Calculus of One Variable pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:Random House Trade

作者:J. Douglas Faires

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1989-01

价格:USD 32.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780679300236

丛书系列:

图书标签:

• 微积分
• 单变量
• 高等数学
• 数学分析
• Calculus
• 函数
• 极限
• 导数
• 积分
• 数学

拓扑学基础：从点集到连续性 作者： [此处填写虚构的作者姓名] 出版年份： [此处填写虚构的出版年份] --- 内容提要： 本书旨在为读者提供一个扎实且深入的拓扑学入门。拓扑学作为现代数学的基石之一，其核心在于研究空间在连续形变下保持不变的性质。本书从最基础的集合论和度量空间出发，系统地构建了抽象拓扑空间的概念，并详细探讨了连通性、紧致性以及完备性等关键拓扑性质。 我们摒弃了过度依赖代数工具的传统方法，而是专注于通过直观的几何概念和严格的逻辑推理来阐述拓扑学的核心思想。全书结构严谨，旨在引导初学者平稳地跨越从具体空间到抽象结构的思维鸿沟。内容涵盖了拓扑空间的定义、开集与闭集的结构、邻域系统、连续映射的性质、紧致集的表征定理，直至可数性和分离公理的深入讨论。 本书特别关注点集拓扑（General Topology），并辅以大量的实例和反例来加深对抽象概念的理解。每一章节都配有精心设计的习题，难度循序渐进，以期锻炼读者严谨的数学证明能力。 --- 详细章节概述： 第一部分：预备知识与度量空间（Foundations and Metric Spaces） 第一章：集合论基础回顾与映射 本章作为基础铺垫，快速回顾必要的集合论概念，如笛卡尔积、幂集、关系的定义与性质（自反性、对称性、传递性）。重点阐述了函数的概念，包括单射、满射、双射的严格定义，以及函数在集合上的运算（复合、逆运算）。本章强调了构造数学证明所需的逻辑工具，如“存在性”与“唯一性”的论证方法。 第二章：度量空间的概念与性质 度量空间是连接分析学和拓扑学的桥梁。本章引入度量（Metric）的四大公理，并探讨了常见的度量，例如欧几里得度量、离散度量、曼哈顿度量等。核心内容在于开球（Open Ball）和开集（Open Set）的定义及其拓扑意义。我们详细分析了度量空间中的闭集（Closed Set）、聚点（Limit Point）、内点（Interior Point）和边界（Boundary）的概念，并证明了这些概念之间的相互关系。此外，本章还引入了稠密子集（Dense Subset）的概念。 第三章：收敛性、连续性与紧致性在度量空间中的初步探讨 本章将分析工具应用于度量空间。我们严格定义了序列在度量空间中的收敛性，并证明了序列收敛等价于其邻域的性质。随后，我们引入了度量空间上的连续函数的$epsilon-delta$定义，并证明其与拓扑定义的等价性。紧致性作为度量空间的一个关键性质，在本章中通过开复盖（Open Cover）的有限子覆盖性质进行初步介绍，并探讨了紧致性与闭合性的关系（如Heine-Borel定理在有限维空间中的体现）。 第二部分：抽象拓扑空间的构建（The Construction of Abstract Topological Spaces） 第四章：拓扑空间的定义与基本结构 本章实现了从度量空间到抽象拓扑空间的飞跃。我们定义了拓扑结构（一个集合上的开集族）必须满足的三个公理。重点讲解了邻域系统（Neighborhood System）的概念，说明了邻域如何完全决定一个拓扑结构。本章详细分析了由子集生成的子空间拓扑（Subspace Topology），以及通过函数拉回操作得到的商空间拓扑（Quotient Topology）的初步思想。 第五章：基、相对开集与闭集 为了更有效地描述拓扑结构，本章引入了基（Base）和局部基（Local Base）的概念。我们证明了，一个拓扑结构完全由其基决定，并探讨了如何利用基来判断开集和闭集的成员。本章还重新审视了相对拓扑，用基的概念来构造子空间拓扑的开集族。 第六章：连续映射与拓扑等价性 在抽象拓扑空间下，我们重新定义连续映射，仅依赖于开集和原像（Preimage）的概念。我们将证明，一个映射是连续的，当且仅当它将开集映射到开集（或将闭集映射到闭集）。本章探讨了同胚（Homeomorphism）的概念——拓扑学中的“等价”。同胚的性质是研究拓扑不变量（如连通性和紧致性）的基础。 第三部分：拓扑性质的深入研究（In-Depth Study of Topological Properties） 第七章：连通性（Connectedness） 连通性描述了一个空间是否可以被“分割”。本章定义了连通空间和路径连通空间（Path-Connectedness）。我们证明了连续映射保持连通性。特别地，深入研究了连通分支（Connected Components）的性质，并探讨了在$mathbb{R}^n$中，路径连通性和连通性的等价性，以及在更一般空间中两者之间的差异。 第八章：紧致性（Compactness）的全面解析 本章系统地扩展了对紧致性的理解。我们将紧致性的开复盖定义推广到所有拓扑空间。核心内容包括Tychonoff定理（任意多个紧致空间的乘积仍是紧致的），这是点集拓扑中的一个里程碑式结果。我们详细分析了紧致性在映射下的行为，并阐述了紧致性在分析中的重要性（如连续函数在紧致集上的最大值定理的推广）。 第九章：分离公理（Separation Axioms） 分离公理是衡量拓扑空间“良性”程度的尺度。本章依次介绍了T0, T1, T2 (Hausdorff) 公理。我们证明了度量空间都是Hausdorff空间。紧接着，我们探讨了正则性（Regularity, T3）和正规性（Normality, T4）。我们证明了在T3空间中，紧致性和局部紧致性（Locally Compactness）之间的微妙联系，并阐述了Urysohn引理和Tietze扩展定理（作为T4空间的推论，展示了分析中的应用潜力）。 第四部分：完备性与构造性拓扑（Completeness and Constructive Topology） 第十章：完备性与Baire范畴定理 完备性是度量空间中至关重要的概念，它确保了“柯西序列”的收敛性。本章正式定义了完备度量空间，并探讨了完备化（Completion）的过程（即构造实数$mathbb{R}$的拓扑证明之一）。本章的重头戏是Baire 范畴定理，该定理强有力地证明了完备的度量空间中，某些“大的”子集必定是稠密的。 第十一章：积空间与商空间 本章关注如何从已知的拓扑空间构造新的复杂空间。积空间（Product Space）的拓扑结构通过乘积拓扑定义，这是理解高维空间的关键。商空间（Quotient Space）的构建则涉及等价关系和商映射，它是理解流形（Manifolds）和构造复杂几何对象（如环面、射影空间）的必要工具。本章最后通过实例展示了如何利用商拓扑来定义拓扑和代数结构间的联系。 --- 目标读者： 本书面向具有微积分基础（但不需要涉及多变量微积分中的严谨拓扑讨论）的数学系本科生，以及希望系统学习点集拓扑学的物理、计算机科学和工程学专业的学生。它也适合希望复习和加深对拓扑学基本概念理解的研究生。 本书特色： 1. 直观与严谨并重： 每一个抽象定义都配有几何直观的解释和度量空间的具体实例。 2. 强调反例： 许多章节通过精心构造的反例来凸显分离公理和紧致性性质在不同拓扑空间中的差异，避免读者产生“所有空间都像欧几里得空间”的误解。 3. 证明的完整性： 书中所有关键定理的证明都详细展开，旨在培养读者独立构造数学论证的能力。 --- 参考文献（节选）： [虚构文献 A] [虚构文献 B] [虚构文献 C]

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

我是一名即将进入工程领域的研究生，微积分对我来说是必不可少的工具。在翻阅了市面上几本不同的微积分教材后，我选择了《单变量微积分》。这本书的深度和广度都恰到好处，它没有像一些过于理论化的书籍那样，把读者淹没在抽象的证明中，也没有像一些过于浅显的书籍那样，对关键细节一带而过。作者在介绍每一个定理和公式时，都会给出严谨的数学证明，但同时又会辅以直观的几何解释和物理意义的阐述，这对于我这种需要将理论应用于实践的学生来说，非常有帮助。我特别欣赏书中关于级数的部分，讲解得非常细致，尤其是在收敛性的判定上，提供了多种方法和技巧，让我能够灵活运用。而且，书中的习题难度梯度设计得非常好，从简单的计算题到复杂的证明题，层层递进，让我能够充分巩固所学知识。读完这本书，我觉得自己对单变量微积分的理解已经达到了一个全新的高度，为后续更深入的学习打下了坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

这本书给我带来了完全不同于以往的学习体验。我之前接触过一本微积分教材，内容繁杂，概念跳跃，让我觉得学起来异常吃力，甚至一度放弃了深入学习微积分的念头。《单变量微积分》这本书的风格则截然不同。它更像是一位经验丰富的老师，循循善诱，耐心地引导你一步步走进微积分的世界。书中的图示和图表运用得非常巧妙，将抽象的数学概念形象化，让我更容易理解。比如，在讲解函数的连续性时，书中提供的图形变化过程，比任何文字描述都更能说明问题。而且，书中的练习题不是为了练习而练习，很多题目都带有一定的“故事性”，让你在解决问题的过程中，体会到数学的趣味。我特别喜欢书中的“思考题”部分，这些题目不一定有标准答案，但它们能够激发你去探索、去思考，去用不同的角度理解同一个概念。总而言之，这本书让我觉得学习微积分不再是一件枯燥乏味的事情，而是充满了探索和发现的乐趣。

评分☆☆☆☆☆

作为一名已经工作多年的软件工程师，我一直觉得自己在数学方面有所欠缺，尤其是在处理一些涉及优化、拟合、或者分析算法复杂度的问题时，常常会感到力不从心。《单变量微积分》这本书的出现，正好弥补了我的这一遗憾。它的讲解风格非常务实，强调的是概念的实际应用，而不是 pure math 的严谨性。例如，书中在讲解积分时，就非常生动地展示了如何用积分来计算面积、体积，甚至是物理量在时间上的累积效应。这让我立刻联想到自己在工作中遇到的各种需要累加、累积的场景，瞬间就找到了数学工具的应用价值。书中的案例研究部分尤其出色，选取了一些在科学和工程领域中具有代表性的问题，然后用微积分的知识来分析和解决，这让我看到了数学在解决实际问题中的强大力量。这本书不仅让我重新梳理了单变量微积分的知识体系，更重要的是，它激发了我将数学思维融入到日常工作中的热情。

评分☆☆☆☆☆

不得不说，这是一本相当有“灵魂”的微积分教材。与我之前接触过的许多教材不同，《单变量微积分》不仅仅是在传递知识，更是在传递一种数学的思维方式。作者在讲解每一个概念时，都会深入探讨其背后的逻辑和思想，让你不仅仅是记住公式，更能理解“为什么是这样”。书中的语言非常精炼，没有一句废话，但却充满了智慧。我尤其欣赏作者在处理一些争议性或者容易引起混淆的概念时，所表现出的细致和周全。例如，在讲解不定积分和定积分的关系时，作者花了相当大的篇幅来澄清其中的区别和联系，并且通过一些精心设计的例子，让读者能够彻底理解。这本书的结构安排也十分合理，逻辑性极强，每一个章节都像是为下一章节铺垫，让你在不知不觉中，构建起一个完整的知识体系。读完这本书，我感觉自己对微积分的理解已经上升到了一个更高的层次，不仅仅是会计算，更是能够理解其内在的精妙之处。

评分☆☆☆☆☆

这本《单变量微积分》简直是让我醍醐灌顶！作为一名对数学始终有点敬而远之的文科生，我一直认为微积分是高深莫测、遥不可及的。然而，这本书彻底颠覆了我的认知。作者的讲解方式异常清晰，从最基本的概念入手，比如极限的直观理解，就用了大量生活化的例子，让我一下子就抓住了核心。接着，对导数的引入，也不是枯燥的公式堆砌，而是循序渐进地展示了它在描述变化率、斜率等方面的强大作用。每一次的概念过渡都非常自然，好像作者知道我会在哪里卡壳，并在那里留下了恰到好处的解释和引导。我尤其喜欢书中对微分方程的初步介绍，虽然只是蜻蜓点水，但已经让我看到了数学在模拟现实世界动态过程的潜力。书中的例题设计也十分精妙，既有基础的计算练习，也有一些需要稍微思考才能解出的应用题，这让我感觉自己真的在一点点地掌握知识，而不是死记硬背。读完这本书，我不仅对单变量微积分有了扎实的理解，更重要的是，重拾了对数学的兴趣和信心。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆