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出版者:高等教育

作者:陈忠

出品人:

页数:156

译者:

出版时间:2009-8

价格:15.60元

装帧:

isbn号码:9787040272598

丛书系列:

图书标签:

• 应用数学
• 数学
• 高等教育
• 理工科
• 工程数学
• 计算数学
• 数学模型
• 数值分析
• 优化方法
• 概率统计

《应用数学》 一、 核心理念与学术立场 《应用数学》一书，并非一本浅尝辄止的数学入门读物，而是致力于深入探讨数学工具如何在现实世界的问题中发挥强大作用的学术专著。本书的核心理念在于，数学并非孤立的抽象理论体系，而是解决复杂现实挑战的基石和引擎。我们坚信，理解和掌握应用数学，能够赋予读者一种独特的分析能力和解决问题的视角，从而在科学、工程、经济、社会学等众多领域取得突破。 本书的学术立场鲜明：强调理论与实践的紧密结合。我们不会仅仅罗列公式和定理，而是力求追溯每一项数学工具的起源，揭示其在解决具体问题时的逻辑推演过程，并提供丰富的案例分析来佐证其有效性。我们反对脱离实际的纯粹理论研究，同样也警惕对数学工具的盲目应用。因此，本书在讲解数学模型构建、求解方法的同时，也高度关注模型的假设、局限性以及结果的解释与验证。我们鼓励读者带着问题去学习数学，用数学去解决问题，从而实现知识的融会贯通。 二、 理论架构与章节划分 本书的理论架构旨在构建一个逻辑清晰、循序渐进的学习路径，涵盖应用数学的多个关键分支，并突出它们之间的内在联系。我们采用“问题驱动，理论支撑，案例验证”的学习模式，力求使抽象的数学概念变得生动而易于理解。 第一部分：数学建模的基础 第一章：现实世界的数学语言 本章首先阐述为何要将现实问题转化为数学问题，介绍数学模型的基本概念、类型（例如：统计模型、动力学模型、优化模型等）及其在不同学科中的应用概览。 重点讲解如何从定性描述到定量刻画，识别关键变量、参数与关系。 介绍模型构建的基本原则：简洁性、相关性、可验证性。 通过一系列简单易懂的例子，如人口增长模型、简单物理过程的描述，展示数学语言的普适性。 第二章：描述性与预测性模型 深入探讨描述性模型，如何使用统计学方法来理解和总结数据中的模式与趋势。 介绍数据收集、清洗、可视化等基本流程。 重点讲解回归分析（线性回归、多元回归）、分类模型（逻辑回归、判别分析）等核心技术，并解释其背后的统计学原理。 引入预测性模型的概念，讨论如何利用历史数据来预测未来趋势，并评估预测的准确性（如：均方误差、准确率等）。 案例：商品销售预测、股票价格趋势分析、疾病传播早期预测。 第三章：优化模型与决策分析 聚焦于如何利用数学方法找到“最优”解决方案，即优化问题。 介绍目标函数、约束条件、决策变量等关键要素。 讲解线性规划的基本理论、图解法和单纯形法，并探讨其在资源分配、生产调度等问题中的应用。 引入非线性规划、整数规划等更复杂的优化模型，并介绍相应的求解思路。 讨论决策分析的基本框架，包括风险评估、不确定性下的决策（如：决策树、蒙特卡洛模拟）。 案例：物流路线规划、生产成本最小化、投资组合优化。 第二部分：核心应用数学工具 第四章：微积分与变化率的建模 重温微分学和积分学的核心概念，但侧重于其在描述和分析动态系统中的作用。 讲解导数如何表示瞬时变化率，并引入偏导数以处理多变量变化。 讨论微分方程（常微分方程、偏微分方程）作为描述物理、生物、经济等系统中动态演化的标准语言。 介绍解析解和数值解法的基本思想。 案例：牛顿冷却定律、人口增长模型（引入指数增长和逻辑斯蒂增长）、电路中的电流变化、简单经济学中的边际分析。 第五章：线性代数与多维空间的分析 强调线性代数在处理高维数据和线性系统中的核心地位。 讲解向量、矩阵、线性变换等概念，并阐释其几何意义。 深入探讨矩阵运算、特征值与特征向量的意义及其在数据降维（如PCA）、图论、量子力学等领域的应用。 介绍线性方程组的求解方法（高斯消元法、矩阵求逆）及其在工程和科学中的普遍性。 案例：图像处理中的变换、网络流量分析、系统稳定性分析、机器学习中的特征提取。 第六章：概率论与随机现象的刻画 将概率论置于应用数学的视角下，强调其在量化不确定性、理解随机性方面的作用。 回顾概率的基本公理、条件概率、独立性、贝叶斯定理等。 介绍离散和连续概率分布（如：二项分布、泊松分布、正态分布、指数分布），并讨论它们在不同现象中的适用性。 讲解期望、方差、协方差等统计量的意义，以及它们如何描述随机变量的性质。 案例：风险管理中的保险精算、质量控制中的抽样检验、金融市场中的随机波动建模、通信系统中的信号传输。 第三部分：进阶应用与前沿展望 第七章：离散数学及其在计算科学中的角色 介绍图论（节点、边、路径、连通性、图的遍历算法）、组合学（排列、组合、计数原理）等离散数学分支。 探讨这些工具在计算机科学、网络分析、算法设计、组合优化等领域的关键作用。 讲解有限状态机、离散时间模型等概念。 案例：社交网络分析、最短路径算法（如Dijkstra算法）、编译器设计、数据库查询优化。 第八章：数值方法与计算模拟 针对那些难以获得解析解的问题，介绍数值求解技术的重要性。 讲解数值积分、数值微分、求解常微分方程的数值方法（如欧拉法、龙格-库塔法）、求解偏微分方程的有限差分法/有限元法。 讨论误差分析、收敛性与稳定性等概念。 强调计算模拟在科学研究和工程设计中的作用，包括虚拟实验、参数探索和结果验证。 案例：天气预报模型的数值计算、流体动力学模拟、结构力学分析。 第九章：专题应用与跨学科探索 本章将汇集一系列具有代表性的应用领域，展示应用数学的广阔前景。 动态系统与控制理论：介绍反馈控制、稳定性分析，应用于机器人、航空航天等。 信号处理与傅里叶分析：探讨如何分解复杂信号，应用于通信、图像压缩、音频处理。 机器学习与人工智能的数学基础：简要介绍机器学习算法背后的数学原理（如：凸优化、概率模型、线性代数）。 运筹学在现代管理中的应用：深入探讨排队论、库存管理、项目管理等。 金融数学与风险定价：介绍期权定价模型（如Black-Scholes模型）等。 生物数学：如流行病动力学模型、基因网络分析。 本章旨在启发读者思考，如何将本书所学的数学工具灵活应用于他们感兴趣的跨学科领域。 三、 教学特色与读者对象 《应用数学》一书，在教学设计上力求做到“接地气”且“有深度”。 案例驱动，理论贯穿：每一章节都以现实生活中的具体问题为切入点，引导读者理解数学工具的必要性，随后展开理论讲解，最后通过案例分析来巩固和拓展。 详尽的推导与解释：对于关键的数学公式和定理，我们力求提供清晰、完整的推导过程，并辅以直观的解释，避免“黑箱操作”。 丰富的习题设计：每章末尾均附有不同难度层次的习题，包含概念理解题、计算题以及模型构建与分析题，旨在帮助读者检验学习效果，并进一步提升解决问题的能力。 注重模型构建的批判性思维：我们不仅教授如何建立模型，更强调对模型进行批判性评估，包括模型的假设是否合理、模型的局限性在哪里、结果的解释是否恰当等。 语言风格：本书的语言风格力求严谨而不失生动，避免枯燥的数学术语堆砌，注重逻辑的连贯性和表达的清晰性，旨在让读者在阅读过程中感到愉悦和富有启发。 目标读者： 本书的目标读者群广泛，包括但不限于： 高等院校理工科、经济学、管理学等专业本科生和研究生：作为教材或参考书，帮助他们掌握应用数学的核心概念和方法。 从事科学研究与工程开发的专业人士：为他们在实际工作中遇到的复杂问题提供有力的数学工具和解决思路。 对应用数学感兴趣的自学者：希望系统学习数学在现实世界中应用的读者。 希望提升数据分析与建模能力的社会从业者：例如数据科学家、金融分析师、市场研究员等。 四、 结语 《应用数学》不仅仅是一本书，更是一扇通往理解和改造世界的窗户。我们希望通过本书，能够点燃读者对数学的求知欲，激发他们运用数学智慧去探索未知、解决难题的热情。在这个信息爆炸、挑战层出不穷的时代，掌握应用数学，就是掌握了一种强大的思维方式和解决问题的能力，它将是您在未来道路上不可或缺的宝贵财富。

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