Four Short Courses on Harmonic Analysis pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Birkhäuser Boston

作者:Forster, Brigitte; Massopust, Peter; Christensen, Ole

出品人:

页数:268

译者:

出版时间:2009-10-22

价格:USD 59.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780817648909

丛书系列:

图书标签:

• 谐波分析
• 傅里叶分析
• 数学分析
• 泛函分析
• 复分析
• 小波理论
• 调和分析
• 数学
• 高等数学
• 理论数学

谐波分析的四门短期课程：深入探索数学前沿 本书旨在为读者提供一套结构清晰、内容严谨的数学课程集，专门聚焦于现代谐波分析的几个关键领域。不同于传统的教科书，本书采取“短期课程”的模式，每门课程都聚焦于一个特定的、具有重要影响力的子领域，力求在有限的篇幅内，引导读者快速掌握该领域的核心概念、基本工具和前沿进展。 课程一：傅里叶级数与积分的现代视角 本课程首先对傅里叶分析的基石——傅里叶级数和傅里叶积分——进行一次深刻的回顾与提升。我们不会仅仅停留在经典的可积函数空间（如 $L^1$ 和 $L^2$）上。课程将重点探讨更具挑战性的函数空间，特别是索伯列夫空间（Sobolev Spaces）在描述函数光滑性方面的关键作用。我们将深入研究嵌入定理（如索伯列夫嵌入定理），理解它们如何为更复杂的偏微分方程（PDEs）分析奠定基础。 此外，本课程将详尽讨论收敛性理论的细微差别。除了经典的狄利克雷条件之外，我们将引入现代测度论工具来分析点态收敛、几乎处处收敛以及不同 $L^p$ 范数下的收敛性。特别地，课程将介绍巴拿赫-斯泰因豪斯定理（均匀有界性原理）在傅里叶级数展开中的应用，揭示为什么某些“看似简单”的函数序列其傅里叶系数行为会如此反常。通过对这些基础概念的深入挖掘，读者将为后续更高级的调和分析工具做好充分准备。 课程二：傅里叶变换及其在振动与信号处理中的应用 第二门课程将核心聚焦于傅里叶变换，从其在 $mathbb{R}^n$ 上的推广，过渡到其在应用数学中的实际效力。本课程将详细剖析傅里叶变换的乘法性质（卷积定理），并阐释为什么它是解决线性常微分方程和偏微分方程（特别是热传导方程和波动方程）的利器。 我们将深入探讨施瓦茨分布（Tempered Distributions）理论。这是理解如何对 Dirac 测度、多项式等广义函数进行傅里叶变换的关键。课程将提供一个严谨的框架，用以处理那些在经典意义上不可积的函数。在应用层面，本课程将展示傅里叶变换如何转化为实用的滤波和解卷积技术。我们将介绍窗函数（Windowing Functions）对频谱泄露的影响，并探讨快速傅里叶变换（FFT）背后的数学原理及其在数据分析中的效率优势。读者将学习如何利用傅里叶域的视角来分析和去噪实际采集到的信号。 课程三：小波分析：多尺度分解的革命 本课程将介绍小波分析这一强大的工具，它被设计用来克服经典傅里叶分析在局部化分析方面的固有缺陷。我们将从基础的二维傅里叶变换与一维傅里叶分析的局限性出发，引出“时频局部化”的需求。 课程将首先构建正交小波基（Orthonormal Wavelet Bases），重点介绍 Haar 小波和 Daubechies 小波的构造原理。我们将详尽分析多分辨率分析（MRA）的框架，并解释尺度函数（Scaling Function）和小波函数（Wavelet Function）之间的对偶关系。核心内容将围绕离散小波变换（DWT）展开，包括其高效的算法实现——Mallat 算法（或称塔形算法）。 在应用方面，本课程将侧重于小波在图像压缩（如 JPEG 2000 标准的理论基础）和突变检测中的应用。读者将理解小波如何通过捕捉信号中的不连续点和高频信息，实现比傅里叶分析更优越的稀疏表示。 课程四：粗糙核积分算子与奇异积分理论 第四门，也是最具技术深度的课程，将把读者的视角带入到现代调和分析的核心领域之一：奇异积分算子（Singular Integral Operators）。这些算子在非椭圆型 PDE、边界积分方程以及拟微分算子理论中扮演着至关重要的角色。 我们将从经典的柯西积分公式出发，逐步过渡到更广义的积分形式，即形如 $Tf(x) = int K(x-y) f(y) dy$ 的算子，其中核函数 $K(x)$ 在原点具有奇性。课程将重点讨论 $L^p$ 空间上的有界性问题，特别是米切利-辛金格（Mityagin-Singar）估计和卡尔德隆-济格蒙德（Calderón-Zygmund）的经典结果。我们将详细分析 $L^p$ 空间的重映射性质和 $ ext{BMO}$（有界平均振荡）空间在处理这些算子时的决定性作用。 本课程还将引入 Calderón-Zygmund 分解的概念，用以处理那些光滑性稍差的核函数。最后，我们将讨论这些算子在非线性问题的分析中所扮演的角色，例如它们如何被用来构造拟微分算子，从而处理更复杂的微分方程。 本书的特点在于其内容的紧凑性和逻辑的连贯性。每一门课程都建立在前一门课程的坚实基础上，确保读者在完成所有四个部分后，不仅掌握了谐波分析的经典理论，也对现代数学研究中使用的尖端工具具备了深刻的理解和操作能力。本书的叙述风格力求精确而直观，侧重于对数学思想的提炼和工具的熟练运用。

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