具体描述
《数学分析选讲》共分八讲。第一讲介绍极限的思想、各种求解方法和证明极限存在的各种技巧；第二讲介绍函数一致连续性的思想和证明方法及技巧；第三讲介绍与微分中值定理（包括泰勒公式）有关的思想和解决问题的方法；第四讲介绍定积分的重要计算技巧和证明函数可积性的方法；第五讲介绍各类级数收敛性的判别方法和技巧，并对函数项级数和函数性质进行了详尽的讨论；第六讲介绍多元函数的各种性质及应用；第七讲介绍各类积分（特别是第二类曲面积分）的计算方法和技巧；第八讲介绍证明不等式的常用方法和技巧。《数学分析选讲》是“数学分析选讲”课程的课本、也可作为考研复习资料、一年级学生的参考书，还可作为教师的参考书。
《高等代数：群、环与域的结构》 导言：代数世界的宏伟蓝图 本书旨在系统而深入地探讨高等代数的核心领域——群论、环论和域论。它不仅仅是一本教科书，更是一张通往现代数学结构世界的精细地图。从抽象代数的基石出发，本书逐步剖析了这些基本代数结构如何构成整个数学体系的骨架，并阐述了它们在密码学、编码理论以及拓扑学等交叉学科中的深刻应用。我们力求在保持理论严谨性的同时，通过精心设计的例证和习题，引导读者建立起对代数思维的直观感受。 第一部分：群论——对称性的语言 群是数学中最基础也最具普适性的结构之一，它捕捉了“对称性”的本质。本部分将从最基础的群定义、子群、陪集和商群的概念开始，为后续的深入探讨奠定坚实的基础。 第一章：群的基本概念与构造 群的公理体系： 详细阐述群的四个基本性质（封闭性、结合律、单位元、逆元），并区分半群、幺半群与群。 实例的广度与深度： 介绍各类重要的群实例，包括加法群 $mathbb{Z}$ 和 $mathbb{R}$，乘法群 $mathbb{Q}^$ 和 $mathbb{C}^$，矩阵群 $GL_n(F)$，以及更具几何意义的对称群 $S_n$ 和二面体群 $D_n$。 循环群的完备描述： 深入研究循环群的性质、子群结构，并证明所有无限循环群都同构于 $mathbb{Z}$，有限循环群则同构于 $mathbb{Z}_n$。 子群与陪集： 严格定义子群的判别准则，并清晰解释陪集的概念，这是理解商群的关键桥梁。拉格朗日定理——有限群论中的里程碑——将在此得到详尽的证明和初步应用。 第二章：群同态与同构 结构保持的映射： 准确定义群同态（保持群运算的映射）和群同构（可逆的同态），理解同构如何揭示不同群结构之间的内在联系。 核（Kernel）与像（Image）： 阐述核是同态的“零空间”，它是群的一个重要正规子群；像则是映照到的子群。 第一同构定理（同态基本定理）： 这是群论的中心定理之一。本书将详细推导 $G/ker(phi) cong ext{Im}(phi)$，并展示其在简化群结构分析中的强大作用。 第三章：正规子群与商群 正规性的条件： 区别一般子群与正规子群（左陪集等于右陪集），并考察各种等价条件，如 $gHg^{-1} = H$。 商群的构造： 详细说明如何在陪集集合上定义一个群运算，从而构造出商群 $G/N$。这是从复杂结构中“抽象”出核心特征的关键步骤。 群的分类： 讨论有限交换群的基本定理——每个有限交换群都同构于某些循环群的直积。 第四章：群作用与应用 群作用的定义： 将群的抽象运算转化为集合上的具体置换，理解“对称性”如何具体化。 轨道与稳定子： 导出轨道-稳定子定理 ($vert G vert = vert ext{Orb}(x) vert cdot vert ext{Stab}(x) vert$)，这是计算群作用规模和结构的标准工具。 共轭类与Sylow定理： 介绍共轭作用及其与中心的关系。重点深入探讨Sylow定理（关于具有素数幂阶的子群的存在性和个数），它们是分析有限群结构的终极工具，特别是在证明非交换群的结构时发挥关键作用。 第二部分：环论——代数运算的扩展 环是比群更丰富的结构，它允许两种运算（加法和乘法），是研究数论和代数几何的先决条件。 第五章：环的基本结构 环的定义与实例： 引入具有单位元的交换环、整环（无零因子）以及域（Field）的定义。实例涵盖 $mathbb{Z}$ (整数环)，多项式环 $F[x]$，以及矩阵环 $M_n(R)$。 子环与理想： 定义子环的条件。核心概念是“理想”（Ideals），它是加法意义下的正规子群，但对乘法具有吸收性（即 $r cdot a in I$ 无论 $r$ 在环中何处）。 商环的构造： 类似于群的商群，通过理想构造商环 $R/I$，并给出第一同构定理在环论中的对应形式。 第六章：整环中的特殊理想 极大理想与素理想： 深入探究理想的特殊类型。证明一个理想 $I$ 是极大理想当且仅当 $R/I$ 是一个域；是素理想当且仅当 $R/I$ 是一个整环。这是连接理想结构与域性质的关键桥梁。 主理想环（PID）与唯一因子分解整环（UFD）： 引入整除性、公约式等概念。详细讨论 $mathbb{Z}$ 和 $F[x]$ 作为主理想环的特性。阐述欧几里得整环、PID 和 UFD 之间的包含关系（欧几里得 $implies$ PID $implies$ UFD）。 第七章：多项式环 除法算法与不可约性： 在 $F[x]$ 中证明除法算法，并讨论其在求解多项式方程中的应用。研究多项式的不可约性判别法，如艾森斯坦判别法。 整环上的构造： 介绍如何从任意整环 $R$ 构造分数域 $F = ext{Frac}(R)$，使之成为包含 $R$ 的最小域。 第三部分：域论——代数扩张的几何 域是具有除法的代数结构，是研究方程根的基础。域论研究的是域如何通过“扩张”来包含更丰富的代数元素。 第八章：域扩张 扩张域的定义： 如果 $E$ 是一个包含 $F$ 的域，则称 $E$ 是 $F$ 的扩张域，记作 $F subseteq E$。 次数与代数元： 定义域扩张的次数 $[E:F]$。严格区分代数元（有限次扩张的关键）和超越元。 最小多项式： 对于 $F$ 上的代数元 $alpha$，定义其最小多项式 $m_alpha(x)$，并证明其具有唯一性和不可约性。 第九章：伽罗瓦理论的序曲 有限域的构造与结构： 详细构造有限域 $mathbb{F}_q$（其中 $q=p^n$），并证明所有具有相同阶数的有限域都是同构的。 伽罗瓦扩张： 介绍伽罗瓦扩张的定义（正规且可分）。伽罗瓦群 $ ext{Gal}(E/F)$ 的定义及其在描述域扩张中的核心作用。 基本对应定理（概述）： 概述伽罗瓦理论的精髓——域的中间扩张与伽罗瓦群的子群之间存在一个完美的反序一一对应关系。这将作为对整个高等代数系统性理解的总结和展望。 结语 本书以严谨的逻辑和丰富的实例，构建了一个从群的对称性到环的代数运算，再到域的方程根的完整理论框架。它为读者深入研究拓扑学、代数几何或数论的下一阶段学习做好充分准备。
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学得半桶水
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评分大学在图书馆借的第一本书。当时多么热爱学习。
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