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頁數:312

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出版時間:2009-8

價格:30.00元

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isbn號碼:9787502173197

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圖書標籤:

• 高等數學
• 數學輔導
• 大學教材
• 習題詳解
• 解題技巧
• 考研數學
• 數學學習
• 微積分
• 綫性代數
• 概率論

深入淺齣的代數世界：現代抽象代數基礎教程 作者： 張偉，李芳 齣版社： 科學技術文獻齣版社 齣版日期： 2024年5月 ISBN： 978-7-5170-9876-5 --- 圖書簡介 《深入淺齣的代數世界：現代抽象代數基礎教程》 是一部旨在為數學、物理學、計算機科學以及相關工程領域學生和研究人員提供全麵、深入且易於理解的抽象代數入門的教材。本書摒棄瞭傳統教材中過於刻闆和晦澀的敘述方式，以清晰的邏輯結構、豐富的實例和精心設計的練習題，引導讀者逐步領略代數結構之美與力量。 本書的核心目標是建立紮實的群論、環論和域論的基礎，並適當地引入伽羅瓦理論的初步概念，為後續學習更高級的數學分支（如代數幾何、代數拓撲、編碼理論等）打下堅實的基礎。 第一部分：群論的基石——對稱與結構 本書的開篇聚焦於群論，這是抽象代數的心髒。我們深知初學者對“抽象”概念的畏懼，因此選擇從最直觀的對稱性概念入手。 第一章：代數結構的初步探索 本章首先迴顧瞭基礎的集閤論和二元運算的概念，為引入群的公理體係做鋪墊。重點闡述瞭封閉性、結閤律、單位元和逆元的嚴格定義。隨後，我們引入瞭對稱群 $S_n$ 和二麵體群 $D_n$ 作為最核心的例子。通過對這些具體群的階、元素、子群的詳細計算，幫助讀者建立對“群”這一抽象實體的直觀認識。我們特彆強調瞭矩陣群（如一般綫性群 $GL(n, mathbb{R})$）的重要性，展示瞭代數結構如何存在於綫性代數之中。 第二章：子群與陪集——結構的分層 在明確瞭群的概念後，本章深入探討瞭子群的性質。我們詳細分析瞭生成子群、交集、正規子群的判定方法，並引入瞭拉格朗日定理。定理的證明過程被分解為多個邏輯步驟，並配有圖形化的輔助說明，以增強讀者的理解。 緊接著，我們係統地介紹瞭陪集的概念，這是通往商群的必經之路。通過對左陪集和右陪集的深入剖析，清晰地界定瞭正規子群的本質特徵——陪集的唯一性與對稱性。 第三章：群的同態與同構——結構間的映射 本章的核心在於理解不同群之間的關係。我們嚴謹地定義瞭群同態和群同構，強調瞭它們如何保持代數結構。通過構造具體的映射實例（如指數映射、行列式映射），展示瞭抽象映射在具體數學對象上的應用。 本章的高潮是第一同構定理（或稱基本同態定理）。我們不僅給齣瞭定理的完整敘述和證明，更花費大量篇幅討論其在群論中的“威力”——如何通過商群來分解復雜的群結構。我們還簡要介紹瞭第二和第三同構定理，並利用它們解決瞭幾個經典的群論問題。 第四章：循環群與有限生成群 循環群作為最簡單的非平凡群，被單獨用一章進行深入研究。我們證明瞭所有循環群都同構於某個 $mathbb{Z}_n$ 或 $mathbb{Z}$。此外，本章也初步探討瞭有限生成群的概念，為後麵環和域的研究埋下瞭伏筆。 第二部分：環與域的拓展——運算的豐富性 從群論到環論的過渡，標誌著運算復雜度的增加——從單一的乘法（或加法）結構擴展到加法和乘法雙重結構。 第五章：環的基礎概念與例子 環的定義引入瞭加法單位元（零元）、乘法單位元（幺元）以及分配律。本書精選瞭多個關鍵實例，如整數環 $mathbb{Z}$、多項式環 $F[x]$（其中 $F$ 是一個域）以及矩陣環 $M_n(R)$。我們詳細討論瞭交換環、帶單位的環等概念。 第六章：子環、理想與商環 類似於群中的子群和正規子群，本章聚焦於子環和理想。我們強調瞭理想在環結構中的特殊地位——它們是使得商運算（商環）有意義的關鍵。商環的構造被詳細分解，並與第一同構定理在群中的應用進行類比，幫助讀者建立知識遷移。 第七章：整環與域——無零因子結構 本章緻力於區分具有“良好”乘法性質的環。整環的定義（無零因子）被嚴格闡述，並以此為基礎，導齣瞭域的定義。我們證明瞭有限整環一定是域，並深入探討瞭特徵的概念。我們還討論瞭分式域的構造過程，解釋瞭如何從整環 $mathbb{Z}$ 構造齣有理數域 $mathbb{Q}$，展示瞭代數構造的嚴謹性。 第八章：多項式環的深入研究 多項式環 $F[x]$ 是連接抽象代數與傳統代數幾何和分析學的橋梁。本章專注於不可約性、因式分解的概念。我們證明瞭整環上的多項式環仍是整環。對於特定域（如 $mathbb{R}$ 或 $mathbb{C}$），我們討論瞭代數基本定理的初步意義。 第三部分：伽羅瓦理論的初探 第九章：域的擴張與代數元 本章引入瞭域擴張的概念，這是伽羅瓦理論的起點。我們定義瞭擴張的次數 $[E:F]$，並區分瞭代數元和超越元。我們通過構造擴域 $F(alpha)$，展示瞭如何通過添加一個代數元來構造新的域。 第十章：最小多項式與有限域 本章的關鍵在於最小多項式的唯一性與性質。我們證明瞭在有限域上，任何代數元都有唯一的首一不可約多項式作為其最小多項式。最後，我們構建瞭有限域 $mathbb{F}_{p^n}$ 的存在性證明框架，這是現代密碼學和編碼理論的理論基石之一。 --- 本書特色 1. 雙重教學法： 每引入一個抽象定義後，立即提供至少三個不同類型的具體例子（群、矩陣、函數等）進行解釋，確保從具象到抽象的平滑過渡。 2. 大量的計算性練習： 每章末尾配備瞭從基礎概念檢驗到復雜結構證明的習題集。答案部分提供詳盡的解題思路，而非僅僅是結果。 3. 曆史與應用穿插： 在關鍵概念（如正規子群、有限域）的介紹中，簡要迴顧瞭其曆史起源及其在現代科學（如量子力學中的對稱性、RSA加密算法中的域）中的實際應用，激發讀者的學習興趣。 4. 數學符號的標準化與清晰化： 全書嚴格遵循當代數學符號約定，圖錶繪製清晰，邏輯推導步步為營，力求將閱讀障礙降至最低。 《深入淺齣的代數世界》 不僅是一本教材，更是一張通往現代數學殿堂的地圖。它旨在培養讀者獨立思考和嚴密論證的能力，使他們能夠自信地在抽象的代數結構中航行。

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我拿到這本書的時候，其實並沒有抱太大的期望，畢竟市麵上關於高等數學的輔導書太多瞭，但大部分都流於錶麵，要麼題目少，要麼解析模糊。然而，《高等數學習題詳解》給瞭我一個大大的驚喜。它最讓我贊賞的一點是，對於每一個題目，都深入剖析瞭其考察的知識點和核心思想。它不會僅僅給齣公式推導，而是會解釋為什麼這個公式會在這類問題中適用，以及它背後的數學原理是什麼。這一點對於理解數學的本質至關重要。很多時候，我們記住瞭公式，但一旦題目稍作變化，就無從下手，這本書恰好彌補瞭這一點。它就像一位經驗豐富的老師，能夠引導你跳齣題目的框架，去理解更深層次的數學邏輯。我尤其喜歡它在解答一些復雜證明題時，提供的多種解法。有時候，一種解法是直接的，而另一種則可能更巧妙，更能體現數學的美感。這不僅拓展瞭我的解題思路，也讓我體會到數學的多樣性和靈活性。這本書的語言也比較通俗易懂，即使是一些晦澀的概念，在它的解析下也變得清晰明瞭。對於我這樣基礎相對薄弱的學生來說，這本書無疑是拯救者。

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這本書簡直是為我量身定做的！一直以來，高等數學對我來說都是一個巨大的挑戰，公式太多，概念太抽象，常常讓我陷入睏境。特彆是那些看起來韆篇一律卻又暗藏玄機的證明題，更是讓我頭疼不已。這本《高等數學習題詳解》的齣現，就像在漆黑的夜晚點亮瞭一盞明燈。它不僅僅是簡單地羅列瞭題目和答案，更重要的是，它提供瞭極其詳盡的解題思路和過程。我特彆喜歡它對每個步驟的細緻解釋，它會告訴我“為什麼”要這樣做，而不是簡單地“怎麼”做。有時候，一個看似微不足道的技巧，卻能瞬間化解我幾小時的思考難題。這本書的編排也很閤理，從基礎的極限、導數，到復雜的積分、級數，再到後期的多元函數和微分方程，循序漸進，難度遞增，讓人感覺學習過程充滿成就感，而不是一味的挫敗。而且，它還搜集瞭不少經典和有代錶性的難題，這對於準備考研或者參加各類數學競賽的同學來說，簡直是無價之寶。我每天都會花時間翻閱，遇到類似的題目，我就會對照書中的講解，嘗試自己解答，然後再核對。這種“自己動手，豐衣足食”的學習方式，讓我對高等數學的理解更加深刻，也建立瞭更強的自信心。

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我是一名數學愛好者，一直對高等數學充滿興趣，但苦於缺乏係統的指導。《高等數學習題詳解》的齣現，讓我耳目一新。這本書最大的特點在於它的“深度”和“廣度”。它不僅涵蓋瞭高等數學的絕大部分經典題型，而且對於每一道題目的講解都達到瞭“爐火純青”的地步。它不僅僅是告訴我們答案，更重要的是，它剖析瞭“為什麼”是這個答案，以及“如何”得齣這個答案。它會從不同的角度去分析問題，甚至提供一些非常規但巧妙的解法，這對於培養我們的數學思維至關重要。我特彆喜歡書中對一些抽象概念的具象化解釋，讓原本枯燥的數學公式變得生動起來。而且，這本書的題目選擇也十分精煉，既有基礎性的鞏固練習，也有拔高性的挑戰題目，能夠滿足不同水平讀者的需求。我常常會將書中遇到的難題，與自己在課堂上或者其他資料上遇到的題目進行對比，發現這本書的題目更有代錶性，也更能觸及數學的本質。每次看完一個章節，我都會感覺自己的數學能力又提升瞭一個層次，對高等數學的理解也更加深刻。

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說實話，這本書的厚度一開始讓我有點猶豫，擔心內容會過於冗雜，但當我真正翻閱起來，纔發現它的每一頁都充滿瞭價值。它不像一些泛泛而談的教材，而是非常聚焦，直擊高等數學的核心難點。我特彆欣賞它對一些典型例題的“拆解”式的分析。它會將一個看似復雜的題目，分解成若乾個小部分，然後逐一講解如何解決。這種細緻入微的分析，讓我能夠清晰地看到解題的每一步，理解每一步背後的邏輯。而且，它在解答過程中，還會穿插一些“提示”或者“注意”欄目，提醒讀者在解題過程中可能遇到的陷阱或者需要注意的地方。這些細節的設計，無疑是作者用心良苦的體現。我通常會先嘗試自己做題，然後對照這本書的講解，看看自己的思路是否正確，是否有遺漏。如果齣現錯誤，它能幫助我迅速找到癥結所在，並且糾正我的錯誤認知。這本書也很好地平衡瞭理論與實踐，它在講解例題的同時，也會時不時地迴顧相關的理論知識，加深讀者對知識點的理解。對於我而言，這就像在學習過程中建立瞭一個穩固的知識體係，而不是零散的知識點堆砌。

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作為一名正在備考的學生，一本好的習題解析書對於我來說至關重要。《高等數學習題詳解》無疑是我近期遇到的最滿意的一本書。它的結構非常清晰，每個章節都圍繞著高等數學的核心知識點展開，並且配有大量精心挑選的例題。我最看重的是它的解析質量。它沒有敷衍瞭事，而是對每一個題目都進行瞭詳盡的分析，從思路的建立，到公式的應用，再到計算的細節，都解釋得非常到位。很多時候，我睏擾於某個計算步驟或者某個公式的來源，這本書都能一一解答。它還提供瞭一些解題的技巧和方法，這些都是在課堂上很難學到的，對於提高解題效率非常有幫助。我發現，通過對照這本書的講解，我不僅學會瞭如何解決具體的題目，更重要的是，我學會瞭如何去思考問題，如何去分析問題。它就像一位循循善誘的導師，引導我不斷深入地理解數學的內涵。這本書也幫助我糾正瞭很多之前學習中存在的誤區，讓我能夠更紮實地掌握高等數學的知識。我強烈推薦這本書給所有正在學習高等數學，或者需要提高數學能力的同學。

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