Convex Geometric Analysis (Mathematical Sciences Research Institute Publications) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Cambridge University Press

作者:Ball, Keith; Milman, Vitali; Levy, Silvio

出品人:

页数:256

译者:

出版时间:1999-01-28

价格:USD 72.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780521642590

丛书系列:Mathematical Sciences Research Institute Publications

图书标签:

• Convex Geometry
• Geometric Analysis
• Mathematical Analysis
• Optimization
• Functional Analysis
• Partial Differential Equations
• Variational Analysis
• Convex Sets
• Mathematical Institute Publications
• Applied Mathematics

纯粹几何与分析的探索：非凸结构的拓扑与代数视角 本书深入探讨了在传统凸分析框架之外的广阔领域，重点关注非凸几何对象的结构、性质及其在现代数学分析中的应用。全书旨在为研究者提供一个坚实的理论基础，用以处理那些在凸性假设下无法有效分析的问题，特别是在涉及优化、微分几何、以及高维空间中的信息几何时所遇到的挑战。 第一部分：基础与拓扑结构重构 本部分首先回顾了必要的分析工具，但迅速将焦点转移到非凸集和非凸函数的拓扑特性上。 第一章：非凸集的拓扑不变量 本章详细分析了度量空间中非凸集的连通性、紧致性和边界性质。我们引入了广义的“弱凸性”概念，通过次微分的性质来刻画局部“平坦”的区域。重点讨论了拓扑维数在描述不规则集时的局限性，并提出了基于Hausdorff测度和Besicovitch维数的混合度量方法，用以量化集合的“粗糙度”。 我们深入研究了局部凸包与集合本身之间的关系。对于任意集合 $S subset mathbb{R}^n$，我们定义了其“非凸性指数” $kappa(S)$，该指数衡量了将 $S$ 转化为其凸包所需的最小扰动量。在函数空间中，这一概念被推广为可分离性问题，即如何通过局部凸函数序列逼近一个全局非凸函数。 第二章：泛函分析中的拓扑群结构 本章将非凸性置于更广阔的泛函分析背景下。我们分析了 Banach 空间中非凸的闭凸集在弱收敛拓扑下的行为。研究了可分离非凸集的结构定理，特别是当这些集合是连续映射的像时，其内在的代数结构。 关键内容包括对紧致化技术的重新审视。在处理无限维空间中的非凸极值问题时，标准化的紧致化方法往往失效。本章提出了一种基于不对称范数的张量积分解方法，用于研究非凸优化问题的松弛化。此外，我们还探讨了Baire范畴定理在描述具有病态边界的非凸域上的失效条件，并提出了新的拓扑完备性概念。 第二部分：非光滑分析的深化与变分原理 传统非光滑分析（NSO）多建立在凸函数的基础上。本部分则专注于如何将这些强大的工具扩展到非凸、非光滑的环境中。 第三章：次微分的替代品：超微分与广义梯度 对于非凸函数 $f$，标准的 Clarke 次微分 $partial_C f$ 提供了局部极值的必要条件，但缺乏对全局行为的描述能力。本章的核心是Kato-Morimoto 超微分（Super-differential）的概念及其在非光滑优化中的应用。我们展示了如何使用超微分来精确地捕捉函数在尖锐极小值点附近的行为。 我们引入了方向导数的最大包络，并将其与函数的全局 Lipschitz 连续性联系起来。通过研究函数在特定方向上的最大增幅，我们为非凸函数的全局最小化提供了一种新的迭代算法基础，该算法避免了陷入局部鞍点。 第四章：变分不等式与非凸贴合 本章将焦点转向非凸约束下的变分问题。我们考虑了非凸拟变分不等式（Quasi-Variational Inequalities, QVI）的解的存在性。标准的最优性条件（如 KKT 条件）在非凸情况下通常是不可逆的。 我们利用不动点定理的非凸版本——特别是Schauder不动点定理在紧致非凸集上的推广——来证明某些具有非光滑、非凸非线性项的偏微分方程组的解的存在性。我们还探讨了能量泛函在势能景观中的“滚落”动力学，并利用最小作用量原理的非凸推广来描述耗散系统中的平衡点。 第三部分：几何结构的代数处理与稳定性 本部分将分析的工具提升至代数几何和稳定性理论的高度，关注非凸结构如何影响系统的长期演化。 第五章：非凸流形与切空间问题 在黎曼几何中，流形的切空间是线性的。然而，在处理具有奇点的度量空间（例如，通过 Ricci 曲率的负值产生的退化）时，切空间结构变得非凸。本章研究了带边界的黎曼流形上定义的非凸几何量。 我们引入了非均匀 Ricci 曲率的概念，并探讨了测地线在这些空间中如何偏离标准定义。重点在于Penrose 测度在描述奇点附近信息丢失或过载方面的应用。本章的理论框架为广义相对论中奇异时空的分析提供了新的几何视角。 第六章：稳定性分析：从吸引子到拓扑陷阱 对于由非线性动力系统产生的复杂吸引子，如果系统的基本方程是非凸的，那么传统的李雅普诺夫稳定性理论的直接应用变得极其困难。 本章侧重于拓扑陷阱（Topological Traps）的识别。我们利用持续同调（Persistent Homology）来描述系统的长期行为所保留的拓扑特征，即使系统的轨迹在微小的扰动下发生剧烈变化。我们分析了随机系统中非凸势能阱的平均逃逸时间，并将其与随机共振现象联系起来。 最后，我们提出了健壮性（Robustness）的非凸度量，该度量基于系统吸引子在参数空间中变化时其拓扑结构保持不变的区域大小。这对于构建在不确定性下仍能保持功能的复杂网络和物理系统至关重要。 本书的结论在于，理解非凸世界的复杂性，要求我们超越单一的微分或凸性假设，转而采用多尺度的拓扑、代数和泛函分析的综合工具。

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看到《Convex Geometric Analysis (Mathematical Sciences Research Institute Publications)》这本书名，我的脑海中立刻浮现出一种高度抽象且严谨的数学研究场景。这本书很可能是一部专注于“凸几何”在“分析”这一数学分支中的应用的学术著作。换句话说，它将深入探讨那些具有“凸性”特征的几何对象（如凸集、凸锥、凸函数等）在分析学框架下的行为和性质。这可能涉及到在各种数学空间（从简单的欧几里得空间到复杂的函数空间）中，如何利用分析学的工具（如极限、收敛性、微分、积分等）来刻画和研究这些几何对象的特性。MSRI publications这个标签，对我来说，如同品质保证，它意味着这本书的内容必定是经过严格审阅、具有高度学术价值和前沿性的。我预计书中会充斥着精妙的数学定理、严谨的证明，以及可能包含一些开放性问题。对于我这样一名对数学理论深度有着不懈追求的读者而言，这样的书籍无疑是宝贵的资源。我期待它能够带领我深入理解那些在优化理论、偏微分方程、甚至在理论物理和经济学中出现的许多核心问题背后，所隐藏的深刻的凸几何分析的数学原理。

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《Convex Geometric Analysis (Mathematical Sciences Research Institute Publications)》这本书，单从书名而言，就足以勾勒出一幅宏伟的数学图景。我将其理解为是一部深入探索“凸性”这一几何直觉在分析学领域中所扮演角色的学术专著。它很可能不仅仅是简单地罗列凸集和凸函数的性质，而是会将分析学中的强大工具——如微积分、拓扑学、测度论——与几何空间中的凸性概念进行深度融合。我预想书中会涉及诸如凸集的代数结构、其边界的几何特性、以及凸函数在不同分析框架下的行为，比如其梯度、Hessian矩阵的性质，以及在优化问题中的应用。Mathematical Sciences Research Institute Publications这一系列通常以其高水平和前沿性著称，这让我对其内容的深度和广度充满信心，它很可能汇集了该领域最新、最权威的研究成果，或者是一部对经典理论进行系统性梳理的著作。对我而言，这样的书籍往往是打开更深层数学理解的钥匙。我希望通过阅读它，能够更清晰地认识到，那些看似简单的几何概念，如何通过严谨的数学分析，演变成解决复杂问题的强大理论基础，尤其是在偏微分方程的理论、非线性分析、以及优化领域，凸几何分析的影子无处不在。

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我最近翻阅了这本《Convex Geometric Analysis (Mathematical Sciences Research Institute Publications)》，虽然我还没有完全深入到每一个定理和证明的细节之中，但仅仅是浏览其目录和前言，就足以让我感受到一股扑面而来的学术厚重感。首先，从书名来看，它聚焦于“凸几何分析”这个相当精专的领域，这通常意味着它会涉及一些非常基础但又极其重要的数学概念。我推测书中会详细阐述凸集、凸锥、凸函数等在不同度量空间（如欧几里得空间、巴拿赫空间、希尔伯特空间等）中的性质，以及这些性质如何影响其几何形态和分析行为。例如，对于一个凸函数，它在函数空间的某些区域内可能表现出单调性、有界性或者存在全局最小值等特性，这些都是分析学中极其关键的工具。而“几何”的引入，则意味着书中很可能会讨论到诸如支撑超平面、切锥、法锥、点集测度等概念，以及如何用分析的方法去刻画和研究这些几何对象。MSRI publications的背景也让我对其内容的严谨性和前沿性充满信心，这类出版物往往是学术界研究人员的必读之选，代表着该领域当前的研究水平。我尤其期待书中能够探讨一些具有实际应用背景的问题，比如在优化、机器学习、信号处理等领域，凸优化理论扮演着核心角色，而这本书可能为理解这些应用背后的数学原理提供坚实的基础。

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当我第一次接触到《Convex Geometric Analysis (Mathematical Sciences Research Institute Publications)》这本书时，我立刻被它所涵盖的主题深深吸引。这本书的书名清晰地表明了它的研究方向——“凸几何分析”，这是一个结合了抽象几何概念和严谨数学分析方法的交叉领域。从读者的角度来看，我理解这可能意味着书中会深入探讨诸如凸集、凸锥、凸函数等在各种数学空间（包括但不限于欧氏空间、赋范线性空间、测度空间等）中的行为和性质。分析学部分很可能涉及度量空间理论、函数空间、泛函分析等内容，旨在通过分析工具来理解和量化几何对象的特征。MSRI (Mathematical Sciences Research Institute) 出版这个标签，对我而言，意味着这本书的内容极具权威性和前沿性，通常是该领域内顶尖研究人员的学术成果汇编，或者是一套经典而深入的教材。我猜测书中会包含大量严谨的数学证明，定理的表述也会非常精确。对于我这样一名在数学领域有所追求的读者来说，这本书很可能是一次挑战自我的机会，也是一次提升理论认知水平的绝佳途径。我期待它能为我打开理解更复杂数学模型和理论的大门，尤其是在优化理论、偏微分方程、甚至是一些应用数学的分支中，凸几何分析都扮演着不可或缺的角色。

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这本《Convex Geometric Analysis (Mathematical Sciences Research Institute Publications)》的书名本身就透露出一种深邃而严谨的学术气息，让人立刻联想到那一望无垠的数学理论海洋，以及其背后无数位智慧探索者的辛勤耕耘。作为一名对数学，尤其是几何和分析领域抱有浓厚兴趣的读者，我对于这样一本聚焦于“凸几何分析”的著作，自然充满了期待。书名中的“凸几何”暗示着它将深入探讨凸集、凸函数等基本概念在几何空间中的行为和性质，这本身就是一个庞大而迷人的研究分支。而“分析”二字的加入，则预示着这本书将不仅仅停留在几何的直观描述，更会运用分析学的强大工具，如微积分、极限、收敛性等，来揭示这些几何对象的内在结构和动力学规律。Mathematical Sciences Research Institute Publications这个标签更是如同一块金字招牌，保证了其内容的学术深度和前沿性，通常这类出版物都代表着领域内最尖端的研究成果和最权威的论述。因此，我预期这本书会是一次充满挑战却也极为 rewarding 的阅读体验，它将带领我穿梭于抽象的空间，理解那些看似简单却蕴含深刻数学智慧的几何形状，并通过严密的分析方法，揭示它们如何与数学的其他分支紧密相连，例如优化理论、偏微分方程，甚至可能是概率论和统计学。我深信，通过这本书的学习，我的数学视野将会得到极大的拓展，对许多复杂问题的理解也会更加深入和透彻。

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