Theory of Numbers, Mathematical Analysis, and Their Applications pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Amer Mathematical Society

作者:Chisel Teoriia

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1984-01

价格:USD 111.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780821830765

丛书系列:

图书标签:

• 数论
• 数学分析
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《拓扑学与微分几何导论》内容简介 本书旨在为读者提供一个深入且全面的拓扑学和微分几何基础知识体系，重点关注这两个领域的核心概念、基本理论以及它们在现代数学中的应用。全书结构清晰，从基础概念逐步深入到更复杂的理论框架，力求在严谨的数学论证与清晰的直观解释之间取得平衡。 第一部分：拓扑学基础 本部分从最基础的集合论和一般拓扑空间的概念入手，为后续内容奠定坚实的数学基础。 第一章：点集拓扑基础 首先引入拓扑空间的严格定义，包括开集、闭集、邻域、闭包、内部和边界的概念。详细探讨了拓扑空间中的连续性、开映射与闭映射的性质。随后，重点分析了几种重要的拓扑结构，例如度量空间，阐述了度量诱导拓扑的性质，以及完备性、紧致性等关键拓扑不变量。紧致性的探讨将深入到Heine-Borel定理及其在 $mathbb{R}^n$ 中的推广。分离公理（如 $T_1, T_2$ 豪斯多夫空间）的讨论，为理解更高级的拓扑结构提供了必要的工具。 第二章：连通性与基本群 连通性是拓扑空间的一个基本性质，本章从直观的“可分离性”概念出发，正式定义了连通空间和路径连通空间。探讨了连通分支和局部连通性的关系，并证明了连续函数在连通性上的保持性。 随后，本书引入了代数拓扑的第一个重要工具——基本群（Fundamental Group）。详细构建了映射和路径的同伦概念，定义了基本群 $pi_1(X, x_0)$。通过计算经典空间的基本群（如圆周 $S^1$、圆盘 $D^2$ 等），读者将体会到代数工具在区分拓扑空间方面的强大威力。布劳威尔不动点定理将在本章通过基本群的性质得到一个简洁的证明。 第三章：同调论初步 本章开始接触更强大的代数工具——同调论。首先介绍单纯复形（Simplicial Complexes）的概念，这为离散地研究拓扑空间提供了计算模型。接着，定义了链群、边界算子和循环群，并形式化了同调群 $H_n(X)$ 的概念。我们关注第一、二、三同调群的计算，特别是对于球面 $S^n$ 的奇异同调群的推导，这标志着拓扑学研究进入了精确计算的阶段。Mayer-Vietoris序列作为计算复杂拓扑空间同调群的关键工具，将得到详细的阐述和应用。 第二部分：微分几何入门 第二部分将拓扑学的抽象结构与分析学中的光滑性要求相结合，聚焦于微分流形的研究。 第四章：光滑流形基础 本章定义了光滑流形（Smooth Manifolds）的概念，它是在拓扑流形的基础上增加了图集（Atlas）和转移映射（Transition Maps）的光滑性要求。详细讨论了切空间（Tangent Spaces）的构造，这为在流形上进行微积分提供了基础。引入向量场的概念，并探讨其在流形上的积分曲线，为动态系统的几何研究铺平道路。 第五章：张量、微分形式与外代数 为了进行流形上的微积分，必须引入更精细的代数工具。本章系统地介绍了张量场的定义，包括协变张量和反变张量。随后，重点构建了微分形式（Differential Forms）的理论，包括楔积（Wedge Product）和外微分（Exterior Differentiation） $d$ 算子。外微分满足 $d^2 = 0$ 的重要性质将被深入探讨。 第六章：李导数与流的几何 本章研究向量场如何作用于微分形式，即李导数（Lie Derivative）。李导数衡量了沿着向量场流动的微分形式的变化率，是研究流形上对称性和保持量的重要工具。本章还将探讨李括号在向量场代数结构中的核心作用。 第七章：微分形式上的积分与经典定理 本部分将分析和拓扑学的知识整合起来，处理微分形式在流形上的积分。首先定义了定向积分的概念，这依赖于流形上的定向（Orientation）。随后，本书将集中论述微分几何中最具影响力的三大经典定理： 1. 德拉姆定理（De Rham's Theorem）：揭示了拓扑空间的光滑结构（通过微分形式）与代数拓扑结构（通过奇异同调）之间的深刻联系，即德拉姆上同调群与奇异上同调群的同构关系。 2. 斯托克斯定理（Stokes' Theorem）：这是格林公式、高斯公式和经典散度定理的推广形式，用简洁优雅的语言描述了微分形式的积分与其边界上的积分之间的关系。 3. 庞加莱对偶定理：探讨了在特定条件下（如紧致流形），高阶上同调群与低阶上同调群之间的对偶关系。 全书的撰写风格力求严谨而不失启发性，每章末尾均附有大量习题，涵盖了基础概念的巩固、重要定理的推导以及经典案例的计算，旨在帮助读者真正掌握拓扑学和微分几何这两个现代数学的基石。

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