Computer Aided Proofs in Analysis (Ima Volumes in Mathematics and Its Applications) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Kenneth R. Meyer

出品人:

页数:251

译者:

出版时间:1991-01

价格:USD 79.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387974262

丛书系列:

图书标签:

• 数学分析
• 计算机辅助证明
• 数值分析
• 实分析
• 泛函分析
• 偏微分方程
• IMA Volumes
• 数学软件
• 算法
• 证明论

好的，这里为您提供一份关于一本假想的、与《Computer Aided Proofs in Analysis》无关的数学书籍的详细简介。 书名：《代数拓扑中的纤维丛与特征类导论》（An Introduction to Fiber Bundles and Characteristic Classes in Algebraic Topology） 作者： [此处可自行填入虚构作者姓名，例如：Dr. Elara Vance & Prof. Julian Holloway] 出版社： [此处可自行填入虚构出版社名称，例如：Transcendental Press / Geometric Texts Division] 页数： 约 680 页 装帧： 精装 ISBN: [虚构ISBN号，例如：978-1-945678-12-3] --- 内容提要 《代数拓扑中的纤维丛与特征类导论》是一本面向高等数学研究生、博士后研究人员以及希望深入理解现代几何学与拓扑学核心概念的数学家所撰写的综合性专著。本书旨在系统、严谨地构建从基础拓扑结构到深刻的代数拓扑工具——纤维丛理论和特征类理论——的桥梁。 本书的核心目标是将抽象的拓扑概念与具体的、可计算的代数不变量紧密结合起来。不同于侧重于点集拓扑或纯粹同调论的传统教材，本书将研究重点放在那些能够深刻揭示空间几何属性的“局部-全局”联系上，特别是围绕向量丛、主丛以及与之伴随的庞加莱对偶、上同调理论的应用。 章节结构与核心内容详解 本书分为三个主要部分，共计十四章，力求逻辑连贯且内容覆盖全面。 第一部分：基础结构与向量丛的构建 (Foundations and Construction of Vector Bundles) 第 1 章：复习与预备知识 (Review and Preliminaries) 本章回顾了必要的拓扑学背景，包括同伦群、基本群、良良紧致空间（CW 复合体）的构造，以及奇越同调论（Singular Homology Theory）的稠密化处理。重点介绍了紧凑流形上的微分结构的基本概念，为后续引入微分拓扑的语言做准备。 第 2 章：纤维丛的概念化 (Conceptualizing Fiber Bundles) 这是全书的起点。本章详细定义了纤维丛（Fiber Bundle）、局部平凡性（Local Triviality）以及结构群（Structure Group）。我们引入了向量丛（Vector Bundle）和主丛（Principal Bundle）的精确定义，并展示了如何将拓扑空间上的抽象丛转化为局部可构造的对象。引入了“丛空间的”局部坐标系和过渡函数（Transition Functions）的概念。 第 3 章：初级向量丛的例子 (Elementary Examples of Vector Bundles) 本章通过丰富的具体例子来巩固抽象定义。深入探讨了切丛（Tangent Bundle）的构造，特别是球面 $S^n$ 和环面 $T^n$ 上的切丛性质。讨论了平凡丛（Trivial Bundles）以及莫比乌斯带（Möbius Strip）作为 $S^1$ 上的二元向量丛的非平凡性质，并引入了“可定向性”（Orientability）这一关键概念。 第 4 章：丛的等价性与同构 (Equivalence and Isomorphism of Bundles) 定义了向量丛之间的态射（Morphisms）和同构（Isomorphisms）。引入了施蒂费尔-怀特尼（Stiefel-Whitney）示性类在判断丛是否可微分（或拓扑可微）上的局限性。本章着重于利用横截面（Sections）和全局截面群来区分不同的丛结构。 第二部分：代数工具与示性类 (Algebraic Tools and Characteristic Classes) 第 5 章：上同调理论的回归 (The Return of Cohomology Theory) 本章聚焦于上同调理论作为研究丛的关键工具。详细介绍了上同调群的构造，特别强调德拉姆上同调（de Rham Cohomology）在光滑流形上的应用，并证明了德拉姆定理（De Rham's Theorem）的拓扑版本。 第 6 章：欧拉类与上同调环 (The Euler Class and Cohomology Rings) 首次系统性地引入了欧拉类（Euler Class $e(E)$）的定义，作为衡量向量丛“扭曲程度”的第一个代数不变量。通过切丛的欧拉类，我们探讨了球面上向量场零点个数的拓扑意义（如博特（Bott）周期性的前兆）。讨论了上同调环上的乘法结构（Cup Product）。 第 7 章：施蒂费尔-怀特尼类 (Stiefel-Whitney Classes) 本章深入研究了与实向量丛相关的施蒂费尔-怀特尼类 $w_i(E)$。从拓扑角度，利用截面理论和纤维化序列（Fibration Sequences），推导出这些类是区分不同丛结构的最基本拓扑不变量。提供了计算 $S^n$ 上丛的 $w_i$ 的具体方法。 第 8 章：庞加莱对偶与上纤维化序列 (Poincaré Duality and Fibration Sequences) 本章将丛理论与流形上的对偶性原理结合起来。详细推导了丛空间到基空间的上纤维化上同调序列（Leray-Serre Spectral Sequence），这是理解如何从纤维和基的空间的上同调计算出总空间上同调的基石。 第 9 章：庞加莱对偶与示性类 (Poincaré Duality and Characteristic Classes) 将施蒂费尔-怀特尼类与流形子集的上同调类进行对偶，展示了它们如何对应于流形中的特定子流形的同调类。这为将拓扑不变量与几何子集建立明确的对应关系提供了严格的框架。 第 10 章：陈类与复向量丛 (Chern Classes and Complex Vector Bundles) 转向复向量丛，引入了陈类（Chern Classes $c_i(E)$）的定义。由于复结构的存在，陈类比实数域上的示性类包含更丰富的信息。本章将陈类与上同调环上的特定“生成元”相关联。 第三部分：从示性类到拓扑不变式 (From Characteristic Classes to Topological Invariants) 第 11 章：拓普夫-希策布鲁赫定理 (The Thom-Hurewicz Theorem and Thom Isomorphism) 本章详细阐述了庞加莱对偶在丛理论中的核心应用：汤姆同构定理（Thom Isomorphism Theorem）。通过构造汤姆空间（Thom Space），本书展示了如何利用向量丛的结构信息完全确定其上同调环的结构，这是连接丛和其同调理论的中心定理。 第 12 章：雅科比乘积与韦伊代数 (The Jacobi Identity and Weil Algebra) 本章进入更高级的微分几何视角。引入了陈-西蒙斯（Chern-Simons）理论的前身——韦伊代数（Weil Algebra）和曲率形式（Curvature Forms）。虽然不涉及物理应用，但严格推导了示性类与微分形式的联系，并展示了拓扑示性类如何通过黎曼度量上的曲率得到“实现”。 第 13 章：博特周期的深化与应用 (Deepening Bott Periodicity) 对第 6 章中提到的欧拉类问题进行深入探讨。通过引入拟同伦群（K-theory的简化版），本章展示了博特周期性（Bott Periodicity）的深层拓扑根源，并将其应用于球面上的向量场问题。 第 14 章：应用概览与前沿展望 (Survey of Applications and Future Directions) 本章总结了特征类在微分几何（如高斯-邦内特定理的推广）、拓扑 K 理论以及几何分析中的重要作用。本章提供了对更高级主题（如规范理论中的荷量子化问题）的简介，引导读者进入后续研究领域。 本书特色 1. 严谨的构造性证明： 本书侧重于从拓扑和代数的角度严格定义和证明示性类的存在性与唯一性，而非仅仅依赖于微分几何中的曲率实现。 2. 清晰的层次结构： 从基础的 CW 结构到复杂的谱序列，章节安排遵循渐进式的难度递增，确保读者能够逐步掌握核心思想。 3. 丰富的练习集： 每章末尾均附有旨在巩固理论和训练计算能力的习题，涵盖基础验证、构造性证明和高级应用。 《代数拓扑中的纤维丛与特征类导论》是构建现代几何拓扑学知识体系不可或缺的参考书。

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