An Elementary Treatise on Quaternions pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:BiblioLife

作者:Peter Guthrie Tait

出品人:

页数:344

译者:

出版时间:2009-02-11

价格:USD 19.99

装帧:Paperback

isbn号码:9781103240944

丛书系列:

图书标签:

• Quaternions
• Mathematics
• Algebra
• 19th Century
• Hamilton
• Mathematical Analysis
• Vector Algebra
• Pure Mathematics
• Scientific Treatise
• History of Mathematics
• Calculus

好的，这是一部关于四元数理论的入门级著作的简介，它专注于基础概念的阐述和应用领域的初步探索，旨在为读者提供一个坚实的数学基础。 《四元数基础论：理论与应用入门》 本书是一部旨在向读者系统介绍四元数代数基础的著作。它摒弃了对复杂、前沿研究的涉猎，而是专注于构建一个清晰、可理解的理论框架，使初学者能够逐步掌握四元数的本质、运算规则及其在几何与物理学中的基础应用。全书的叙事风格力求严谨与直观并重，避免晦涩的数学术语堆砌，而是通过大量的实例和几何解释来深化读者的理解。 第一部分：四元数的诞生与基本结构 本书的开篇详尽回顾了虚数单位 $i$ 扩展至三维和四维空间的数学动机。在深入四元数 $mathbb{H}$ 的结构之前，我们首先需要理解标量部分与向量部分的区分，这是理解四元数运算逻辑的关键。 第一章：超越复数：对空间旋转的探索 本章首先回顾了复数在二维平面旋转中的作用，并指出其在三维空间旋转描述上的局限性。随后，引入了威廉·哈密尔顿（William Rowan Hamilton）提出四元数的历史背景，特别是他寻找一种能够将三个互相垂直的虚数单位 $i, j, k$ 组合起来的代数结构的努力。 第二章：四元数的定义与代数结构 明确定义了四元数的标准形式 $q = a + bi + cj + dk$，其中 $a, b, c, d$ 是实数。详细阐述了乘法规则的核心——“基础关系式”： $$i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1$$ 以及由此导出的 $ij = k$, $ji = -k$, $jk = i$, $kj = -i$, $ki = j$, $ik = -j$ 等关键交叉关系。通过系统的矩阵表示法（此处不涉及复杂的矩阵群论，仅作为辅助理解工具），展示了四元数乘法的非交换性，这是其与实数和复数代数最根本的区别。 第三章：代数运算的精细解析 本章是运算基础的巩固。详细讲解了四元数的加法、减法、标量乘法，以及至关重要的四元数乘法。特别强调了共轭（Conjugate）的概念 $ar{q}$ 和模（Norm）的概念 $|q|$，并证明了模的乘法性质 $|q_1 q_2| = |q_1| |q_2|$，这为后续的规范化和逆运算奠定了基础。引入了单位四元数（Unit Quaternions）的概念，它们在描述旋转中扮演核心角色，其模恒为 1。 第二部分：几何解释与空间映射 四元数之所以强大，在于其对三维空间旋转的优雅描述。本部分将理论与直观的几何图像相结合。 第四章：标量与向量分解及其几何意义 将四元数 $q = (a, mathbf{v})$ 分解为标量部分 $a$（对应实部）和向量部分 $mathbf{v} = bi + cj + dk$（对应虚部）。探讨了四元数的点积（Dot Product）和叉积（Cross Product）在四元数框架下的重新构建，这虽然不完全等同于标准向量运算，但揭示了四元数作为四维空间元素如何编码三维几何信息。 第五章：四元数与三维旋转 这是本书的核心应用之一。详细介绍了如何使用一个单位四元数 $u$ 来表示绕任意轴 $mathbf{r}$ 旋转角度 $ heta$ 的操作。给出了旋转四元数的显式构造公式： $$u = cos(frac{ heta}{2}) + sin(frac{ heta}{2})(r_x i + r_y j + r_z k)$$ 并解释了如何通过“共轭乘法”——即对一个向量四元数 $v$ 进行 $u v u^{-1}$（对于单位四元数 $u^{-1} = ar{u}$）的操作，实现该向量在三维空间中的旋转。本章包含大量二维和三维的图示，辅助理解旋转轴和旋转角的选取。 第六章：旋转的组合与插值 讨论了如何将多个旋转操作串联起来，即通过单位四元数的乘法来复合旋转。重点引入了Slerp（球面线性插值）的概念。由于四元数在四维超球面上表示旋转，线性插值（Lerp）在旋转路径上会导致非匀速运动，而 Slerp 保证了旋转角速度的恒定性，这在动画和机器人学中至关重要。本章提供了 Slerp 的几何推导和计算步骤。 第三部分：四元数在物理与工程中的初步应用 本书的最后一部分将理论知识应用于初步的实际问题，展示四元数的实用价值。 第七章：欧拉角与万向节锁的局限性 为了更好地凸显四元数的优势，本章详细剖析了使用欧拉角（如 Z-Y-X 顺序）描述三维旋转时出现的“万向节锁”（Gimbal Lock）现象。通过具体的坐标变换示例，展示了当某一轴对齐时系统自由度的损失，并明确指出四元数代数能够天然规避这一结构性缺陷。 第八章：应用于刚体动力学基础 简要概述了四元数在描述刚体运动（特别是角速度和角动量）中的作用。介绍了如何通过四元数的时间导数来定义角速度的矢量表示，并对比了与使用旋转矩阵描述刚体运动的计算效率和稳定性。这部分内容侧重于概念引入，而非深入的微分方程求解。 总结与展望 全书在结尾处总结了四元数作为一种高效、无奇点的三维旋转表示工具的地位，并简要提及了其在更高级领域如广义相对论中的潜在线索，鼓励读者在掌握基础后进一步探索更深层次的数学结构。本书旨在为读者提供一个坚实、清晰的四元数入门路径，使其能够自信地将其应用于实际的工程和几何计算中。

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这本书《An Elementary Treatise on Quaternions》，绝对是一部值得细细品味的数学经典。它并非那种快速翻阅就能掌握的书籍，而是需要投入时间和精力，去沉浸其中，去与之对话。作者的写作风格，可以说是既有大家风范，又不失循循善诱。他仿佛一位经验丰富的导师，总是能在我感到困惑时，适时地提供指引，或者用更浅显的比喻来点亮我思维的盲区。我尤其赞赏书中对于四元数代数结构与其几何意义的融合阐述。当我读到四元数如何巧妙地编码了三维空间中的旋转时，那种数学的优雅和简洁性让我惊叹不已。作者在这一部分的讲解，逻辑非常清晰，步骤也十分到位，使得我能够一步步理解这个看似神奇的数学工具。他对于不同数学对象之间的类比和联系的梳理，也为我提供了一个更宏观的视角来理解数学的统一性。这本书让我体会到，真正的数学学习，不仅仅是记住公式和定理，更是理解它们背后的思想和联系。每一次攻克书中稍显复杂的证明，都带来一种成就感，也让我对数学的敬畏之情油然而生。总而言之，这是一本能够真正提升数学理解力、培养数学思维的书籍，是我近期阅读中最具启发性的一本。

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《An Elementary Treatise on Quaternions》这本书，对我而言，更像是一次对数学思维进行深度重塑的契机。在阅读过程中，我感受最深的是作者对逻辑严谨性的极致追求，以及他对数学概念清晰性的不懈努力。他所构建的四元数体系，逻辑上环环相扣，如同精密的机械装置，每一个部件都发挥着不可或缺的作用。让我印象深刻的是，作者在介绍四元数的各项运算时，总是会先给出定义，然后详细推导其性质，并且不厌其烦地用例子来佐证。这种“铺垫”式的讲解方式，虽然增加了阅读的篇幅，但却极大地降低了理解的门槛，确保了即使是初学者也能逐步跟上他的思路。我特别欣赏他在讨论四元数与复数之间的关系时，所展现出的洞察力。他不仅指出了它们之间的相似之处，更强调了四元数在处理三维空间问题上的独特性和优越性。这本书让我意识到，数学的强大之处不仅在于其结论的精确性，更在于其构建过程的严谨性和逻辑的深刻性。它迫使我不断反思自己原有的数学认知，挑战固有的思维模式，并以一种更开放、更批判的态度去审视新的数学概念。这本书的价值，远不止于学习四元数本身，更在于它对阅读者数学思维方式的潜移默化影响。

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说实话，拿起《An Elementary Treatise on Quaternions》之前，我对四元数的了解几乎为零，只依稀记得它似乎是某种高阶的数学工具。这本书的阅读体验，就像是在一场精心设计的数学探险中，我作为探险者，被一步步引导着深入未知领域。作者的叙述风格非常严谨，但又不乏逻辑的清晰和条理的流畅。他擅长于将复杂的概念层层剥离，直至最核心的原理显露出来。在处理四元数的基本运算和性质时，他表现出了极强的体系化能力，将四元数的世界构建得井井有条。我尤其喜欢他对于四元数结构与几何空间之间联系的阐述。读到关于四元数如何表示三维空间旋转的部分，我感觉自己仿佛亲手解开了一个历史悠久的数学谜团。作者并非简单地罗列定理，而是通过深入浅出的推导，让我们理解每一个结论的由来。有时，我会因为某个推导过程稍微复杂而停下来，仔细演算，享受那种克服困难、获得理解的满足感。书中穿插的一些历史轶事和数学家的贡献，也为这段数学旅程增添了不少色彩，让我觉得这不仅仅是一本技术手册，更是一部数学思想的演进史。总的来说，这本书为我打开了一扇通往更广阔数学世界的大门，让我看到了数学的无穷魅力和深刻内涵。

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我最近刚结束对《An Elementary Treatise on Quaternions》的阅读，真是让人意犹未尽。这本书并非我想象中的那种枯燥乏味的纯数学教科书，反倒像是一位饱经风霜的老者，用他深邃的智慧和严谨的逻辑，娓娓道来一个关于数域扩张的宏大故事。作者在开篇就巧妙地将我们引入了一个超越实数和复数的世界，让我初次接触四元数时，既有初识陌生事物的戒备，又被那股数学上的优雅和潜力所吸引。书中的论证过程，虽然有时需要反复推敲，但每一步都扎实稳健，仿佛在攀登一座座知识的高峰，登顶之后，眼前的风景便豁然开朗。我特别欣赏作者在阐述抽象概念时，常常辅以直观的类比和几何解释，这极大地帮助我理解那些抽象的代数结构。例如，在描述四元数的乘法时，他并没有直接丢给我们一堆公式，而是先从三维旋转这个具体问题切入，让我能更深刻地体会到四元数在解决空间问题上的优越性。这种将抽象理论与实际应用相结合的处理方式，使得这本书既具有学术的深度，又不失阅读的趣味性。读完此书，我感觉自己的数学视野得到了极大的拓展，对抽象代数有了更深刻的理解，甚至开始思考它在物理学、工程学等领域的潜在应用，那种“原来还可以这样想”的顿悟感，着实令人欣喜。

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《An Elementary Treatise on Quaternions》这本书，如同一座深邃的知识宝库，等待着有心人去发掘。作者以一种既宏大又细致的笔触，为我描绘了一个我从未深入探索过的数学领域——四元数。他的叙述方式，初期可能会让人感到些许挑战，因为他并没有回避数学的严谨性，而是直接将我们置于一个需要认真思考和演算的环境中。但正是这种“不设门槛”的态度，反而激发了我更强的求知欲。在阅读过程中，我发现作者并非机械地堆砌公式，而是注重解释概念的起源和发展，以及它们之间的逻辑关联。例如，他在介绍四元数乘法非交换性的重要性时，就详细阐述了这与三维空间旋转的本质密切相关。我特别喜欢他对于四元数如何优雅地解决了复数无法直接处理三维旋转的局限性的论证。这种“前后呼应”和“承上启下”的讲解方式，让知识体系显得更加完整和连贯。虽然有些地方需要反复阅读和思考，但这种“啃硬骨头”的过程，却让我对数学有了更深的体会和理解。这本书让我明白，学习数学，尤其是高阶数学，需要耐心、毅力和对知识本身的热爱。它不仅仅是一本书，更是一次心灵的洗礼，一次对自身数学能力的挑战和提升。

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