Introduction to Stochastic Differential Equations (Pure and Applied Mathematics) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Marcel Dekker Inc

作者:Thomas C. Gard

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1987-10-27

价格:USD 125.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780824777760

丛书系列:

图书标签:

• Stochastic Differential Equations
• SDE
• Probability
• Mathematical Finance
• Stochastic Analysis
• Differential Equations
• Pure Mathematics
• Applied Mathematics
• Calculus
• Measure Theory

《随机过程中的动态演化：从理论到应用》 作者： [此处可填写虚构作者名，例如：李明，张伟] 出版社： [此处可填写虚构出版社名，例如：高等教育科学出版社] --- 内容简介 本书旨在为读者提供一个全面而深入的视角，探讨随机过程在建模和分析复杂动态系统中的核心理论与广泛应用。我们聚焦于那些由内在不确定性驱动，并在时间维度上持续演化的系统，涵盖了从基础的马尔可夫链到更为复杂的鞅论结构。本书的结构设计旨在平衡理论的严谨性与实际应用的启发性，适合数学、物理、工程、金融及生命科学等领域的研究人员、研究生及高年级本科生作为教材或参考书。 第一部分：随机过程的基础框架 本部分首先奠定了随机过程分析的理论基石。我们从概率论的基本公理出发，系统回顾了测度论、条件期望以及Lp空间等必要的数学工具，为后续的深入讨论做准备。 第1章：随机变量与概率空间回顾 本章细致梳理了概率空间、随机变量、随机向量的定义及其性质。重点讨论了随机变量的收敛性（依概率收敛、几乎必然收敛、依平方平均收敛）及其相互关系，强调了这些收敛概念在处理时间序列极限时的重要性。 第2章：随机过程的构造与分类 随机过程被定义为随时间参数变化的随机变量族。本章详细介绍了连续时间和离散时间过程的区分，并引入了重要的概念，如样本路径的性质（连续性、可测性）。我们深入探讨了平稳性（宽平稳、严平稳）的概念及其对过程分析的简化作用，并讨论了增量独立性和增量平稳性的区别。 第3章：马尔可夫性与马尔可夫链 马尔可夫性——“未来只依赖于现在，而与过去无关”——是随机过程理论中最核心的假设之一。本章详细介绍了离散时间和连续时间的马尔可夫链。 离散时间马尔可夫链（DTMC）： 重点分析了状态空间结构（常返性、瞬时性、正常返性），并详述了极限分布的存在性与唯一性（平稳分布的计算，例如使用平移不变性或平衡方程）。 连续时间马尔可夫链（CTMC）： 引入了泊松过程作为基础，阐述了跳转过程的性质，并详细推导了无穷小生成元（Q矩阵）与微分方程组（Kolmogorov 前向和后向方程）之间的关系，用于描述状态概率随时间的演化。 第二部分：核心过程与鞅论基础 本部分转向一类在分析学上更具挑战性但应用更为广泛的过程，尤其是与积分和优化密切相关的鞅论。 第4章：鞅、次鞅与超鞅 鞅论是概率论的高级工具，它提供了一个处理信息流（过滤）下条件期望的框架。本章严格定义了过滤（$sigma$-代数流）和信息更新机制。 鞅与公平博弈： 详细分析了鞅的性质，特别是鞅收敛定理及其在公平博弈分析中的直观意义。 次鞅与信息积累： 讨论了次鞅（如升托过程）在表示信息不完全下的最优策略和下界估计中的作用。 停止时间与可选停止定理： 这是应用鞅论解决实际问题的关键。我们将探讨可选停止定理的条件（Doob 定理）及其在金融定价和最优控制中的初步应用。 第5章：连续时间过程的进阶结构 本章聚焦于那些在连续时间上具有特定平滑性要求的过程，这些过程是随机分析的桥梁。 布朗运动（维纳过程）： 详细介绍布朗运动的构造、二次变差、无穷小的性质（如无处可微性）。深入探讨了布朗运动的平移不变性、标度不变性及其路径的几何特性（如到达时间、最大值分布）。 伊藤积分的引入： 鉴于传统黎曼-斯蒂尔切斯积分无法处理布朗运动的路径，本章简要介绍了构造随机积分（伊藤积分）的必要性，强调其与标准测度论积分在定义上的根本区别。 第三部分：随机微分方程的理论与应用基础 本部分将随机过程的理论知识应用于求解描述动态系统的随机微分方程（SDEs）。 第6章：随机积分与伊藤引理 这是从经典微积分过渡到随机微积分的关键一步。 伊藤积分的构建： 严谨定义了伊藤积分，讨论了其作为随机测度上积分的性质，包括鞅性、等距性质。 伊藤引理（随机微积分基本定理）： 详细推导和应用伊藤引理。本章通过大量示例（如对函数 $f(X_t)$ 求微分，随机指数函数的演化）说明如何将普通函数的链式法则推广到随机环境下，这是解决所有SDEs的基础。 第7章：一维随机微分方程的解法 本章侧重于解一阶SDEs，并探索解的存在性与唯一性。 欧拉-马尔可夫方法： 介绍求解SDE的数值近似方法，为理解随机系统的动态行为提供直观工具。 解析解技巧： 对于具有特定形式的SDEs（如线性SDE），我们将展示如何利用伊藤引理进行变量代换，将其转化为可解的常微分方程或退化为布朗运动本身。 解的性质分析： 探讨解路径的平稳性、爆炸时间（若存在）以及其依赖于扩散项强度的行为。 第四部分：随机过程在特定领域的建模 本部分将前述的理论工具应用于具体的科学和工程问题，展示随机过程的强大解释力。 第8章：扩散过程与福克-普朗克方程 扩散过程是SDEs解所产生的随机轨迹集合。本章将重点从宏观角度描述这些过程的概率密度函数演化。 密度函数的演化： 详细推导了扩散过程的密度函数所满足的偏微分方程——福克-普朗克方程（Fokker-Planck Equation, FPE）。 与SDEs的对偶性： 阐明了福克-普朗克方程（描述概率密度）与生成随机轨迹的随机微分方程（描述个体路径）之间的深刻联系。讨论了在何种条件下，FPE可以简化为薛定谔方程或热传导方程。 第9章：随机系统中的优化与控制 本章将随机过程引入决策科学。 随机控制问题概述： 建立在随机动力学模型上寻找最优控制律的问题框架。 动态规划与贝尔曼方程： 在确定性最优控制的基础上，介绍在随机环境下求解最优控制的动态规划方法，即随机贝尔曼方程的建立，重点讨论其作为 HJB（Hamilton-Jacobi-Bellman）方程的随机形式。 第10章：随机网络与排队论基础 本章将随机过程应用于离散事件系统和资源分配问题。 马尔可夫调节队列（M/M/1, M/G/1）： 使用连续时间马尔可夫链理论分析基本的排队系统，计算系统的稳态性能指标（平均等待时间、系统占用率）。 网络流与连通性： 引入随机图模型，探讨网络中信息或货物流动的随机性及其对系统鲁棒性的影响。 --- 本书特色： 理论与直觉并重： 每引入一个重要概念，都辅以详尽的数学推导和直观的物理或工程学解释。 侧重应用驱动的分析： 强调如何将抽象的随机工具应用于具体问题的求解，而非纯粹的数学构造。 严谨的数学基础： 虽然专注于应用，但对鞅论、伊藤积分等核心概念的处理保持了数学分析的严格性，确保读者能真正掌握其内在机制。 本书力求使读者不仅能“使用”随机过程，更能深刻理解其背后的概率结构和动态规律。

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首先映入眼帘的是这本书的设计风格，简约而不失专业性。我倾向于这类书籍，它们通常意味着作者在内容组织和知识传达上有着清晰的思路。对于《随机微分方程导论》这本书，我的第一感觉是它极有可能是一个扎实的入门指南，会帮助我系统地掌握随机微分方程这一重要的数学工具。我猜想，它会从概率论中的基础概念开始，比如随机变量、期望、方差，然后引入随机过程，特别是布朗运动。之后，会详细介绍伊藤引理，这是理解随机微分方程的关键。我期待书中会有对一些经典随机微分方程模型（例如 Ornstein-Uhlenbeck 过程）的讲解，以及它们在不同领域的应用背景介绍。当然，一本好的导论，少不了对数学严谨性的追求，我希望它在证明定理的过程中，会给出详尽的步骤和清晰的逻辑，让我能够理解为什么这些理论成立。总的来说，这本书在我看来，是一扇通往随机分析世界的大门，它将引领我一步步探索那些充满不确定性但又遵循一定规律的数学模型。

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这本书的封面设计给我一种非常经典和学术的感觉，柔和的蓝色搭配沉稳的字体，让人立刻联想到深入研究的氛围。我还没来得及翻开它，仅仅是它的存在就让我对即将开始的探索之旅充满了期待。作为一名对数学理论有着浓厚兴趣的学生，我一直在寻找能够系统性地引导我进入某个新领域的书籍，而《随机微分方程导论》这个标题，以及“纯粹与应用数学”这个副标题，似乎正是我所寻觅的那种。我设想它会是一本严谨而又不失条理的书，从最基础的概念讲起，循序渐进地引导读者理解那些看似复杂的随机过程和它们的微分方程形式。我尤其好奇它在“纯粹”和“应用”之间是如何平衡的，是侧重于理论的构建和证明，还是更注重其在物理、金融、工程等领域的实际应用？我期望它能用清晰的语言解释那些抽象的数学概念，并辅以恰当的例子，让初学者也能感受到其中的魅力，而非望而却步。这本书的出版，无疑为我提供了一个绝佳的学习契机，我迫不及待地想揭开它的面纱，让我的学术视野得到拓展。

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这本书的标题就充满了吸引力，特别是“导论”二字，这让我觉得它为我这样的初学者提供了绝佳的学习路径。我设想这本书会以一种非常直观且循序渐进的方式，带领我进入随机微分方程的奇妙世界。我猜测它会从最基础的概念讲起，比如什么是随机过程，以及为什么我们需要用微分方程来描述它们。我期待书中能有生动形象的比喻或者例子，来帮助我理解那些抽象的数学概念，比如布朗运动是如何被建模的，以及伊藤积分的意义所在。我非常好奇它会如何处理随机微分方程的解的存在性和唯一性问题，以及如何进行数值模拟。如果书中还能包含一些实际应用案例，比如在金融建模中的风险管理，或者在物理学中的扩散过程，那将是对我来说非常有价值的补充。我希望这本书能够让我对随机微分方程有一个清晰而深刻的认识，并且能够为我进一步深入学习打下坚实的基础。

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这本书的外观给我一种庄重而学术的感觉，厚重的书页暗示着内容的丰富和深入。作为一本“导论”，我期望它能够全面且有逻辑地介绍随机微分方程的理论框架。我预想书中会从随机变量和概率分布的基本概念开始，逐步引入随机过程，特别是对布朗运动进行详细的讲解，包括其性质和构造。接下来，我期待它能够深入到伊藤积分的理论，这是理解随机微分方程的关键。书中可能还会涉及伊藤公式以及随机微分方程的解的存在性、唯一性和稳定性等重要内容。此外，我希望书中能够包含一些典型的随机微分方程模型及其解法，例如 Ornstein-Uhlenbeck 过程、几何布朗运动等，并解释它们在各个学科领域的应用。一本优秀的导论，还应该提供充足的习题，以帮助读者巩固所学知识，并能够启发读者进行进一步的思考和探索。

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当我看到这本书时，我脑海中浮现的画面是这样一幅场景：一个阳光透过窗户洒在地板上的安静图书馆，我坐在舒适的椅子上，手中捧着这本书，周围弥漫着纸张特有的油墨香气。这本书给我的感觉，是一种沉淀了岁月和智慧的厚重感。我猜测它在内容上一定涵盖了随机微分方程的核心知识体系，或许会从布朗运动讲起，逐步引入伊藤积分，然后深入到随机微分方程的解的存在性、唯一性、以及一些重要的性质，比如马尔可夫性、鞅性质等。我特别关注它对随机过程的概率论基础的铺陈是否扎实，因为这对于理解后续内容至关重要。同时，作为一本“导论”，我期望它能为那些对随机微分方程领域知之甚少，或者只有初步了解的读者提供一个坚实的基础。书中的例题和习题的设计，也是我非常看重的一点，好的例题能够帮助理解抽象概念，而富有挑战性的习题则能检验和巩固学习成果。我对这本书能够在我理解随机世界方面带来什么样的启示，充满了好奇。

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