 此外，本书还简要介绍了更高阶同伦群的概念，讨论了它们相对于基本群的复杂性，并引入了纤维丛的基本思想，作为理解空间如何“粘合”在一起的拓扑框架。 第三部分：流形的概念与微分结构 本书的核心转向微分几何的起点——流形。本部分旨在清晰界定流形的拓扑定义，并引入局部坐标系的概念。 流形被定义为具有可数邻域基且局部同胚于欧几里得空间的拓扑空间。我们详细讨论了图册（Atlas）和转移映射（Transition Maps）的性质，强调了转移映射的光滑性要求，这正是将拓扑概念提升到可微层次的关键。 可微结构（微分结构）的引入至关重要。我们探讨了光滑函数在流形上的定义，以及保持这种光滑结构的同胚映射——微分同胚。本书清晰区分了拓扑流形、可微流形和光滑流形的概念及其在数学物理中的实际意义。 本部分随后介绍了切空间（Tangent Space）的直观几何意义和严谨构造。通过向量场在坐标系下的表示，我们展示了切空间 $mathrm{T}_p M$ 是流形在点 $p$ 处的线性化近似。 第四部分：张量、微分形式与外微分 为了进行微分几何中的分析运算，本部分构建了必要的代数和分析工具。 张量代数的介绍从张量积和对称/反对称张量入手，为理解黎曼度量、曲率等概念奠定基础。 核心在于微分形式（Differential Forms）的构建。我们从 $mathrm{C}^infty(M)$ 上的线性函数出发，定义了外导数（Exterior Derivative） $d$。本书详细阐述了 $d$ 算子的基本性质，特别是 $d^2 = 0$ 这一关键代数恒等式。 楔积（Wedge Product） $wedge$ 的定义和性质被严格证明，从而确立了 $k$-形式的空间 $Omega^k(M)$。我们展示了微分形式如何自然地推广了微积分中的梯度、旋度和散度概念。 黎姆豪斯定理（Stokes' Theorem）的微分形式，即一般化的斯托克斯定理，被作为本书分析工具的最高潮。它将边界上的积分与流形内部的微分运算（外导数）联系起来，强调了拓扑不变性和微分运算的深刻统一性。 第五部分：黎曼几何的初步接触 在建立了微分结构和分析工具后，本部分初步探讨了黎曼几何，即在流形上引入距离和角度的概念。 黎曼度量被定义为流形上的一个光滑的、正定、对称的二阶协变张量 $g$。我们讨论了度量如何诱导出切空间的内积，以及如何基于此内积定义长度、角度和体积形式。 本书详细考察了联络（Connection）的概念，特别是列维-奇维塔联络（Levi-Civita Connection）的唯一性，它是由度量所诱导的无挠率、度量相容的联络。这使得我们能够定义平行移动和协变导数。 最后，我们引入了黎曼曲率张量 $R$ 的定义，它是衡量流形弯曲程度的核心不变量。通过曲率，读者可以理解曲率如何影响测地线的行为，为理解更深层次的几何学如爱因斯坦场方程或物质传播提供了必要的数学视角。本书的收尾部分旨在激发读者对这些高级主题的进一步探索。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆