Convex Functions, Monotone Operators and Differentiability pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Robert R. Phelps

出品人:

页数:115

译者:

出版时间:1989-02-21

价格:USD 26.00

装帧:Paperback

isbn号码:9783540507352

丛书系列:

图书标签:

• Convex analysis
• Optimization
• Monotone operators
• Differentiability
• Functional analysis
• Variational analysis
• Nonlinear analysis
• Fixed point theory
• Mathematical programming
• Convex optimization

《凸函数、单调算子与可微性》并非一本涵盖上述内容的书籍。 《凸函数、单调算子与可微性》这本书，顾名思义，将深入探索数学分析中三个核心概念——凸函数、单调算子以及可微性——它们之间错综复杂而又至关重要的联系。本书旨在为读者提供一个严谨而全面的框架，以理解这些概念在现代数学，尤其是优化理论、偏微分方程、函数空间理论等领域中的基础性地位和广泛应用。 第一部分：凸函数的理论基石 本部分将从凸函数的最基本定义和性质入手，逐步构建起一个坚实的理论基础。我们将首先介绍凸集和凸函数的定义，并详细阐述其几何意义。例如，我们会展示凸函数图像上任意两点连线段的顶点都位于图像的上方或曲线上，这直观地体现了“平均值”的特性。接着，我们将深入探讨一系列重要的凸函数性质，包括： 局部最小值即全局最小值： 这是凸函数最核心的性质之一。我们将证明，对于一个可微凸函数，其在某一点的局部最小值一定是该函数在整个定义域上的全局最小值。这一性质是求解许多优化问题的关键，因为我们只需要找到局部最优解即可。 凸函数的运算： 我们将研究凸函数在求和、取最大值、逐点乘积（在特定条件下）等运算下的保持性。例如，两个凸函数的和仍然是凸函数，一个凸函数与非负常数的乘积仍然是凸函数。这些性质使得我们可以通过组合已知凸函数来构造更复杂的凸函数。 保凸变换： 探讨哪些变换可以保持函数的凸性。例如，仿射变换（如线性变换加平移）可以保持凸集和凸函数的性质。 Jensen 不等式： 这是凸函数最著名且最重要的不等式之一。我们将详细推导并讨论其在概率论、统计学和信息论中的广泛应用，例如在证明信息增益的非负性时。 正则化和扰动： 介绍如何通过增加一个凸函数（如L1或L2正则项）来改善函数的性质，使其更易于分析或求解。 在这一部分，我们还将引入一些重要的凸函数例子，如二次型函数、指数函数、对数函数（严格凹函数，其负函数为凸函数），以及它们在不同领域的具体应用。 第二部分：单调算子的世界 单调算子是泛函分析和非线性分析中的一个强大工具，尤其在研究算子方程（如微分方程和积分方程）的解的存在性、唯一性和性质时发挥着核心作用。本部分将系统地介绍单调算子的概念和分类： 非减函数和单调算子： 从一维非减函数推广到多维和函数空间的单调算子。我们将定义各种类型的单调性，如单调非减、严格单调、拟单调等。 各种单调算子类型： 极严格单调算子 (Strictly Monotone Operators)： 严格单调性保证了算子的反函数也是连续的，这是求解方程的重要条件。 强单调算子 (Strongly Monotone Operators)： 这种更强的单调性条件可以保证解的唯一性和迭代方法的收敛速度。 拟单调算子 (Pseudomonotone Operators)： 拟单调性是在弱条件下保证解的存在性的有力工具，尤其适用于那些在每一点并非处处可微的函数。 增殖算子 (Accretive Operators)： 这是复数域上的单调性概念的推广，在某些应用中与单调算子密切相关。 Minty-Browder 定理： 这是单调算子理论中的一个里程碑式结果，它给出了一个强单调、连续且有界算子在Banach空间上作用于任意元素时，方程 $Ax = y$ 存在解的充要条件。本书将详细证明这一重要定理，并探讨其在偏微分方程领域的经典应用，例如Navier-Stokes方程的弱解存在性。 Zarantonello 定理： 进一步放宽了Minty-Browder定理的条件，将解的存在性推广到了更一般的单调算子。 本部分还将讨论单调算子与凸函数之间的深刻联系，特别是极值算子 (Maximally Monotone Operators) 的概念。我们将证明，一个闭凸集在梯度算子下的图像就是极严格单调算子，反之，极严格单调算子的图像也是一个闭凸集，这提供了连接几何与分析的重要桥梁。 第三部分：可微性及其与前两者的交织 可微性是衡量函数“光滑性”的重要指标，也是许多分析工具（如泰勒展开、牛顿法）得以应用的基础。本部分将聚焦于可微性，并探讨其与凸函数和单调算子的关系： 方向导数与梯度： 介绍方向导数和梯度的概念，并阐述它们在衡量函数在特定方向上的变化率方面的作用。 可微性条件： 探讨不同类型的可微性，如Fréchet可微性、Gâteaux可微性，以及它们之间的关系。 凸函数的Gâteaux可微性和Fréchet可微性： 讨论在何种条件下，一个凸函数在某一点是Gâteaux可微的，以及何时可以达到更强的Fréchet可微性。特别地，如果一个凸函数在某一点是Fréchet可微的，那么它的梯度在该点唯一。 单调算子的可微性： 探讨单调算子的可微性问题，以及它们与算子的单调性条件之间的相互影响。例如，极严格单调算子通常具有良好的可微性性质。 利用可微性求解优化问题： 梯度下降法： 详细介绍梯度下降算法及其收敛性分析，并展示其在解决凸优化问题时的有效性。 牛顿法： 讨论牛顿法及其变种，包括海森矩阵的性质，以及在强凸函数上的快速收敛性。 次梯度 (Subgradient)： 对于不可微的凸函数，我们将引入次梯度的概念，并讨论次梯度下降法，这是一种能够处理不可微凸函数的最优化算法。次梯度法也深刻地体现了凸函数与可微性之间的联系，因为它在可微点上等于梯度。 Legendre-Fenchel 变换： 介绍Legendre-Fenchel变换，这是一种通过取对偶来研究凸函数的方法，它与可微性密切相关，并且在统计力学、信息论和统计学中有广泛应用。 全书贯穿的应用领域 本书并非仅仅停留在理论层面，还将广泛地展示这些概念在实际问题中的应用，包括但不限于： 非线性优化： 求解大型、高维度的优化问题，如机器学习中的模型训练，信号处理中的恢复问题。 偏微分方程： 研究椭圆型、抛物型方程的解的存在性和唯一性，例如泊肃叶方程、热方程、Navier-Stokes方程等。 弹性力学与固体力学： 描述材料的非线性行为，如塑性变形，屈曲等。 控制理论： 设计最优控制策略，分析系统的稳定性。 博弈论： 分析纳什均衡的存在性。 金融数学： 风险度量、投资组合优化等。 本书的特色与目标读者 本书的语言力求严谨而不失清晰，结构安排合理，力求让读者能够循序渐进地掌握核心概念。每章都会配有大量的例题和习题，帮助读者巩固所学知识，并激发进一步的研究兴趣。 本书适合作为高等院校数学、应用数学、计算数学、控制科学、人工智能、经济学等专业的高年级本科生和研究生的教材或参考书。对于致力于研究最优化理论、偏微分方程、泛函分析等领域的科研人员，本书也将提供一套全面而深刻的理论基础。 通过研读《凸函数、单调算子与可微性》，读者将能够深刻理解数学分析中这些重要工具的内在联系，并为解决复杂的科学与工程问题奠定坚实的基础。

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